热门试卷

解：（1）设P（x，y），

由P到定点F（1，0）的距离为，

P到y轴的距离为|x|，

当x≤0时，P的轨迹为y=0（x≤0）；

当x＞0时，又动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，

列出等式：-|x|=1，

化简得y2=4x（x≥0），为焦点为F（1，0）的抛物线．

则动点P的轨迹方程为y2=4x或y=0（x≤0）．

（2）直线l：y=-x+1与y2=4x联立，消去y，整理可得：x2-6x+1=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6．

则|AB|=x1+x2+p=6+2=8．

（Ⅰ）解：由△MOF是等腰直角三角形，得c2=b2=4，a2=8，

故椭圆方程为：=1．

（Ⅱ）证明：（1）若直线AB的斜率存在，设AB的方程为：y=kx+m，依题意得m≠±2，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，

则．

由已知 k1+k2=8，可得 ，

所以，即．     

所以，整理得 ．

故直线AB的方程为，即y=k（）-2．

所以直线AB过定点（）．   

（2）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，

设A（x0，y0），B（x0，-y0），

由已知，得．

此时AB方程为，显然过点（）．

综上，直线AB过定点（）．

解：（1）由，（2分）

求得交点A（-2，0），B（3，5）（4分）

（2）因为y′=2x，则y′|x=-2=-4，y′|x=3=6，（8分）

所以抛物线在A，B处的切线方程分别为y=-4（x+2）与y-5=6（x-3）

即4x+y+8=0与6x-y-13=0（12分）

解：不妨设已知直角三角形为OAB，直线OA的方程为y=2x

∵∠AOB=90°即OA⊥OB，

∴=-，直线OB的方程为y=-x

联立方程可得2x2-px=0

∴，yA=p

同理可得xB=8p，yB=-4p

∵斜边AB=

由勾股定理可得，AB2=OA2+OB2=325

∴325=

∵p＞0

∴p=2

∴抛物线的方程为y2=4x

解：（1）设动点N（x，y）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1分）

依据题意，有，．（3分）

又，则，进一步有．

因此，y2=4x（x≥0）．　     （7分）

所以曲线C的方程是y2=4x（x≥0）．　　　　　　　　　　　 　 　　　（8分）

证明　（2）因A、B是曲线C：y2=4x（x≥0）上不同于D点的两点，

可设、，则、，．                     （10分）

又DA⊥DB，故，

进一步化简得y1y2=-2（y1+y2）-20．　　　　　　　　　　　　　　　　　　    　 　（12分）

由直线AB的法向量为，可得直线AB的方程：，

即．把y1y2=-2（y1+y2）-20代入此方程，得．（14分）

进一步把直线AB的方程化为，知其恒过定点（5，-2）．（15分）

所以直线AB：恒过定点，且定点坐标为（5，-2）．   　（16分）

证毕！

解：类似的性质为若MN是双曲线-=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．

设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），

其中-=1、又设点P的坐标为（x，y），

由kPM=，kPN=，

得kPM•kPN=•=，

将y2=x2-b2，n2=m2-b2，代入得kPM•kPN=．

解：（1）设椭圆的右焦点为F（c，0），依题意得抛物线的方程为y2=4cx…（1分）

∵△AOB是边长为的正三角形，

∴点A的坐标是，…（3分）

代入抛物线的方程y2=4cx解得，

故所求抛物线C1的方程为y2=x…（4分）

（2）∵AF⊥OF，∴点A的横坐标是c

代入椭圆方程解得，即点A的坐标是…（5分）

∵点A在抛物线y2=4cx上，

∴，…（6分）

将b2=a2-c2代入上式整理得：，

即e2+2e-1=0，解得…（7分）

∵0＜e＜1，故所求椭圆C2的离心率．               …（8分）

（3）证明：设P（x1，y1），A（x2，y2），B（x2，-y2），

代入椭圆方程得…（9分）

而直线PA的方程为（x2-x1）（y-y1）+（x-x1）（y1-y2）=0…（10分）

令y=0得．                                  …（11分）

在中，以-y2代换y2得…（12分）

∴=

∴当a为常数时，mn是定值．                               …（14分）

解：（Ⅰ）点A（4，m）在抛物线y2=2px（p＞0）上，

则有m2=8p，

由于A到抛物线焦点F的距离为5，则由抛物线定义，可得，

4+=5，解得，p=2，

则m2=16，解得，m=±4；

（Ⅱ）由m＞0，则抛物线方程为y2=4x，

点A（4，4）在抛物线y2=4x上，

∴过点（4，4）且与抛物线y2=4x只有一个公共点时只能是：

i）过点（4，4）且与抛物线y2=4x相切，

此时设直线方程为：y=k（x-4）+4，

代入抛物线，得：[k（x-4）+4]2=4x，

整理，得：k2x2+（8k-8k2-4）x+16k2-32k+16=0，

∵方程只有一个根，∴x1=x2=4，

∴=8，解得k=，

∴直线方程为：y=x+2，即x-2y+4=0．

ii）过点（4，4）且平行于对称轴．

此时直线方程为y=4．

综上所述，满足条件的直线方程为：x-2y+4=0或y=4．

解：（1）设圆心坐标为（m，n）（m＜0，n＞0），

则该圆的方程为（x-m）2+（y-n）2=8已知该圆与直线y=x相切，

那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则=2

即|m-n|=4①

又圆与直线切于原点，将点（0，0）代入得m2+n2=8②

联立方程①和②组成方程组解得

故圆的方程为（x+2）2+（y-2）2=8；

（2）|a|=5，∴a2=25，则椭圆的方程为=1

其焦距c==4，右焦点为（4，0），那么|OF|=4．

通过联立两圆的方程，解得x=，y=．

即存在异于原点的点Q（，），

使得该点到右焦点F的距离等于|OF|的长．