热门试卷

解：（I）△FOP的外接圆的圆心在线段OF，FP的中垂线的交点上，且线段OF的中垂线为直线，

则圆心的纵坐标为，故圆心到准线的距离为，解得p=2，即抛物线C的方程为x2=4y．

（II）由题意知过点P的圆x2+（y-1）2=1的切线的斜率存在，设切线方程为y-y0=k（x-x0），即kx-y-kx0+y0=0．

则点F（0，1）到直线的距离．令d=1，则，

整理得．

设两条切线PM，PN的斜率分别为k1，k2，则，，

且直线PM：y-y0=k1（x-x0），直线PN：y-y0=k2（x-x0），故，．

因此．

所以．

设（t＞2），则，

令t2-3t-6=0，则（舍），或．

当t∈时，f′（t）＜0，f（t）在上单点递减，

当t∈时，f′（t）＞0，f（t）在上单调递增，

因此=

=．

所以△PMN面积的最小值为．

此时．

解：（1）若斜率不存在，若弦AB的中点为P（2，1），与题意不符，不成立．

若斜率存在，设斜率为k则直线的方程为：y-1=k（x-2），即y=kx+1-2k，

代入椭圆方程得：x2-2（kx+1）-2k2=8，

整理得：（1+2k2）x2+4k（1-2k）x+2（1-2k）2-8=0，①

设，

解得：k=-1，

即l的方程为：x+y-3=0．

（2）由方程①可求得，弦长|AB|==，

原点到直线l的距离为，

∴；

当且仅当时取等号，此时直线l的方程为x+4y-6=0．

当斜率不存在时，求得S△AOB=．

所以三角形面积的最大值为，此时直线方程为x+4y-6=0或x=2．

解：（1）直线l：y=kx+1代入双曲线c：3x2-y2=1，消去y得（3-k2）x2-2kx-2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=-，

∵以AB为直径的圆过原点，

∴x1x2+y1y2=0，

∴x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=0，

∴（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=0，

∴-（1+k2）•+k•+1=0，

∴k=±1，

∴直线l的方程为y=±x+1；

（2）∵A．B在双曲线的右支上，

∴x1+x2=＞0，x1x2=-＞0且3-k2≠0，△＞0

解得-＜k＜-，

∴直线l的倾斜角的范围为（-arctan，）．

（1）解：由e=，可得：，即，

∴，a2=4b2   ①

又∵c2=2b2+1，即a2-b2=2b2+1  ②

联立①②解得：a2=4，b2=1，

∴椭圆C1的方程为：；

（2）解：∵l与椭圆C1相切于第一象限内的一点，

∴直线l的斜率必存在且为负，

设直线l的方程为：y=kx+m（k＜0），

联立，消去y整理可得：

  ③

根据题意可得方程③只有一实根，

∴△=，

整理可得：m2=4k2+1  ④

∵直线l与两坐标轴的交点分别为且k＜0，

∴l与坐标轴围成的三角形的面积  ⑤

④代入⑤可得：（当且仅当k=-时取等号）；

（3）证明：由（1）得A（-2，0），B（2，0），

设D（x0，y0），∴E（x0，0），

∵，

∴可设C（2，y1），

∴，

由可得：（x0+2）y1=2y0，即，

∴直线AC的方程为：，整理得：，

点P在DE上，令x=x0代入直线AC的方程可得：，

即点P的坐标为，

∴P为DE的中点

∴PD=DE．

解：（Ⅰ） 观察知，x=2是圆的一条切线，切点为A1（2，0），

设O为圆心，根据圆的切线性质，MO⊥A1A2，

∴，

∴直线A1A2的方程为．

直线A1A2与y轴相交于（0，1），依题意a=2，b=1，

所求椭圆的方程为．

（Ⅱ）椭圆方程为，设P（x0，y0），A（-1，t），B（-1，-t），

则有，，

在直线AP的方程中，令x=-4，整理得．①

同理，．②

①×②，并将，代入得yQ•yR=

===-3．

而=13为定值．

解：（1）∵a=2b，∴在椭圆C1：（a＞b＞0）中，

∴椭圆C1的离心率为；

在双曲线C2中，，

∴双曲线C2的离心率为；

（2）设P、C的坐标分别为（x0，y0），（x1，y1）

由题意知A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0）

∵△ACD和△PCD的面积相等，

∴|AC|=|PC|

∴，

代入椭圆C1：得①

∵P（x0，y0）是双曲线C2：=1右支x轴上方的一点，

∴②

②代入①化简可得

∴x0=2a或-a（舍去）

∴

∴点P的坐标为（2a，b）．