热门试卷

解：（1）抛物线x2=4y的焦点（0，1），

设直线AB的方程是y=kx+1，

联立，整理得x2-4kx-4=0，

∴x1+x2=4k，

由抛物线定义得：|AB|=y1+y2+2=k（x1+x2）+4=8，

∴k2=1，k=±1．

∵k＞0，∴k=1，直线方程为：y=x+1．

（2）设与直线l平行的直线方程为y=x+m，

由题意可知当该直线与抛物线相切时，该切点到直线l的距离最大，

，令，解得x=2．

∴点C（2，1），点C到直线AB距离，

．

解：（1）设M（-c，y），A（a，0），B（0，b），

则有．解得．

∵AB∥OM，∴kAB=kOM，

∴-=，得b=c，则a=b=c，

∴e=；

（2）∵kAB=-，kAB=-，∴kPQ=．

设lPQ：y=（x-c）=（x-b），则x=+b，①

椭圆方程，即x2+2y2=2b2，②

把①代入②得：y2+by-b2=0，

△=2b2+10b2=12b2，

∴|yQ-yP|==b．

又=|yQ-yP|•|F1F2|=•b•2b=b2=20，

∴b2=25，则a2=50．

∴椭圆方程为．

解：（1）由题，得A1（-，0），A2（，0），

设P（x0，y0），Q（x0，-y0），则，

由=1，可得 …①

又P（x0，y0）在双曲线上，则   …②

联立①、②，解得x0=±2  

由题意，x0＞0，∴x0=2

∴点T的坐标为（2，0）

（2）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y）

由A1、P、M三点共线，得   …③

由A2、Q、M三点共线，得   …④

联立③、④，解得x0=，y0= 

∵P（x0，y0）在双曲线上，∴

∴轨迹E的方程为（x≠0，y≠0）

（3）由题意直线l的斜率不为0．故可设直线l的方程为x=ky+1代入中，得（k2+2）y2+2ky-1=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则由根与系数的关系，得y1+y2=  …⑤y1y2=  …⑥

∵，∴有（λ＜0）

将⑤式平方除以⑥式，得，即，

由λ∈[-2，-1]，可得

∴，∴

∵=（x1+x2-4，y1+y2）

∴=（x1+x2-4）2+（y1+y2）2=16-+

令t=，∵，∴，即t∈[，]

∴=f（t）=8t2-28t+16=8（t-）2-

而t∈[，]，∴f（t）∈[4，]

∴|+|∈[2，]．

解：（1）由|MN|=8⇒a=4，

|PM|=，

∴c2-6c+8=0⇒c=2或4（舍），

∴b2=a2-c2=16-4=12，

∴椭圆方程为；

（2）由（1）知，点P坐标为（-8，0），得直线AB方程为，

联立，得13x2+16x-128=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

∴

==；

（3）由已知图形得：S△ABF=S△PBF-S△PAF=，

设过点P的直线方程为x+8=my，

联立，得（3m2+4）y2-48my+144=0．

得△=（48m）2-4×144×（3m2+4）=4×144×（m2-4），

∴m2-4＞0．

，

∴

==．

因此，

变形得：，

当且仅当，即时等号成立．

解：（1）双曲线C1的左、右焦点A、B的坐标分别为（-2，0）和（2，0），

∵双曲线的渐进线方程为：y=x，

∴点C的坐标为（x0，3）（x0＞0）是渐进线y=x上的点，即点C的坐标为（2，3）．

∵|AC|=5，|BC|=3∴椭圆的长轴长2a=|AC|+|BC|=8＞|AB|=4，

∵半焦距c=2，∴b2=a2-c2=16-4=12．

∴椭圆的方程为+=1；    

（2）∵=2R，∴2R=4，即R=2

又圆心在线段AB的垂直平分线上，故可设圆心（0，s）（s＞0）

由4+s2=8，s=2．∴△ABC的外接圆的方程为x2+（y-2）2=8；

（3）假设存在这样的定点M（m，n），设点P的坐标为（x，x+t）

∵恒有|PM|=|PQ|，∴（x-m）2+（x+t-n）2=x2+（x+t-2）2-8

即（2m+2n-4）x-（m2+n2-2nt+4t+4）=0对x∈R恒成立．

从而2m+2n-4=0且m2+n2-2nt+4t+4=0，消去m，得n2-（t+2）n+（2t+4）=0①

∵方程①的判别式△=t2-4t-12

∴①当-2＜t＜6时，方程①无实数解，∴不存在这样的定点M；

②当t≤-2或t≥6时，方程①有实数解，此时≥2，即直线y=x+t与圆相离或相切，

故此时存在这样的定点M．

解：圆P的方程为（x-1）2+y2=1，则其直径长|BC|=2，圆心为P（1，0），

设l的方程为ky=x-1，即x=ky+1，代入抛物线方程得：y2=4ky+4，

设A（x1，y1），D（x2，y2），

有，…（2分）

则．…（4分）

故

=，…（7分）

因此|AD|=4（k2+1）．…（8分）

因为线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列，…（10分）

所以|AD|=3|BC|，即4（k2+1）=6

∴k=±…（12分）

∴l方程为或．…（14分）

解：（I）由对称性，不妨设一渐近线为y=x，右焦点为F（c，0），

则 =2，又=2，c2=a2+b2，

解得a2=4，b2=12，所以双曲线C的方程是 =1；

（II）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx-2，设点M（x1，y1），N（x2，y2），

由，得x1=2x2．

由 得：（3-k2）x2+4kx-16=0，

∵l与双曲线C的右支交于不同的两点M，N，

∴，消去x2，解得k=

∴直线l的方程为y=x-2．

（Ⅲ）t==

==．（10分）

∵0≤k2＜4且k2≠3，得 t＞52或 ．（12分）

解：（1）∵△BF1F2是边长为2的等边三角形，

∴a=2c=2，则c=1，b==3，

则椭圆的方程为．

（2）设B到直线AC的距离为h，由S1=2S2，

则，

即AF2=2F2C，

∴，

设A（x1，y1），C（x2，y2），

∵F2（1，0），

∴（1-x1，-y1）=2（x2-1，y2），

即，

由，解得，

∴直线l的斜率为k=．

解：（I）设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．

A（-a，0），B（a，0），F（c，0）．

=（c+a，0），=（c-a，0）．

∵•=-1，∴c2-a2=-1，

又，a2=b2+c2，

联立解得b2=1，a2=4，c2=3．

∴椭圆的标准方程为=1．

（II）设直线l的方程为x=ty+m，联立，

化为（t2+4）y2+2mty+m2-4=0，

设C（x1，y1），D（x2，y2），则．

∵△ACD的重心在y轴右侧，

∴，即x1+x2＞2，

∴t（y1+y2）+2m＞2，

∴，即4m＞t2+4．

∵直线l与椭圆相交，则△=4m2t2-4（m2-4）（t2+4）＞0，化为t2+4＞m2，

∴4m＞m2，解得0＜m＜4，

又t2≥0，∴4m＞t2+4≥4，解得m＞1，

∴m的取值范围是（1，4）．