热门试卷

证明：（1）由题意，，则，b2=a2-c2=2c2，

故椭圆方程为，

即2x2+3y2-6c2=0，其中，F1（-c，0），

∴直线AF1的斜率为，此时直线AF1的方程为，

联立得2x2+3cx=0，解得x1=0（舍）和，即B，

由对称性知．

直线BO的方程为，

线段AC的中点坐标为，

AC的中点坐标满足直线BO的方程，即直线BO平分线段AC．

（2）设过P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），点Q（x，y），

则，．

设=λ，则，，

求得，，，，

∴，，

∴2mx+3ny====6c2，

由于m，n，C为常数，所以点Q恒在直线2mx+3ny-6c2=0上．

解：（1）设椭圆的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），

∵点F2在线段PF1的中垂线上，∴|F1F2|=|PF2|，因此，

解得：c=1，又∵，∴，=1．

故所求的椭圆C方程为：．

（2）依题意，化为：（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0

设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．

又=，=，

∵倾斜角满足α+β=π，可得：，

∴=0，化简得：2kx1x2+（m-k）（x1+x2）-2m=0．

∴，整理得：m=-2k．

∴直线l1的方程为y=k（x-2），因此直线l1经过定点，该定点坐标为（2，0）．

（3）由题意知l2的斜率存在且不为零．

设l2方程为x=my+2（m≠0）①，将①代入，整理得（m2+2）y2+4my+2=0，

由△＞0得m2＞2．

设E（x3，y3），F（x4，y4），则②

由已知，，则

由此可知，，代入②得，，

消去y3得

解得，，满足m2＞2即．

故所求直线l2的方程为．

解：（1）当k=1，m=0时，如图．

由得x2-x-1=0，∴x1+x2=1，x1•x2=-1，

过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C．

∵直线AB的解析式为y=x+1，

∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC=|x2-x1|=；

同理，当k=1，m=1时，AB=；…（4分）

（2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=．理由如下：

由y=x+1与y=x2-2mx+m2+m，联立得x2-（2m+1）x+m2+m-1=0，

∴x1+x2=2m+1，x1•x2=m2+m-1，

∴AB=AC=|x2-x1|=；…（6分）

（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：

①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，

由，得A（-1，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；…（7分）

②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，

由，得x2-x-1=0，∴x1+x2=1，x1•x2=-1，

∴AB=AC=|x2-x1|=，∴AB2=10，

∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（x1+1）2+（x2+1）2

=x12+x22+（x12+2x1+1）+（x22+2x2+1）=2（x12+x22）+2（x1+x2）+2

=2（1+2）+2×1+2=10，

∴AB2=OA2+OB2，∴△AOB是直角三角形；…（10分）

③当k为任意实数，△AOB仍为直角三角形．

由，得x2-kx-1=0，∴x1+x2=k，x1•x2=-1，

∴AB2=（x1-x2）2+（y1-y2）2

=（x1-x2）2+（kx1-kx2）2

=（1+k2）（x1-x2）2

=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1•x2]

=（1+k2）（4+k2）

=k4+5k2+4，

∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22

=x12+x22+y12+y22

=x12+x22+（kx1+1）2+（kx2+1）2

=x12+x22+（k2x12+2kx1+1）+（k2x22+2kx2+1）

=（1+k2）（x12+x22）+2k（x1+x2）+2

=（1+k2）（k2+2）+2k•k+2

=k4+5k2+4，

∴AB2=OA2+OB2，

∴△AOB为直角三角形．…（13分）

解：（Ⅰ）依题意，M是线段AP的中点，

因为A（-1，0），，

所以点M的坐标为．

由于点M在椭圆C上，

所以 ，解得 ．

（Ⅱ）设M（x0，y0）（-1＜x0＜1），则 ，①

因为 M是线段AP的中点，所以 P（2x0+1，2y0）．

因为 OP⊥OM，所以，

所以，即 ．②

由①，②消去y0，整理得 ．

所以 ，

当且仅当 时，上式等号成立．

所以m的取值范围是．

解：（1）由题意可设抛物线的方程为y2=2px，则由抛物线的定义可得，即p=1，

所以抛物线的方程为 y2=2x．

（2）由题意知直线PQ与x轴不平行，设PQ所在直线方程为x=my+n，代入y2=2x中得 y2-2my-2n=0．

所以y1+y2=2m，y1y2=-2n，其中y1，y2分别是P，Q的纵坐标，

因为MP⊥MQ，所以kMP•kMQ=-1．

即，所以（y1+y0）（y2+y0）=-4．

，（-2n）+2my0+2x0+4=0，即n=my0+x0+2．

所以直线PQ的方程为x=my+my0+x0+2，

即x=m（y+y0）+x0+2，它一定过定点（x0+2，-y0）．

（3）假设N（x0，y0）为满足条件的点，则由（2）知，点（x0+2，-y0）在直线x+my+1=0上，

的解，

消去x得y2-2my+6=0，

∴当△=4m2-24≥0时，存在点N满足条件，否则不存在．

解：，化简得；x2+（m-1）x+m+2=0，

∵直线x-y-2=0与曲线y=x2+mx+m有两个不同的公共点，

∴△＞0，即m2-6m-7＞0，

m＞7或m＜-1

所以实数m的取值范围为（-∞，-1）∪（7，+∞）

解：（1）设P（x0，4），

∵|PF|=4，由抛物线定义得： ①

又42=2px0，

∴．代入①得，，解得：p=4．

∴抛物线方程为y2=8x；

（2）由（1）知，P（2，4），

∵∠APB的角平分线与x轴垂直，

∴PA，PB的倾斜角互补，即PA，PB的斜率互为相反数，

设PA：y-4=k（x-2），k≠0，

联立，得，

则，即．

PB：y-4=-k（x-2），

联立，得，

则，即．

∴．

设AB：y=-x+b，代入y2=8x，得y2+8y-8b=0．

由△=64+32b＞0，得b＞-2．

又y1+y2=-8，y1y2=-8b，

∴|AB|==．

又AB的中垂线方程为y=x-b-8，

则点M的坐标为（b+8，0），

∴|MF|=6+b．

则=．

当且仅当b=2时取等号．

∴的最小值为．

（1）：证明：设P（x0，y0）、M（x1，y1）、N（x2，y2）．

则椭圆过点M、N的切线方程分别为，．（3分）

因为两切线都过点P，则有，．

这表明M、N均在直线①上．由两点决定一条直线知，式①就是直线MN的方程，

其中（x0，y0）满足直线l的方程．（6分）

当点P在直线l上运动时，可理解为x0取遍一切实数，相应的y0为

代入①消去y0得②

对一切x0∈R恒成立．（9分）

变形可得

对一切x0∈R恒成立．故有

由此解得直线MN恒过定点．（12分）

（2）当MN∥l时，由式②知解得

代入②，得此时MN的方程为③

将此方程与椭圆方程联立，消去y得（15分）

由此可得，此时MN截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点的横坐标，

即

代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点的纵坐标，

即

这就是说，点平分线段MN．（15）