圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P（x1，y1）是椭圆上任意一点，且|PF1|+|PF2|=4，椭圆的离心率e=

（I）求椭圆E的标准方程；

（II）直线PF1交椭圆E于另一点Q（x1，y2），椭圆右顶点为A，若=3，求直线PF1的方程；

（III）过点M（，0）作直线PF1的垂线，垂足为N，当x1变化时，线段PN的长度是否为定值？若是，请写出这个定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）由|PF1|+|PF2|=4，得2a=4，所以a=2，

又e==，则c=1，所以b2=a2-c2=4-1=3．

所以所求的椭圆E的方程为；

（Ⅱ）由椭圆方程知F1（-1，0），A（2，0）．

当PF1与x轴垂直时，直线方程为x=-1，代入椭圆方程解得，．

≠3．

所以直线PF1的斜率存在且不为0，设斜率为k，

则直线PF1的方程为y=k（x+1）．

由，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0．

，．

由=（x1-2，y1）•（x2-2，y2）=3，

得

=

所以

=．

即9k2=3+4k2，所以k=．

所以直线PF1的方程为；

（Ⅲ）PN的长度为定值．

当PF1的斜率不存在时，即x1=-1时，F1与N重合，此时|PN|=．

当PF1的斜率存在时，即x1≠-1时，斜率k=．

故直线PF1的方程为，即y1x-（x1+1）y+y1=0．

又M（），所以

又，所以，

从而|MN|2=

=．

又|PM|2==，

所以|PN|2=|PM|2-|MN|2=3-，所以|PN|=．

解析

解：（Ⅰ）由|PF1|+|PF2|=4，得2a=4，所以a=2，

又e==，则c=1，所以b2=a2-c2=4-1=3．

所以所求的椭圆E的方程为；

（Ⅱ）由椭圆方程知F1（-1，0），A（2，0）．

当PF1与x轴垂直时，直线方程为x=-1，代入椭圆方程解得，．

≠3．

所以直线PF1的斜率存在且不为0，设斜率为k，

则直线PF1的方程为y=k（x+1）．

由，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0．

，．

由=（x1-2，y1）•（x2-2，y2）=3，

得

=

所以

=．

即9k2=3+4k2，所以k=．

所以直线PF1的方程为；

（Ⅲ）PN的长度为定值．

当PF1的斜率不存在时，即x1=-1时，F1与N重合，此时|PN|=．

当PF1的斜率存在时，即x1≠-1时，斜率k=．

故直线PF1的方程为，即y1x-（x1+1）y+y1=0．

又M（），所以

又，所以，

从而|MN|2=

=．

又|PM|2==，

所以|PN|2=|PM|2-|MN|2=3-，所以|PN|=．

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题型：填空题

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填空题

椭圆的弦AB的中点为，则弦AB所在直线的方程是______．

正确答案

x+2y-2=0

解析

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵弦AB的中点为，

∴弦AB的斜率存在．

x1+x2=2，y1+y2=1．

把A，B的坐标代入椭圆，得：

①

②

①-②得：，

即．

∴．

弦AB所在直线的方程是，

整理得：x+2y-2=0．

故答案为：x+2y-2=0．

1

题型：简答题

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简答题

如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求•的最小值，并求此时圆T的方程．

正确答案

解：（1）依题意，得a=2，，∴；

故椭圆C的方程为．

（2）点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），

不妨设sinθ＞0，由已知T（-2，0），

则•=（2cosθ+2，sinθ）•（2cosθ+2，-sinθ）=（2cosθ+2）2-sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3

=5-．

故当cosθ=-时，•取得最小值为-，此时M（-，），

又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2=．

故圆：（x+2）2+y2=．

解析

解：（1）依题意，得a=2，，∴；

故椭圆C的方程为．

（2）点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），

不妨设sinθ＞0，由已知T（-2，0），

则•=（2cosθ+2，sinθ）•（2cosθ+2，-sinθ）=（2cosθ+2）2-sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3

=5-．

故当cosθ=-时，•取得最小值为-，此时M（-，），

又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2=．

故圆：（x+2）2+y2=．

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题型：单选题

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单选题

直线l与椭圆交于不同的两点P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OP的斜率为k2（O点为坐标原点），则k1•k2的值为（　　）

A

B-1

C

D不能确定

正确答案

A

解析

解：设P1（x1，y1），p2（x2，y2）．

因为线段P1P2的中点为P，则P（）．

由P1，P2在椭圆上，所以①

②

①-②得：．

因为，．

所以k1•k2=-．

故选A．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，-）．

①求双曲线方程．

②若直线l：x-2y+6=0与双曲线相交于A、B两点，求|AB|．

正确答案

解：①∵双曲线离心率为

∴双曲线为等轴双曲线．

设双曲线方程为x2-y2=λ，

∵双曲线过点（4，-），

∴16-10=λ，即λ=6

∴双曲线方程为=1．

②由，得：x2-4x-20=0，

∴

∴|AB|=

==2．

解析

解：①∵双曲线离心率为

∴双曲线为等轴双曲线．

设双曲线方程为x2-y2=λ，

∵双曲线过点（4，-），

∴16-10=λ，即λ=6

∴双曲线方程为=1．

②由，得：x2-4x-20=0，

∴

∴|AB|=

==2．

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题型：简答题

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简答题

若双曲线与有相同的焦点，与双曲线有相同渐近线，求双曲线方程．

正确答案

解：∵要求的双曲线与双曲线有相同渐近线，

∴双曲线的方程可以设为，

∵若双曲线与有相同的焦点，

∴焦点坐标是（）

∴2λ+6λ=48

∴λ=6，

∵双曲线的焦点在x轴上，

∴方程是=1．

解析

解：∵要求的双曲线与双曲线有相同渐近线，

∴双曲线的方程可以设为，

∵若双曲线与有相同的焦点，

∴焦点坐标是（）

∴2λ+6λ=48

∴λ=6，

∵双曲线的焦点在x轴上，

∴方程是=1．

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题型：填空题

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填空题

若双曲线-=1（a＞0，b＞0）与直线y=x无交点，则离心率e的取值范围是______．

正确答案

（1，2]

解析

解：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）与直线y=x无交点，取双曲线的渐近线．

∴，

∴=2．

∴双曲线离心率e的取值范围是（1，2]．

故答案为（1，2]．

1

题型：简答题

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简答题

点M（4，m）m＞0为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，F为其焦点，已知|FM|=5，

（1）求m与p的值；

（2）若直线L过抛物线的焦点，与抛物线交与A、B两点，且倾斜角为60°，求弦AB的长．

正确答案

解：（1）由抛物线定义可知，|FM|==5，∴p=2．

则抛物线方程为：y2=4x，把M（4，m）m＞0代入抛物线方程得：

m2=16（m＞0），解得：m=4．

∴m=4，p=2；

（2）∵直线L倾斜角为60°，

∴其斜率为，又抛物线的焦点坐标为（1，0），

则直线L的方程为：y-0=．

联立，得：3x2-10x+3=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

则．

∴|AB|=．

解析

解：（1）由抛物线定义可知，|FM|==5，∴p=2．

则抛物线方程为：y2=4x，把M（4，m）m＞0代入抛物线方程得：

m2=16（m＞0），解得：m=4．

∴m=4，p=2；

（2）∵直线L倾斜角为60°，

∴其斜率为，又抛物线的焦点坐标为（1，0），

则直线L的方程为：y-0=．

联立，得：3x2-10x+3=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

则．

∴|AB|=．

1

题型：简答题

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简答题

已知P是直线l：y=2x-8上的动点，过P作抛物线x2=4y的两条切线，A，B为切点．

（Ⅰ）求证：直线AB过定点；

（Ⅱ）抛物线上是否存在定点C，使AC⊥BC，若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

正确答案

（Ⅰ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），两条切线分别为l1，l2，

则有l1：xx1=2（y+y1），l2：xx2=2（y+y2）

设P（a，2a-8），则有ax1=2（2a-8+y1），ax2=2（2a-8+y2）

∴ax1-2y1-2（2a-8）=0，ax2-2y2-2（2a-8）=0

∴（x1，y1），（x2，y2）都是方程ax-2y-2（2a-8）=0的解

∴直线AB的方程为：ax-2y-2（2a-8）=0

即（x-4）a-2y+16=0，∴x=4，y=8

∴直线AB过定点（4，8）；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AB的方程为：ax-2y-2（2a-8）=0，即y=+2a-8

代入抛物线方程可得x2-2ax+8a-32=0

∴x1+x2=2a，x1x2=8a-32

设C（m，n），则AC⊥BC时，（m-x1，n-y1）•（m-x2，n-y2）=0

∴m2-m（x1+x2）+x1x2+n2-n（y1+y2）+y1y2=0

∴m2-2ma+8a-32+n2-n（a2-4a+16）+4a2-32a+64=0

∴（4-n）a2-（2m-4n+24）a+m2+n2-16n+32=0

∵a∈R，∴

∴m=-4，n=4

∴抛物线上存在定点C（-4，4），使AC⊥BC．

解析

（Ⅰ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），两条切线分别为l1，l2，

则有l1：xx1=2（y+y1），l2：xx2=2（y+y2）

设P（a，2a-8），则有ax1=2（2a-8+y1），ax2=2（2a-8+y2）

∴ax1-2y1-2（2a-8）=0，ax2-2y2-2（2a-8）=0

∴（x1，y1），（x2，y2）都是方程ax-2y-2（2a-8）=0的解

∴直线AB的方程为：ax-2y-2（2a-8）=0

即（x-4）a-2y+16=0，∴x=4，y=8

∴直线AB过定点（4，8）；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AB的方程为：ax-2y-2（2a-8）=0，即y=+2a-8

代入抛物线方程可得x2-2ax+8a-32=0

∴x1+x2=2a，x1x2=8a-32

设C（m，n），则AC⊥BC时，（m-x1，n-y1）•（m-x2，n-y2）=0

∴m2-m（x1+x2）+x1x2+n2-n（y1+y2）+y1y2=0

∴m2-2ma+8a-32+n2-n（a2-4a+16）+4a2-32a+64=0

∴（4-n）a2-（2m-4n+24）a+m2+n2-16n+32=0

∵a∈R，∴

∴m=-4，n=4

∴抛物线上存在定点C（-4，4），使AC⊥BC．

1

题型：简答题

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简答题

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为、F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与C相交于A、B两点，△F1AB的周长为．

（I）求椭圆C的方程；

（II）若椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的方程．

正确答案

解：（I）∵椭圆离心率为，∴=，∴a=c，

又△F1AB周长为4，∴4a=4，解得a=，∴c=1，b=，

∴椭圆C的标准方程为：；

（II）设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），

当斜率不存在时，这样的直线不满足题意，

∴设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x-1），

将直线l的方程代入椭圆方程，整理得：（2+3k2）x2-6k2x+3k2-6=0，∴x1+x2=，

故y1+y2=k（x1+x2）-2k=-2k=，

∵四边形OAPB为平行四边形，∴=+，

从而，，

又P（x0，y0）在椭圆上，∴，

整理得：，12k4+8k2=4+12k2+9k4，3k4-4k2-4=0，解得k=±，

故所求直线l的方程为：y=±（x-1）．

解析

解：（I）∵椭圆离心率为，∴=，∴a=c，

又△F1AB周长为4，∴4a=4，解得a=，∴c=1，b=，

∴椭圆C的标准方程为：；

（II）设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），

当斜率不存在时，这样的直线不满足题意，

∴设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x-1），

将直线l的方程代入椭圆方程，整理得：（2+3k2）x2-6k2x+3k2-6=0，∴x1+x2=，

故y1+y2=k（x1+x2）-2k=-2k=，

∵四边形OAPB为平行四边形，∴=+，

从而，，

又P（x0，y0）在椭圆上，∴，

整理得：，12k4+8k2=4+12k2+9k4，3k4-4k2-4=0，解得k=±，

故所求直线l的方程为：y=±（x-1）．

1

题型：填空题

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填空题

设椭圆和双曲线的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则=______．

正确答案

3

解析

解：∵椭圆和双曲线的公共焦点分别为F1、F2，

∴m-2=3+1，

∴m=6，

∴|PF1|+|PF2|=2 ，||PF1|-|PF2||=2 ，

两式平方相减可得，4|PF1|•|PF2|=12，

∴|PF1|•|PF2|=3．

故答案为：3．

1

题型：填空题

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填空题

已知椭圆：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，以F1为顶点，F2为焦点的抛物线经过椭圆短轴的两端点，则a：b=______．

正确答案

解析

解：根据已知得F1（-c，0），F2（c，0），椭圆的短轴的端点坐标为（0，b）

因为抛物线以F1为顶点，F2为焦点，

所以抛物线的准线方程为x=-3c

又抛物线的定义得到

即b2=8c2

即8a2=9b2

所以a：b=

故答案为

1

题型：填空题

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填空题

椭圆x2+4y2=16被直线y=x+1截得的弦长为______．

正确答案

解析

解：将直线y=x+1代入椭圆x2+4y2=16的方程，整理得x2+2x-6=0

设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．

∴x1+x2=-2，x1x2=-6

∴椭圆被直线截得的弦长为AB====

故答案为：．

1

题型：简答题

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简答题

已知双曲线的离心率且点在双曲线C上．

（1）求双曲线C的方程；

（2）记O为坐标原点，过点Q （0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为，求直线l的方程．

正确答案

解：（1）由已知可知双曲线为等轴双曲线，则a=b，

所以，双曲线方程为x2-y2=a2，

又点在双曲线C上，∴，

解得a2=2，b2=2，

所以，双曲线C的方程为；

（2）由题意直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=kx+2

由得（1-k2）x2-4kx-6=0，

设直线l与双曲线C交于E（x1，y1）、F（x2，y2），则x1、x2是上方程的两不等实根，

∴1-k2≠0，且△=16k2+24（1-k2）＞0，即k2＜3且k2≠1①，

这时，

又

即，∴．

整理得3-k2=（k2-1）2，即k4-k2-2=0，∴（k2+1）（k2-2）=0

又k2+1＞0，∴k2-2=0，∴，适合①式．

所以，直线l的方程为与．

解析

解：（1）由已知可知双曲线为等轴双曲线，则a=b，

所以，双曲线方程为x2-y2=a2，

又点在双曲线C上，∴，

解得a2=2，b2=2，

所以，双曲线C的方程为；

（2）由题意直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=kx+2

由得（1-k2）x2-4kx-6=0，

设直线l与双曲线C交于E（x1，y1）、F（x2，y2），则x1、x2是上方程的两不等实根，

∴1-k2≠0，且△=16k2+24（1-k2）＞0，即k2＜3且k2≠1①，

这时，

又

即，∴．

整理得3-k2=（k2-1）2，即k4-k2-2=0，∴（k2+1）（k2-2）=0

又k2+1＞0，∴k2-2=0，∴，适合①式．

所以，直线l的方程为与．

1

题型：简答题

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简答题

已知直线l：y=2x-2与抛物线M：y=x2的切线m平行

（Ⅰ）求切线m的方程和切点A的坐标

（Ⅱ）若点P是直线l上的一个动点，过点P作抛物线M的两条切线，切点分别为B，C，同时分别与切线m交于点E，F试问是否为定值？若是，则求之，若不是，则说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）设切点，切线斜率k=2x0，

∴2x0=2，x0=1

∴A（1，1），切线m的方程为y=2x-1；

（Ⅱ）设P（s，t），切点，

∵y′=2x，

∴切线PB，PC的方程分别是y=2x1x，y=

联立方程组，得交点P（），即

∵点P在直线l：y=2x-2上，即t=2s-2，2s-t=2

又∵直线BC的方程为y=（x1+x2）x-x1x2=2sx-t

∴点A（1，1）到直线BC的距离

又由得x2-2sx+t=0．

∴．

∴

联立方程组，得交点，

联立方程组，得交点．

∴=

∴．

解析

解：（Ⅰ）设切点，切线斜率k=2x0，

∴2x0=2，x0=1

∴A（1，1），切线m的方程为y=2x-1；

（Ⅱ）设P（s，t），切点，

∵y′=2x，

∴切线PB，PC的方程分别是y=2x1x，y=

联立方程组，得交点P（），即

∵点P在直线l：y=2x-2上，即t=2s-2，2s-t=2

又∵直线BC的方程为y=（x1+x2）x-x1x2=2sx-t

∴点A（1，1）到直线BC的距离

又由得x2-2sx+t=0．

∴．

∴

联立方程组，得交点，

联立方程组，得交点．

∴=

∴．

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