- 圆锥曲线与方程
- 共14739题
已知双曲线方程为x2-4y2=16，则过点P（2，1）且与该双曲线只有一个公共点的直线有______条．
正确答案
2
解析
解；双曲线方程为x2-4y2=16，化为标准形式：
当k不存在时，直线为x=2，与
当k存在时，直线为：y=k（x-2）+1，代入双曲线的方程可得：
（1-4k2）x2+（16k2-8k）x-16k2+16k-20=0，
（1）若1-4k2=0，k=
k=
（2）k
即k=
综上过点P（2，1）且与该双曲线只有一个公共点的直线2条．
故答案为：2
抛物线y=x2上的点到直线2x-y=4的最短距离是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设抛物线y=x2上的点的坐标为（x，y），则
由点到直线的距离公式可得d=
∴抛物线y=x2上的点到直线2x-y=4的最短距离是
故选B．
（2015春•德宏州校级期中）过椭圆C：
正确答案
解析
解：由椭圆C：
设此直线的与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．
直线方程为：y=
联立
化为：5x2-18x+15=0，
∴x1+x2=
∴|AB|=
故答案为：
已知双曲线
（1）求双曲线的方程；
（2）过Q（0，2）的直线l与双曲线交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为
正确答案
解：（1）由双曲线的定义知：
∵a2+b2=c2，∴b2=2，
∴双曲线方程为：x2-y2=2．
（2）由题意得：直线l的斜率一定存在，设l：y=kx+2，
由
则
x1+x2=
∵原点到直线的距离d=
S△=
解得k2=2或k2=-1（舍去），即k=±
故所求直线方程为
解析
解：（1）由双曲线的定义知：
∵a2+b2=c2，∴b2=2，
∴双曲线方程为：x2-y2=2．
（2）由题意得：直线l的斜率一定存在，设l：y=kx+2，
由
则
x1+x2=
∵原点到直线的距离d=
S△=
解得k2=2或k2=-1（舍去），即k=±
故所求直线方程为
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）如图，A，B，C为抛物线上三点，且线段MA，MB，MC与x轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列，若△AMB的面积是△BMC面积的
正确答案
解：（Ⅰ）设M（x0，-p），则（-p）2=2px0，∴
由抛物线定义，得
∴p=2，x0=1． …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为y2=4x，M（1，-2）．
设
则MA，MB，MC与x轴交点的横坐标依次为x1，x2，x3．
（1）当MB⊥x轴时，直线MB的方程为x=1，则x1=0，不合题意，舍去．…（7分）
（2）MB与x轴不垂直时，
设直线MB的方程为
令y=0得2x2=y2，同理2x1=y1，2x3=y3，…（10分）
因为x1，x2，x3依次组成公差为1的等差数列，
所以y1，y2，y3组成公差为2的等差数列． …（12分）
设点A到直线MB的距离为dA，点C到直线MB的距离为dC，
因为S△BMC=2S△AMB，所以dC=2dA，
所以
得|y2+4|=2|y2|，即y2+4=2y2，所以y2=4，
所以直线MB的方程为：2x-y-4=0…（15分）
解析
解：（Ⅰ）设M（x0，-p），则（-p）2=2px0，∴
由抛物线定义，得
∴p=2，x0=1． …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为y2=4x，M（1，-2）．
设
则MA，MB，MC与x轴交点的横坐标依次为x1，x2，x3．
（1）当MB⊥x轴时，直线MB的方程为x=1，则x1=0，不合题意，舍去．…（7分）
（2）MB与x轴不垂直时，
设直线MB的方程为
令y=0得2x2=y2，同理2x1=y1，2x3=y3，…（10分）
因为x1，x2，x3依次组成公差为1的等差数列，
所以y1，y2，y3组成公差为2的等差数列． …（12分）
设点A到直线MB的距离为dA，点C到直线MB的距离为dC，
因为S△BMC=2S△AMB，所以dC=2dA，
所以
得|y2+4|=2|y2|，即y2+4=2y2，所以y2=4，
所以直线MB的方程为：2x-y-4=0…（15分）
抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，若过点M（0，2）任作一条直线交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1x2=-8，则抛物线C的方程为______．
正确答案
x2=4y
解析
解：由题意可设抛物线的方程为x2=2py（p＞0）．
设直线AB的方程为y=kx+2，
联立
由已知△=4p2k2+16p＞0，
∴x1x2=-4p=-8，解得p=2．
∴x2=4y．
故答案为x2=4y．
（1）求椭圆C2的标准方程；
（2）过点A作直线l交C1于C，D两点，射线OC，OD分别交C2于E，F两点．
（I）求证：O点在以EF为直径的圆的内部；
（II）记△OEF，△OCD的面积分别为S1，S2，问是否存在直线l，使得S2=3S1？请说明理由．
正确答案
解：（1）p=2，得椭圆的长半轴a=2，
∵
∴
代入抛物线求得
∴椭圆C2方程为
（2）（I）设直线l的方程为：x=my+2，
由
设C（x1，y1），D（x2，y2），
∴y1+y2=4m，y1y2=-8，
∴x1x2=4，
∴
∴∠COD＞90°，
又∵∠EOF=∠COD，
∴∠EOF＞90°，
∴O点在以EF为直径的圆的内部．
（II）
直线OC的斜率为
∴直线OC的方程为
由
得
∴
∴
∵m∈R，∴
∴不存在直线l使得S2=3S1．
解析
解：（1）p=2，得椭圆的长半轴a=2，
∵
∴
代入抛物线求得
∴椭圆C2方程为
（2）（I）设直线l的方程为：x=my+2，
由
设C（x1，y1），D（x2，y2），
∴y1+y2=4m，y1y2=-8，
∴x1x2=4，
∴
∴∠COD＞90°，
又∵∠EOF=∠COD，
∴∠EOF＞90°，
∴O点在以EF为直径的圆的内部．
（II）
直线OC的斜率为
∴直线OC的方程为
由
得
∴
∴
∵m∈R，∴
∴不存在直线l使得S2=3S1．
过点P（3，0）的直线l与抛物线y2=4x交于A、B两点，则
正确答案
-3
解析
解：设直线l的方程为x=ky+3，代入C：y2=4x可得y2-4ky-12=0
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则y1y2=-12，y1+y2=4k，
∴x1+x2=k（y1+y2）+6=4k2+6；x1x2=（ky1+3）（ky2+3）=k2y1y2+3k（y1+y2）+9=9
∴
故答案为：-3
给定椭圆C：
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
（2）过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，求l1，l2的方程；
（3）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求
正确答案
解：（1）由题意可得：
∴椭圆C的方程为
（2）由“准圆”的方程为x2+y2=4，令x=0，解得y=±2，取P（0，2），
设过点P且与椭圆相切的直线l的方程为m（y-2）=x，
联立
∴△=16m4-4（3+m2）（4m2-3）=0，解得m=±1，
故直线l1、l2的方程分别为：y=x+2，y=-x+2．
（3）由“准圆”的方程为x2+y2=4，令y=0，解得x=±2，取点A（2，0）．
设点B（x0，y0），则D（x0，-y0）．
∴
∵点B在椭圆
∴
∵
∴
∴
解析
解：（1）由题意可得：
∴椭圆C的方程为
（2）由“准圆”的方程为x2+y2=4，令x=0，解得y=±2，取P（0，2），
设过点P且与椭圆相切的直线l的方程为m（y-2）=x，
联立
∴△=16m4-4（3+m2）（4m2-3）=0，解得m=±1，
故直线l1、l2的方程分别为：y=x+2，y=-x+2．
（3）由“准圆”的方程为x2+y2=4，令y=0，解得x=±2，取点A（2，0）．
设点B（x0，y0），则D（x0，-y0）．
∴
∵点B在椭圆
∴
∵
∴
∴
已知双曲线C：
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．
正确答案
解：（I）∵双曲线C：
∴
∴双曲线C的方程为
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（s，t），则
由
两式相减得
又线段AB的中点在圆x2+y2=5上，∴s2+t2=5，联立解得
又中点M在直线x-y+m=0上，∴1-2+m=0或-1-（-2）+m=0，
解得m=1或-1．
解析
解：（I）∵双曲线C：
∴
∴双曲线C的方程为
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（s，t），则
由
两式相减得
又线段AB的中点在圆x2+y2=5上，∴s2+t2=5，联立解得
又中点M在直线x-y+m=0上，∴1-2+m=0或-1-（-2）+m=0，
解得m=1或-1．
已知椭圆C：
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，点M是椭圆C上异于A，B的任意一点．
①求证：直线MA，MB的斜率之积为定值；
②若直线MA，MB与直线x=4分别交于点P，Q，求线段PQ长度的最小值．
正确答案
解：（1）易知双曲线
则在椭圆C中a=2，e=
（2）①设M（x0，y0）（x0≠±2），由题易知A（-2，0），B（2，0），则kMA=
∴kMA•kMB=
∵点M在椭圆C上，∴
②设P（4，y1），Q（4，y2），则kMA=kPA=
由①得
同理，当y1＜0，y2＞0时，当且仅当y1=-
解析
解：（1）易知双曲线
则在椭圆C中a=2，e=
（2）①设M（x0，y0）（x0≠±2），由题易知A（-2，0），B（2，0），则kMA=
∴kMA•kMB=
∵点M在椭圆C上，∴
②设P（4，y1），Q（4，y2），则kMA=kPA=
由①得
同理，当y1＜0，y2＞0时，当且仅当y1=-
（Ⅰ）若点G的横坐标为
（Ⅱ）记△GFD的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由．
正确答案
解：
将其代入
设A（x1，y1），B（x2，y2），所以
故点G的横坐标为
依题意，得
（Ⅱ）假设存在直线AB，使得 S1=S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直．
由（Ⅰ）可得 
因为DG⊥AB，所以 
解得
因为△GFD∽△OED，所以S1=S2，所以|GD|=|OD|．
所以
整理得8k2+9=0．
因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得 S1=S2．
解析
解：
将其代入
设A（x1，y1），B（x2，y2），所以
故点G的横坐标为
依题意，得
（Ⅱ）假设存在直线AB，使得 S1=S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直．
由（Ⅰ）可得
因为DG⊥AB，所以
解得
因为△GFD∽△OED，所以S1=S2，所以|GD|=|OD|．
所以
整理得8k2+9=0．
因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得 S1=S2．
已知双曲线x2-y2=2，过定点P（2，0）作直线l与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线l的条数为（ ）
正确答案
解析
解：如图所示．
由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-2），
联立
①当1-k2=0时，解得k=±1，得到直线l：y=±（x-2），分别与渐近线y=±x平行，因此与双曲线只有一个交点，满足题意；
②当1-k2≠0时，由△=16k4-4（1-k2）（-4k2-2）=0，解得
得到直线l：
而与右支由一个交点，故此时有两个交点，不满足条件．
综上可知：过定点P（2，0）作直线l与双曲线有且只有一个交点的这样的直线l只有2条．
故选：B．
已知抛物线C：x2=16y的焦点为F，准线为l，M是l上一点，P是直线MF与C的一个交点，若
A
B
C
D
正确答案
解析
解：抛物线C：x2=16y的焦点为F（0，4），准线为l：y=-4，
设M（a，-4），P（m，
则
∵
∴m=3a，-8=
∴m2=
由抛物线的定义可得
|PF|=
故选：A
已知椭圆C：
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点P的坐标为（2，1），不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线．求
正确答案
解：（I）由题意得2c=2，2a+2c=6．
解得a=2，c=1，
又b2=a2-c2=3，
所以椭圆C的方程为
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
当直线l与x轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点M在x轴上，且与O点不重合，
显然M，O，P三点不共线，不符合题设条件．
故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0）．
由
（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．①
则△=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，
∴
所以点M的坐标为
∵M，O，P三点共线，
∴kOM=kOP，∴
∵m≠0，∴
此时方程①为3x2-3mx+m2-3=0，
则△=3（12-m2）＞0，得
x1+x2=m，
∴|AB|2=
=
又
∴
故当
解析
解：（I）由题意得2c=2，2a+2c=6．
解得a=2，c=1，
又b2=a2-c2=3，
所以椭圆C的方程为
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
当直线l与x轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点M在x轴上，且与O点不重合，
显然M，O，P三点不共线，不符合题设条件．
故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0）．
由
（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．①
则△=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，
∴
所以点M的坐标为
∵M，O，P三点共线，
∴kOM=kOP，∴
∵m≠0，∴
此时方程①为3x2-3mx+m2-3=0，
则△=3（12-m2）＞0，得
x1+x2=m，
∴|AB|2=
=
又
∴
故当
扫码查看完整答案与解析