热门试卷

解：（ I）由题知，直线2x+y+2=0与两坐标轴的交点为F（-1，0），A（0，-2），

∴椭椭圆M的左焦点为F（-1，0），顶点A为（0，-2），

∴b=2，c=1，a2=b2+c2=5；

∴椭圆M的方程为+=1；   

（ II）由题意，A（0，2），设B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）；

直线CD的方程为y=x+b，

则直线2x+y+2=0与椭圆M的方程组成方程组，

消去y，整理得：

6x2+10x=0，

解得x1=0，x2=-；

∴|AB|=|x1-x2|=|0+|=；

直线CD的方程与椭圆方程组成方程组，

消去y，整理得：

21x2+20bx+20b2-80=0，

∵△=320（21-4b2）≥0，

∴x3+x4=-，x3x4=，

∴|CD|=•|x3-x4|

=×≤；

四边形ACBD的面积为S=|AB||CD|≤×=，

即四边形ACBD面积S的最大值为．

解：（1）抛物线y2=8x的焦点为A（2，0），

∵椭圆的右顶点A为抛物线y2=8x的焦点

∴a=2…（2分）

∵离心率，∴…（3分）

故b2=a2-c2=1…（5分）

所以椭圆C的方程为：…（6分）

（2）设直线

由，消去y可得…（8分）

因为直线l与椭圆C相交于P，Q两点，所以△=128k2-16（4k2+1）＞0

解得…（9分）

又…（10分）

设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ中点M（x0，y0）

因为线段PQ的中点横坐标是，所以…（12分）

解得k=1或…（13分）

因为，所以k=1

因此所求直线…（14分）

解：设以A（1，-1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），

∵A（1，-1）为EF中点，

∴x1+x2=2，y1+y2=-2，

把E（x1，y1），F（x2，y2）分别代入椭圆x2+4y2=16，

得，

∴（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，

∴2（x1-x2）-8（y1-y2）=0，

∴k==，

∴以A（1，-1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y-（-1）=（x-1），

整理，得x-4y-5=0．

解：（1）设A（x1，y1）、B（x2，y2），

由得x2-5x+4=0，△＞0．

由韦达定理有x1+x2=5，x1x2=4，

∴|AB|==，

所以弦AB的长度为3．

（2）设点，设点P到AB的距离为d，则，

∴S△PAB=••=12，即．

∴，解得yo=6或yo=-4

∴P点为（9，6）或（4，-4）．

解：（1）由题知F（1，0）

∴抛物线方程：y2=4x．

（2）解法1：设P（x，y），

则P到直线y=x+3的距离，又y2=4x

∴．

∴当P（1，2）时，．

解法2：设l与直线y=x+3平行且与抛物线相切，

即l：y=x+b，由

得x2+（2b-4）x+b2=0，∵△=（2b-4）2-4b2=0，∴b=1

此时切点P（1，2），P到直线y=x+3的距离最小为．

解：（1）由题意得e==，a2-b2=c2，

以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+12=0相切，可得

d==b，解得a=4，b=2，c=2，

故椭圆C的方程为+=1；

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），

直线PQ的方程为x=my+3，代入椭圆方程3x2+4y2=48，

得（4+3m2）y2+18my-21=0，

∴y1+y2=-，y1y2=-，

由A，P，M三点共线可知，=，即yM=•；

同理可得yN=•．

所以k1k2=•==．

因为（x1+4）（x2+4）=（my1+7）（my2+7=m2y1y2+7m（y1+y2）+49，

所以k1k2=

==-．

即k1k2为定值-．