圆锥曲线与方程_章节学习

1

题型：填空题

|

填空题

已知抛物线y2=8x的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0）

∵抛物线y2=8x的焦点与双曲线的一个焦点重合，

∴a2+1=4，∴a=

∴e==

故答案为：

1

题型：简答题

|

简答题

已知一个椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，短轴的一个顶点B与两个焦点F1，F2组成的三角形的周长为4+2，且∠F1BF2=．

（1）求这个椭圆的方程；

（2）斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求|AB|的最大值．

正确答案

解：（1）设长轴长为2a，焦距为2c，

则在三角形F2OB中，由∠F2BO=，

得c=a，则△F1BF2的周长为2a+2c=2a+a=4，

则a=2，c=，b=1，

故所求的椭圆方程为：+y2=1；

（2）设直线l：y=x+t，代入椭圆方程，消去y，得，x2+2tx+t2-1=0，

由题意得，△=（2t）2-5（t2-1）＞0，即t2＜5，x1+x2=-，x1x2=，

弦长|AB|==

=4×．

当且仅当t=0时，取最大值为．

解析

解：（1）设长轴长为2a，焦距为2c，

则在三角形F2OB中，由∠F2BO=，

得c=a，则△F1BF2的周长为2a+2c=2a+a=4，

则a=2，c=，b=1，

故所求的椭圆方程为：+y2=1；

（2）设直线l：y=x+t，代入椭圆方程，消去y，得，x2+2tx+t2-1=0，

由题意得，△=（2t）2-5（t2-1）＞0，即t2＜5，x1+x2=-，x1x2=，

弦长|AB|==

=4×．

当且仅当t=0时，取最大值为．

1

题型：简答题

|

简答题

（2015秋•大连校级月考）已知椭圆的中心是坐标原点O，它的短轴长为2，一个焦点F的坐标为（c，0）（c＞0），一个定点A的坐标为，且过点A的直线与椭圆相交于P，Q两点：

（1）求椭圆的方程和离心率；

（2）如果OP⊥OQ，求直线PQ的方程．

正确答案

解：（1）由题意知，b=，F（c，0），A，

，

由得，解得：c=2．

∴a2=b2+c2=6，

∴椭圆的方程为，

离心率为；

（2）A（3，0），

设直线PQ的方程为y=k（x-3），

联立，得（1+3k2）x2-18k2x+27k2-6=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则，

=

由OP⊥OQ，得x1x2+y1y2=0，

即，

解得：k=，符合△＞0，

∴直线PQ的方程为．

解析

解：（1）由题意知，b=，F（c，0），A，

，

由得，解得：c=2．

∴a2=b2+c2=6，

∴椭圆的方程为，

离心率为；

（2）A（3，0），

设直线PQ的方程为y=k（x-3），

联立，得（1+3k2）x2-18k2x+27k2-6=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则，

=

由OP⊥OQ，得x1x2+y1y2=0，

即，

解得：k=，符合△＞0，

∴直线PQ的方程为．

1

题型：单选题

|

单选题

已知双曲线半焦距为c，过焦点且斜率为1的直线与双曲线C的左右两支各有一个交点，若抛物线y2=4cx的准线被双曲线C截得的弦长为为双曲线C的离心率），则e的值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：∵抛物线y2=4cx的准线：x=-c，

它正好经过双曲线的左焦点，

∴准线被双曲线C截得的弦长为：2，

∴2=，

即：c2=3ab，又

∴解得：e=的值为：，

又过焦点且斜率为1的直线与双曲线C的左右两支各有一个交点，

∴e=．

故选B．

1

题型：填空题

|

填空题

如果双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，那么双曲线其方程是______．

正确答案

解析

解：椭圆的焦点坐标为（0，±3）

∵双曲线与椭圆有相同焦点，

∴双曲线的焦点坐标为（0，±3）

∵双曲线经过点，

∴2a=||=4

∴a=2

∴b2=9-4=5

∴双曲线的方程是

故答案为：

1

题型：简答题

|

简答题

已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）经过点P（4，），且双曲线C的渐近线与圆x2+（y-3）2=4相切．

（1）求双曲线C的方程；

（2）设F（c，0）是双曲线C的右焦点，M（x0，y0）是双曲线C的右支上的任意一点，试判断以MF为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．

正确答案

解：（1）∵双曲线C：=1经过点P（4，），所以①．

∵双曲线C的渐近线bx±ay=0与圆x2+（y-3）2=4相切，

所以圆心（0，3）到直线bx±ay=0的距离等于2，

即，整理得5a2=4b2②．

联立①与②，解得，

∴双曲线C的方程为；

（2）由（1）得，，所以双曲线C的右焦点为F（3，0）．

设双曲线C的左焦点为F′（-3，0），因为点M在双曲线C的右支上，

所以|MF′|-|MF|=4，即=4，

所以即=+4，

因为以双曲线C的实轴为直径的圆的圆心为（0，0），半径为r1=2；

以MF为直径的圆的圆心为，半径为，

所以两圆圆心之间的距离为．

因为=，

∴以MF为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆外切．

解析

解：（1）∵双曲线C：=1经过点P（4，），所以①．

∵双曲线C的渐近线bx±ay=0与圆x2+（y-3）2=4相切，

所以圆心（0，3）到直线bx±ay=0的距离等于2，

即，整理得5a2=4b2②．

联立①与②，解得，

∴双曲线C的方程为；

（2）由（1）得，，所以双曲线C的右焦点为F（3，0）．

设双曲线C的左焦点为F′（-3，0），因为点M在双曲线C的右支上，

所以|MF′|-|MF|=4，即=4，

所以即=+4，

因为以双曲线C的实轴为直径的圆的圆心为（0，0），半径为r1=2；

以MF为直径的圆的圆心为，半径为，

所以两圆圆心之间的距离为．

因为=，

∴以MF为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆外切．

1

题型：单选题

|

单选题

过椭圆内的一点P（2，-1）的弦，恰好被点P平分，则这条弦所在直线方程（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：设过点P的弦与椭圆交于A1（x1，y1），A2（x2，y2）两点，则x1+x2=4，y1+y2=-2，

∵，

∴两式相减并代入x1+x2=4，y1+y2=-2，可得（x1-x2）-（y1-y2）=0，

∴kA1A2==．

∴弦所在直线方程为y+1=（x-2），

即y=．

故选B．

1

题型：单选题

|

单选题

若直线mx+ny=4和⊙O：x2+y2=4相交，则点P（m，n）与椭圆C：=1的位置关系为（　　）

A点P在椭圆C内

B点P在椭圆C上

C点P在椭圆C外

D以上三种均有可能

正确答案

C

解析

解：∵直线mx+ny=4和⊙O：x2+y2=4相交，∴圆心（0，0）到直线的距离d＜r．

∴，化为m2+n2＞4．

∴m2＞4-n2．

∵=1+＞1，

∴点P（m，n）在椭圆C：=1的外部．

故选：C．

1

题型：填空题

|

填空题

已知圆P：x2+y2=4y及抛物线S：x2=8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为______．

正确答案

±

解析

解：∵圆P：x2+y2=4y，

∴x2+（y-2）2=4．

圆心P（0，2），半径r=2，BC=4．

∵线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，

∴AB+CD=BC，

∴AB+BC+CD=3BC，

∴AD=12．

设直线l的方程为：y=kx+2，

由，得到：x2-8kx-16=0，

由弦长公式知：AD==8（k2+1）．

∴8（k2+1）=12．

∴k=±．

1

题型：简答题

|

简答题

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点，在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）由题意设此椭圆的方程为，过右焦点F且斜率为1的直线的方程为：y=x-c，

则解得，∴题意的方程为．

（2）假设存在点M（m，0）（0＜m＜1）满足条件，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，因为直线与x轴不垂直，

所以直线l的方程可设为y=k（x-1）（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）．

由可得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0．

由△＞0恒成立，∴．（*）

∵以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，∴|MQ|=|MP|，

∴=，又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1）．

化为，

把（*）代入上式得，

化为=，

∵k2＞0，∴．

解析

解：（1）由题意设此椭圆的方程为，过右焦点F且斜率为1的直线的方程为：y=x-c，

则解得，∴题意的方程为．

（2）假设存在点M（m，0）（0＜m＜1）满足条件，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，因为直线与x轴不垂直，

所以直线l的方程可设为y=k（x-1）（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）．

由可得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0．

由△＞0恒成立，∴．（*）

∵以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，∴|MQ|=|MP|，

∴=，又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1）．

化为，

把（*）代入上式得，

化为=，

∵k2＞0，∴．

1

题型：简答题

|

简答题

已知l1、l2是过点P（-，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2．

（1）求l1的斜率k1的取值范围；

（2）若|A1B1|=|A2B2|，求l1、l2的方程．

正确答案

解：（1）显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交．设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1（x+）．

联立得y=k1（x+），y2-x2=1，

消去y得

（k12-1）x2+2k12x+2k12-1=0．①

根据题意得k12-1≠0，②

△1＞0，即有12k12-4＞0．③

完全类似地有-1≠0，④

△2＞0，即有12•-4＞0，⑤

从而k1∈（-，-）∪（，）且k1≠±1．

（2）由弦长公式得

|A1B1|=．⑥

完全类似地有

|A2B2|=．⑦

∵|A1B1|=|A2B2|，

∴k1=±，k2=．从而

l1：y=（x+），l2：y=-（x+）或l1：y=-（x+），l2：y=（x+）．

解析

解：（1）显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交．设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1（x+）．

联立得y=k1（x+），y2-x2=1，

消去y得

（k12-1）x2+2k12x+2k12-1=0．①

根据题意得k12-1≠0，②

△1＞0，即有12k12-4＞0．③

完全类似地有-1≠0，④

△2＞0，即有12•-4＞0，⑤

从而k1∈（-，-）∪（，）且k1≠±1．

（2）由弦长公式得

|A1B1|=．⑥

完全类似地有

|A2B2|=．⑦

∵|A1B1|=|A2B2|，

∴k1=±，k2=．从而

l1：y=（x+），l2：y=-（x+）或l1：y=-（x+），l2：y=（x+）．

1

题型：简答题

|

简答题

如图，F1，F2为椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e=，．若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）△AOB的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．

正确答案

解：（1）∵椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，，

∴=①，（a-c）b=1-②，又a2=b2+c2③．

由①②③组成方程组，解得a2=4，b2=1．

∴椭圆C的标准方程为．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P，Q．

∵，∴=．（*）

设直线l的方程为my+t=x，联立，化为（4+m2）y2+2mty+t2-4=0，

∵直线l与椭圆相交于两点，∴△=4m2t2-4（4+m2）（t2-4）＞0，化为m2+4＞t2．（**）

∴，，

∴x1x2=（my1+t）（my2+t）=，

代入（*）可得．

∴，

∴，代入（**）知成立．

|AB|===．

点O到直线AB的距离d=．

又S△AOB==1为定值．

解析

解：（1）∵椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，，

∴=①，（a-c）b=1-②，又a2=b2+c2③．

由①②③组成方程组，解得a2=4，b2=1．

∴椭圆C的标准方程为．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P，Q．

∵，∴=．（*）

设直线l的方程为my+t=x，联立，化为（4+m2）y2+2mty+t2-4=0，

∵直线l与椭圆相交于两点，∴△=4m2t2-4（4+m2）（t2-4）＞0，化为m2+4＞t2．（**）

∴，，

∴x1x2=（my1+t）（my2+t）=，

代入（*）可得．

∴，

∴，代入（**）知成立．

|AB|===．

点O到直线AB的距离d=．

又S△AOB==1为定值．

1

题型：简答题

|

简答题

如图所示，过点M（m，1）作直线AB交抛物线x2=y于A，B两点，且|AM|=|MB|，过M作x轴的垂线交抛物线于点C．连接AC，BC，记三角形ABC的面积为S△，记直线AB与抛物线所围成的阴影区域的面积为S弓．

（1）求m的取值范围；

（2）当S△最大时，求m的值；

（3）是否存在常数λ，使得？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）由题意，直线AB的斜率存在，设AB直线方程为y=k（x-m）+1

代入抛物线方程x2=y得，x2-kx+mk-1=0（*）

设A（x1，y1），B（x2，y2）

因为M是AB的中点，所以，即k=2m

方程（*）即为：x2-2mx+2m2-1=0（**）

由△=4m2-8m2+4＞0得-1＜m＜1

所以m的取值范围是（-1，1）；…4‘

（2）因为M（m，1），C（m，m2），MC⊥x轴，所以|MC|=1-m2，

由方程（**）得

所以S△=SACM+SBCM==

==≤1

所以当S△最大时，m=0；…8'

（3）常数λ存在且

不妨设x1＜x2

=====

由方程（**）得，

代入上式化简得

由（2）知S△=，所以

所以常数λ存在且…13'

解析

解：（1）由题意，直线AB的斜率存在，设AB直线方程为y=k（x-m）+1

代入抛物线方程x2=y得，x2-kx+mk-1=0（*）

设A（x1，y1），B（x2，y2）

因为M是AB的中点，所以，即k=2m

方程（*）即为：x2-2mx+2m2-1=0（**）

由△=4m2-8m2+4＞0得-1＜m＜1

所以m的取值范围是（-1，1）；…4‘

（2）因为M（m，1），C（m，m2），MC⊥x轴，所以|MC|=1-m2，

由方程（**）得

所以S△=SACM+SBCM==

==≤1

所以当S△最大时，m=0；…8'

（3）常数λ存在且

不妨设x1＜x2

=====

由方程（**）得，

代入上式化简得

由（2）知S△=，所以

所以常数λ存在且…13'

1

题型：单选题

|

单选题

如图，已知抛物线的方程为x2=2py（p＞0），过点A（0，-1）作直线与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3，则∠MBN的大小等于（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：设直线PQ的方程为：y=kx-1，P（x1，y1），Q（x2，y2），

由得x2-2pkx+2p=0，△＞0，

则x1+x2=2pk，x1x2=2p，

，，

=

===0，即kBP+kBQ=0①

又kBP•kBQ=-3②，

联立①②解得，，

所以，，

故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=，

故选D．

1

题型：单选题

|

单选题

直线y=x+b与曲线有两个不同的公共点，则实数b∈（　　）

A

B（-5，5）

C

D

正确答案

D

解析

解：∵

∴（y≥0）即表示以F1（-，0），F2（，0）为焦点的上半个椭圆，

结合图象可知直线应介于图中两平行线的位置满足条件

当直线过左顶点（-2，0）时b=2

当直线与椭圆相切时，设切点为（m，）

切线的斜率为1=f′（m）=解得m=-4

∴切点为（-4，1），而切点在直线y=x+b上，则b=5

∴直线y=x+b与曲线有两个不同的公共点，则实数b∈[2，5）

故选D．

热门试卷

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析