- 圆锥曲线与方程
- 共14739题
设椭圆C：
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，求O到直线l的距离．
正确答案
解：（Ⅰ）∵
则
∴椭圆C的方程是：
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）
那么：
则（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，
∴x1+x2=-
又∵直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，
∴x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+（kx1-m）（kx2-m）=0，
∴
化简得
∴O到直线l的距离为
解析
解：（Ⅰ）∵
则
∴椭圆C的方程是：
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）
那么：
则（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，
∴x1+x2=-
又∵直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，
∴x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+（kx1-m）（kx2-m）=0，
∴
化简得
∴O到直线l的距离为
已知椭圆x2+ky2=3k（k＞0）的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是______．
正确答案
解析
解：抛物线y2=12x的焦点（3，0）
方程可化为
∵焦点（3，0）在x轴上，
∴a2=3k，b2=3，
又∵c2=a2-b2=9，∴a2=12，
解得：k=4．
故答案为：
设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是椭圆
A
B
C
D
正确答案
解析
当x=
所以|PE|=
故2a=
∴e=
故选D．
如果直线y=kx-2与双曲线x2-y2=4没有公共点，则k的取值范围是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意，直线y=kx-2代入双曲线x2-y2=4方程，可得x2-（kx-2）2=4
∴（1-k2）x2+4kx-8=0
∵直线y=kx-2与双曲线x2-y2=4没有公共点，
∴△=16k2+32（1-k2）＜0
∴k2-2＞0
∴k＞
∴k的取值范围是
故选C．
直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，则k的值为（ ）
A-1或2
B2
C-1
D
正确答案
解析
解：∵直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A、B两点，∴k≠0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由
由△=[-（4k+8）]2-16k2=64k+64＞0，得k＞-1．
根据根与系数关系有 
而A、B中点的横坐标为2，
∴
所以，使直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A、B两点且AB中点的横坐标为2的k的值为2．
故选B．
求圆锥曲线3x2-y2+6x+2y-1=0的离心率．
正确答案
解：方程整理成标准方程得（x+1）2-
即a=1，b=
∴c=
∴e=
解析
解：方程整理成标准方程得（x+1）2-
即a=1，b=
∴c=
∴e=
已知k∈R，当k的取值变化时，关于x，y的方程4kx-4y=4-k2的直线有无数条，这无数条直线形成了一个直线系，记集合M={（x，y）|4kx-4y=4-k2仅有唯一直线}．
（1）求M中点（x，y）的轨迹方程；
（2）设P={（x，y）|y=2x+a，a为常数}，任取C∈M，D∈P，如果|CD|的最小值为
正确答案
解（1）由题意易知，k2+4kx-4（y+1）=0仅有唯一解，
∴△=16x2+16（y+1）=0，
∴所求的轨迹方程为x2+y+1=0．…..…（3分）
（2）设直线y=2x+C与轨迹M相切，则
由
∴△=4-4（C+1）=0，即C=0，∴y=2x，
∵|CD|的最小值为
∴
解析
解（1）由题意易知，k2+4kx-4（y+1）=0仅有唯一解，
∴△=16x2+16（y+1）=0，
∴所求的轨迹方程为x2+y+1=0．…..…（3分）
（2）设直线y=2x+C与轨迹M相切，则
由
∴△=4-4（C+1）=0，即C=0，∴y=2x，
∵|CD|的最小值为
∴
与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点，且过点（-3，2）的椭圆方程为______．
正确答案
解析
解：椭圆4x2+9y2-36=0，
∴焦点坐标为：（ 
∵椭圆的焦点与椭圆4x2+9y2-36=0有相同焦点
设椭圆的方程为：
∴椭圆的半焦距c=
∴
解得：a2=15，b2=10
∴椭圆的标准方程为
故答案为：
（1）当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；
（2）当
正确答案
解：（1）∵双曲线的渐近线为y=±
又
∴a=
又a2+b2=4，
∴a2=3，b2=1．
故椭圆C的方程为
（2）由已知l：y=
由
将A点坐标代入椭圆方程得（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2．
∴（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2．
∴λ2=
∴λ的最大值为
解析
解：（1）∵双曲线的渐近线为y=±
又
∴a=
又a2+b2=4，
∴a2=3，b2=1．
故椭圆C的方程为
（2）由已知l：y=
由
将A点坐标代入椭圆方程得（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2．
∴（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2．
∴λ2=
∴λ的最大值为
双曲线
正确答案
2
解析
解：由题得：F（2，0）
故以F为圆心，FO为半径的圆的方程为：（x-2）2+y2=4；
其中一条渐近线方程为；y=
联立
所以：A（1，
同理得：B（1，-
∴|AB|=2
故答案为：2
已知双曲线
A
B
C
D
正确答案
解析
解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）
∵双曲线的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，且双曲线的离心率等于
∴双曲线的焦点在x轴上，且
∴b2=c2-a2=6
∴双曲线的标准方程为
故选A．
已知点P（x，y）满足椭圆方程2x2+y2=1，则
正确答案
解析
解：设k=
可得2x2+[k（x-1）]2=1，整理可得（2+k2）x2-2kx+k2-1=0，
∴△=（-2k）2-4（2+k2）（k2-1）=-4k4+8=0，
可得k=±
∴
故答案为：
（1）双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程
（2）若抛物线x=
正确答案
解：（1）依题意可设双曲线方程为：
∴a=3，b=4
∴所求双曲线方程为
（2）依题意知F（-2，0），即c=2，
由椭圆定义知：2a=
∴a=4，∴b2=a2-c2=12，即椭圆C的方程为：
解析
解：（1）依题意可设双曲线方程为：
∴a=3，b=4
∴所求双曲线方程为
（2）依题意知F（-2，0），即c=2，
由椭圆定义知：2a=
∴a=4，∴b2=a2-c2=12，即椭圆C的方程为：
已知椭圆C：
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意，双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x
∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，
∴（2，2）在椭圆C：
∴
又∵
∴
∴a2=4b2
∴a2=20，b2=5
∴椭圆方程为：
故选D．
与椭圆
正确答案
解析
解：∵椭圆
故双曲线中的c=5，且满足
∴
所以双曲线的方程为
故答案为：
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