圆锥曲线与方程_章节学习

1

题型：填空题

|

填空题

直线y=x-1被椭圆+y2=1截得的弦长为______．

正确答案

解析

解：由题意，

，

消去y整理得，

x（5x-8）=0；

设直线y=x-1被椭圆+y2=1的交点为（m，m-1）（n，n-1）；

故|m-n|=；

故直线y=x-1被椭圆+y2=1截得的弦长为；

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

抛物线x2=4y准线上任一点R作抛物线的两条切线，切点分别为M、N，若O是坐标原点，则=______．

正确答案

-3

解析

解：，取R（0，-1），

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则，

∴x1=±2，，

∴x1=-2，x2=2，得，

∴；

故答案为：-3

1

题型：简答题

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简答题

已知椭圆的长轴长为4．

（1）若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切，求椭圆焦点坐标；

（2）若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM，kPN，当时，求椭圆的方程．

正确答案

解：（1）由…（2分）

又因为2a=4，

所以a=2，又a2=4，b2=2…（4分）

所以c2=a2-b2=2，

∴…（6分）

（2）由于过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N交于坐标原点对称

不妨设：M（x0，y0），N（-x0，-y0），P（x，y）

因为M，N，P在椭圆上，

所以它们满足椭圆方程，即有

两式相减得：．…（8分）

由题意它们的斜率存在，则…（10分）

故所求椭圆的方程为…（12分）

解析

解：（1）由…（2分）

又因为2a=4，

所以a=2，又a2=4，b2=2…（4分）

所以c2=a2-b2=2，

∴…（6分）

（2）由于过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N交于坐标原点对称

不妨设：M（x0，y0），N（-x0，-y0），P（x，y）

因为M，N，P在椭圆上，

所以它们满足椭圆方程，即有

两式相减得：．…（8分）

由题意它们的斜率存在，则…（10分）

故所求椭圆的方程为…（12分）

1

题型：简答题

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简答题

已知F（1，0），P是平面上一动点，P到直线l：x=-1上的射影为点N，且满足（+）•=0

（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）若直线y=x与曲线C交与点M（异于O点），O为坐标原点．过点M作倾斜角互补的两条直线，分别与曲线C交于A、B两点（异于M）．求证：直线AB的斜率为定值．

正确答案

（Ⅰ）解：设点P（x，y），则N（-1，y），又F（1，0），

=（-1-x，0），=（2，-y），

由（+）•=0，得（-x，-）•（2，-y）=0，

-2x+=0

即有点P的轨迹C的方程为：y2=4x；

（Ⅱ）证明：y=x与 y2=4x联立方程得：M（4，4）

设直线MA的方程为：y-4=k（x-4），

联立方程y2=4x消去y得：k2x2-（8k2-8k+4）x+16k2-32k+16=0，

，同理，

故直线AB的斜率为===-．

解析

（Ⅰ）解：设点P（x，y），则N（-1，y），又F（1，0），

=（-1-x，0），=（2，-y），

由（+）•=0，得（-x，-）•（2，-y）=0，

-2x+=0

即有点P的轨迹C的方程为：y2=4x；

（Ⅱ）证明：y=x与 y2=4x联立方程得：M（4，4）

设直线MA的方程为：y-4=k（x-4），

联立方程y2=4x消去y得：k2x2-（8k2-8k+4）x+16k2-32k+16=0，

，同理，

故直线AB的斜率为===-．

1

题型：填空题

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填空题

直线3x-2y+6=0与曲线=1有______个交点．

正确答案

2

解析

解：由=1，得

，

其图象如图，

双曲线的渐近线方程为3x±2y=0．

直线3x-2y+6=0与3x-2y=0平行．

由图象可知，直线3x-2y+6=0与曲线=1有2个交点．

故答案为：2．

1

题型：简答题

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简答题

设P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y2=2px（p＞0）上相异两点，Q、P到y轴的距离的积为4且．

（1）求该抛物线的标准方程．

（2）过Q的直线与抛物线的另一交点为R，与x轴交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值．

正确答案

解：（1）∵•=0，则x1x2+y1y2=0，

又P、Q在抛物线上，故y12=2px1，y22=2px2，

故得+y1y2=0，∴y1y2=-4p2，

∴，

又|x1x2|=4，故得4p2=4，p=1．

所以抛物线的方程为y2=2x；

（2）如图，设直线PQ过点E（a，0）且方程为x=my+a

联立方程组，消去x得y2-2my-2a=0

∴①

设直线PR与x轴交于点M（b，0），则可设直线PR方程为x=ny+b，并设R（x3，y3），

联立方程组，消去x得y2-2ny-2b=0

∴②

由①、②可得

由题意，Q为线段RT的中点，∴y3=2y2，∴b=2a．

又由（Ⅰ）知，y1y2=-4，代入①，可得

-2a=-4，∴a=2．故b=4．

∴y1y3=-8

∴

=．

当n=0，即直线PQ垂直于x轴时|PR|取最小值．

解析

解：（1）∵•=0，则x1x2+y1y2=0，

又P、Q在抛物线上，故y12=2px1，y22=2px2，

故得+y1y2=0，∴y1y2=-4p2，

∴，

又|x1x2|=4，故得4p2=4，p=1．

所以抛物线的方程为y2=2x；

（2）如图，设直线PQ过点E（a，0）且方程为x=my+a

联立方程组，消去x得y2-2my-2a=0

∴①

设直线PR与x轴交于点M（b，0），则可设直线PR方程为x=ny+b，并设R（x3，y3），

联立方程组，消去x得y2-2ny-2b=0

∴②

由①、②可得

由题意，Q为线段RT的中点，∴y3=2y2，∴b=2a．

又由（Ⅰ）知，y1y2=-4，代入①，可得

-2a=-4，∴a=2．故b=4．

∴y1y3=-8

∴

=．

当n=0，即直线PQ垂直于x轴时|PR|取最小值．

1

题型：填空题

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填空题

直线y=x+3与双曲线的交点个数是______．

正确答案

1

解析

解：∵直线y=x+3与双曲线的渐近线y=平行，

因此直线y=x+3与双曲线的左支有且仅有一个交点．

故答案为：1．

1

题型：简答题

|

简答题

点P是在平面直角坐标系中不在x轴上的一个动点，满足：过点P可作抛物线x2=y的两条切线，切点分别为A，B．

（Ⅰ）设点A（x1，y1），求证：切线PA的方程为y=2x1x-x12；

（Ⅱ）若直线AB交y轴于R，OP⊥AB于Q点，求证：R是定点并求的最小值．

正确答案

证明：（Ⅰ）设以A（x1，x12）为切点的切线方程为y-x12=k（x-x1），

联立抛物线方程，可得x2-kx+kx1-x12=0，

由△=k2-4kx1+4x12=（k-2x1）2=0，

得k=2x1，所以切线PA：y=2x1x-x12；

（Ⅱ）设B（x2，x22），

由（Ⅰ）可得切线PB：y=2x2x-x22，可得P（，x1x2），

设AB：y=kx+m与y=x2联立得x2-kx-m=0，

即P（，-m），由题意可得k•kOP=k•=-2m=-1，

解得m=，即R（0，），由可得Q（-，），

|PQ|=，|QR|==，

所以==|k|+≥2，

当且仅当k=±时，的最小值为2．

解析

证明：（Ⅰ）设以A（x1，x12）为切点的切线方程为y-x12=k（x-x1），

联立抛物线方程，可得x2-kx+kx1-x12=0，

由△=k2-4kx1+4x12=（k-2x1）2=0，

得k=2x1，所以切线PA：y=2x1x-x12；

（Ⅱ）设B（x2，x22），

由（Ⅰ）可得切线PB：y=2x2x-x22，可得P（，x1x2），

设AB：y=kx+m与y=x2联立得x2-kx-m=0，

即P（，-m），由题意可得k•kOP=k•=-2m=-1，

解得m=，即R（0，），由可得Q（-，），

|PQ|=，|QR|==，

所以==|k|+≥2，

当且仅当k=±时，的最小值为2．

1

题型：填空题

|

填空题

已知点P（x，y）满足=5，则的取值范围是______．

正确答案

[，）

解析

解：由两点间的距离公式表示两点P（x，y）与F1（1，2）之间的距离，同理表示两点P（x，y）与F2（4，6）之间的距离．

由条件点P满足=5，如图所示．

可知：而．

∴点P（x，y）是到两定点F1（1，2），F2（4，6）的距离的差等于5一条射线．

而表示过两点P（x，y），（-4，2）的斜率．

令k=，则=＞==．

∴的取值范围是[，）．

故答案为[，）．

1

题型：填空题

|

填空题

若双曲线C：x2-y2=1的右顶点为A，过A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，且，则直线l的斜率为______．

正确答案

±3

解析

解：双曲线的右顶点A（1，0），设l的方程为x=my+1，代入双曲线方程，可得（m2-1）y2+2my+1=0

设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=①，②

∵，

∴y1=-2y2③，

由①②③可得m=

∴直线l的斜率为±3

故答案为：±3．

1

题型：简答题

|

简答题

已知定点Q（-2，5），抛物线C：x2=2y上的动点P到焦点的距离为d，求d+PQ的最小值，并求取得最小值时的P的坐标．

正确答案

解：由抛物线C：x2=2y得准线l：y=-．

如图所示，过点P作PM⊥准线l交于点M，由抛物线可得|PM|=|PF|．

当三点Q、P、M在同一条直线上时，|PF|+|PQ|取得最小值为5+．

由x=-2代入抛物线方程得（-2）2=2y，解得y=2．

∴p（-2，2）．

故当P取（-2，2）时，d+|PQ|=|QM|取得最小值．

解析

解：由抛物线C：x2=2y得准线l：y=-．

如图所示，过点P作PM⊥准线l交于点M，由抛物线可得|PM|=|PF|．

当三点Q、P、M在同一条直线上时，|PF|+|PQ|取得最小值为5+．

由x=-2代入抛物线方程得（-2）2=2y，解得y=2．

∴p（-2，2）．

故当P取（-2，2）时，d+|PQ|=|QM|取得最小值．

1

题型：单选题

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单选题

若直线y=kx-k交抛物线y2=4x于A，B两点，且线段AB中点到y轴的距离为3，则|AB|=（　　）

A12

B10

C8

D6

正确答案

C

解析

解：直线y=kx-k恒过（1，0），恰好是抛物线y2=4x的焦点坐标，

设A（x1，y1） B（x2，y2）

抛物y2=4x的线准线x=-1，线段AB中点到y轴的距离为3，x1+x2=6，

∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8，

故选：C．

1

题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

（1）求椭圆C的标准方程．

（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=-3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）．

正确答案

解：（1）由已知可得，c==2，2b=，

解得a2=6，b2=2，

所以椭圆C的标准方程是+=1；

（2）证明：由（1）可得，F的坐标是（-2，0），

设T点的坐标为（-3，m），

则直线TF的斜率kTF==-m．

当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ=．直线PQ的方程是x=my-2．

当m=0时，直线PQ的方程是x=-2，也符合x=my-2的形式．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，

消去x，得（m2+3）y2-4my-2=0，

其判别式△=16m2+8（m2+3）＞0．

所以y1+y2=，y1y2=，

x1+x2=m（y1+y2）-4=．

设M为PQ的中点，则M点的坐标为（，），

所以直线OM的斜率kOM=-，又直线OT的斜率kOT=-，

所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ．

解析

解：（1）由已知可得，c==2，2b=，

解得a2=6，b2=2，

所以椭圆C的标准方程是+=1；

（2）证明：由（1）可得，F的坐标是（-2，0），

设T点的坐标为（-3，m），

则直线TF的斜率kTF==-m．

当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ=．直线PQ的方程是x=my-2．

当m=0时，直线PQ的方程是x=-2，也符合x=my-2的形式．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，

消去x，得（m2+3）y2-4my-2=0，

其判别式△=16m2+8（m2+3）＞0．

所以y1+y2=，y1y2=，

x1+x2=m（y1+y2）-4=．

设M为PQ的中点，则M点的坐标为（，），

所以直线OM的斜率kOM=-，又直线OT的斜率kOT=-，

所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ．

1

题型：简答题

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简答题

已知点A（-6，0）和圆x2+y2=36，AB是该圆的直径，M，N是AB的三等分点，设点P（异于A，B）是该圆上的动点，PD⊥AB于D，且（λ＞0），直线PA与BE交于C．

（1）当|CM|+|CN|为定值时，求λ的值；

（2）在（1）的条件下，过点N的直线l与圆x2+y2=36交于G、H两点，l与点C的轨迹交于P，Q两点，且|GH|∈[8，2]，求椭圆的弦RQ长的取值范围．

正确答案

解：（1）令P（6cosθ，6sinθ），由（λ＞0），可得E（6cosθ，），

直线BE：y=①

直线AP：y=②，

由①得③

联立②③得，两式相乘得=-1，即，

当|CM|+|CN|为定值时，可知上式是以M，N为焦点的椭圆方程，故焦距为2c=4，c=2，

所以36-，解得λ=；

（2）由（1）可知椭圆方程为：，不妨设N（2，0），

①当直线斜率不存在时，|GH|=8，符号题意，此时|RQ|=；

②当直线斜率存在时，令直线l：y=k（x-2），

圆心O（0，0）到直线l距离为：d=，在圆x2+y2=36中，d2=36-，

由|GH|∈[8，2]，可得2≤d2≤4，即2≤≤4，则k2≥1，

设R（x1，y1），Q（x2，y2），由，所以（9k2+8）x2-36k2x+36k2-288=0，所以，

由焦点弦长公式得到|RQ|=2a-e（x1+x2）=12-，由k2≥1，得到．

所以椭圆的弦RQ长的取值范围为．

解析

解：（1）令P（6cosθ，6sinθ），由（λ＞0），可得E（6cosθ，），

直线BE：y=①

直线AP：y=②，

由①得③

联立②③得，两式相乘得=-1，即，

当|CM|+|CN|为定值时，可知上式是以M，N为焦点的椭圆方程，故焦距为2c=4，c=2，

所以36-，解得λ=；

（2）由（1）可知椭圆方程为：，不妨设N（2，0），

①当直线斜率不存在时，|GH|=8，符号题意，此时|RQ|=；

②当直线斜率存在时，令直线l：y=k（x-2），

圆心O（0，0）到直线l距离为：d=，在圆x2+y2=36中，d2=36-，

由|GH|∈[8，2]，可得2≤d2≤4，即2≤≤4，则k2≥1，

设R（x1，y1），Q（x2，y2），由，所以（9k2+8）x2-36k2x+36k2-288=0，所以，

由焦点弦长公式得到|RQ|=2a-e（x1+x2）=12-，由k2≥1，得到．

所以椭圆的弦RQ长的取值范围为．

1

题型：简答题

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简答题

设点P是曲线C：x2=2py（p＞0）上的动点，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为．

（1）求曲线C的方程；

（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）依题意，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为．

∴1+=，解得p=．

所以曲线C的方程为x2=y．…（4分）

（2）由题意直线PQ的方程为：y=k（x-1）+1，则点M（1-，0）

联立方程组，消去y得x2-kx+k-1=0

解得Q（k-1，（k-1）2）．…（6分）

所以得直线QN的方程为y-（k-1）2）=．

代入曲线x2=y，得．

解得N（，）．…（8分）

所以直线MN的斜率kMN==-．…（10分）

∵过点N的切线的斜率．

∴由题意有-=．

∴解得．

故存在实数使命题成立． …（12分）

解析

解：（1）依题意，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为．

∴1+=，解得p=．

所以曲线C的方程为x2=y．…（4分）

（2）由题意直线PQ的方程为：y=k（x-1）+1，则点M（1-，0）

联立方程组，消去y得x2-kx+k-1=0

解得Q（k-1，（k-1）2）．…（6分）

所以得直线QN的方程为y-（k-1）2）=．

代入曲线x2=y，得．

解得N（，）．…（8分）

所以直线MN的斜率kMN==-．…（10分）

∵过点N的切线的斜率．

∴由题意有-=．

∴解得．

故存在实数使命题成立． …（12分）

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