- 圆锥曲线与方程
- 共14739题
若椭圆
正确答案
解析
解：依题意可知抛物线的焦点为M（b，0），椭圆的焦点为F2（ 
∵
∴
①当
∴
∴e=
②当
∴
∴e=
则此椭圆的离心率为 
故答案为：
以椭圆
正确答案
x+4y-5=0
解析
解：设点M（1，1）为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．
则
相减得
∵
∴
故所求的直线方程为
故答案为x+4y-5=0．
若AB是过二次曲线中心的任一条弦，M是二次曲线上异于A、B的任一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则对于椭圆
正确答案
解析
解：设A，B所在直线为y=kx与双曲线方程b2x2-a2y2=a2b2
联立得：（b2-a2k2）x2=a2b2
设A（x1，y1）B（x2，y2）M（m，n）
根据韦达定理
x1x2=
y1y2=
把M的坐标代入双曲线方程得n2=
kAM•kBM=（y1-n）（y2-n）/（x1-m）（x2-m）
=
因为AB是过二次曲线中心的任一条弦，所以AB过原点
y1+y2=0 x1+x2=0
kAM•kBM=
把x1x2，y1y2，n2代入并整理就能得到kAM•kBM=
直线
正确答案
解析
解：依题意可知直线l恒过（
要使直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与渐近线平行，
∴k=±1，此时直线与双曲线有一个公共点．
故选C．
已知抛物线的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过点M（8，0）作直线l交抛物线于B，C两点，求证：OB⊥OC．
正确答案
（Ⅰ）解：由题设抛物线的方程为：y2=2px（p＞0），
则点F的坐标为
∵
∴4-p+4p=16，∴p=4，∴y2=8x．（6分）
（Ⅱ）证明：设B、C两点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
法一：因为直线当l的斜率不为0，设直线当l的方程为x=ky+8．
方程组
∵
∴
∴OB⊥OC．（12分）
法二：①当l的斜率不存在时，l的方程为x=8，此时B（8，8），C（8，-8），
即
②当l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-8）．
方程组
∴x1x2=64，y1y2=-64，（10分）
∵
∴
∴OB⊥OC．
由①②得OB⊥OC．（12分）
解析
（Ⅰ）解：由题设抛物线的方程为：y2=2px（p＞0），
则点F的坐标为
∵
∴4-p+4p=16，∴p=4，∴y2=8x．（6分）
（Ⅱ）证明：设B、C两点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
法一：因为直线当l的斜率不为0，设直线当l的方程为x=ky+8．
方程组
∵
∴
∴OB⊥OC．（12分）
法二：①当l的斜率不存在时，l的方程为x=8，此时B（8，8），C（8，-8），
即
②当l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-8）．
方程组
∴x1x2=64，y1y2=-64，（10分）
∵
∴
∴OB⊥OC．
由①②得OB⊥OC．（12分）
已知直线
A
B
C
D
正确答案
解析
解：椭圆x2+9y2=9化为
∴椭圆的焦点坐标为（±2
∵直线
∴直线过椭圆的左焦点F
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴|AB|=|AF|+|BF|=e（x1+x2）+2a=
直线
∴x1+x2=-
∴|AB|=-
∵|AB|=2，∴
∴
故选C．
已知双曲线C的两个焦点分别为
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）若直线y=kx-1与双曲线C没有公共点，求实数k的取值范围．
正确答案
解：（I）设双曲线的标准方程为
∵双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于4，∴2a=4，解得a=2．
又c=
∴双曲线的标准方程为
（II）联立
①当1-k2=0时，即k=±1时，上式化为±2x-5=0，直线与双曲线分别有一个交点，不符合题意，应舍去；
②当1-k2≠0时，即k≠±1时，△=4k2-4×（-5）×（1-k2）＜0，解得
综上可知：直线y=kx-1与双曲线C没有公共点时实数k的取值范围是
解析
解：（I）设双曲线的标准方程为
∵双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于4，∴2a=4，解得a=2．
又c=
∴双曲线的标准方程为
（II）联立
①当1-k2=0时，即k=±1时，上式化为±2x-5=0，直线与双曲线分别有一个交点，不符合题意，应舍去；
②当1-k2≠0时，即k≠±1时，△=4k2-4×（-5）×（1-k2）＜0，解得
综上可知：直线y=kx-1与双曲线C没有公共点时实数k的取值范围是
若直线y=k（x+2）+1与抛物线y2=4x只有一个公共点，则k的值是______．
正确答案
0，
解析
解：当斜率k=0时，直线y=1平行于x轴，与抛物线y2=4x仅有一个公共点．
当斜率不等于0时，直线y=k（x+2）+1与抛物线y2=4x联立，消去x可得y2-
∵直线y=k（x+2）+1与抛物线y2=4x只有一个公共点，
∴
∴
故答案为：0，
已知定点P（
正确答案
解析
解：设直线PM的方程为y-
（1+4k2）x2-8k（-
∵P在椭圆上，
∴
∴xM=
∵直线PM，PN的倾斜角互补，
∴直线PM，PN的斜率互为相反数，
∴xN=
∴yM-yN=k（xM+xN-2
∵xM-xN=
∴直线MN的斜率
故答案为：
已知抛物线x2=4y的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A、B，过A、B分别作抛物线的两条切线l1，l2，若直线l1，l2交于点M，则点M所在的直线为（ ）
Ay=-4
By=-2
Cy=-1
Dy=-
正确答案
解析
解：由抛物线x2=4y得其焦点坐标为F（0，1）．
设A（x1，
直线l：y=kx+1，代入抛物线x2=4y得：x2-4kx-4=0．
∴x1x2=-4…①．
又抛物线方程为：y=
求导得y′=
∴抛物线过点A的切线的斜率为
抛物线过点B的切线的斜率为
由①②③得：y=-1．
∴l1与l2的交点P的轨迹方程是y=-1．
故选：C．
已知椭圆的中心在原点，焦点为F1（0，-
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为
正确答案
解：（I）设椭圆方程为
由题意得c=2
b2=a2-c2=1，
所以椭圆的方程为
（II）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），
由
则△=4k2m2-4（k2+9）（m2-9）＞0，即k2-m2+9＞0①，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
因为线段AB中点的横坐标为
化简得k2+9=2km，所以m=
把②代入①整理得k4+6k2-27＞0，解得k＜-
所以直线l倾斜角的取值范围为（
解析
解：（I）设椭圆方程为
由题意得c=2
b2=a2-c2=1，
所以椭圆的方程为
（II）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），
由
则△=4k2m2-4（k2+9）（m2-9）＞0，即k2-m2+9＞0①，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
因为线段AB中点的横坐标为
化简得k2+9=2km，所以m=
把②代入①整理得k4+6k2-27＞0，解得k＜-
所以直线l倾斜角的取值范围为（
直线y=x+2与椭圆
正确答案
（1，3）∪（3，+∞）
解析
解：将直线y=x+2代入椭圆
由
故答案为：（1，3）∪（3，+∞）．
已知椭圆C：
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A、B是直线l：x=2
正确答案
解：（1）由题意得：
解得：
∴椭圆的标准方程为：
（2）由（1）知，
设直线l：x=2
则
由
即
当
∴|AB|的最小值是
解析
解：（1）由题意得：
解得：
∴椭圆的标准方程为：
（2）由（1）知，
设直线l：x=2
则
由
即
当
∴|AB|的最小值是
（1）试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；
（2）若点N是定直线l：x=-m上的任一点，试探索三条直线AN，MN，BN的斜率之间的关系，并给出证明．
正确答案
解析
设直线AB的方程为：x=ty+m，与y2=2px联立
消去x得y2-2pty-2pm=0，
由韦达定理得y1•y2=-2pm，
（2）解：三条直线AN，MN，BN的斜率成等差数列，下证之：
设点N（-m，n），则直线AN的斜率为
直线BN的斜率为
∴
=
=
又∵直线MN的斜率为
∴kAN+kBN=2kMN
即直线AN，MN，BN的斜率成等差数列．
（1）求曲线AF与AB，BF所围成区域的面积；
（2）求该公园的最大面积．
正确答案
设曲线AF所在抛物线方程为y=ax2（a＞0），
∵抛物线过F（2，4），∴4=a×22，得a=1．
∴AF所在抛物线方程为y=x2．
则曲线AF与AB，BF所围成区域的面积
（2）又E（0，4），C（2，6），则EC所在直线方程为y=x+4．
设P（x，x2）（0＜x＜2），则PO=x，OE=4-x2，PR=4+x-x2，
∴公园的面积S=
∴S′=-3x2+x+4，
令S′=0，得x=
当x变化时，S′和S的变化情况如下表：
当x=时，S取得最大值．
故该公园的最大面积为．
解析
设曲线AF所在抛物线方程为y=ax2（a＞0），
∵抛物线过F（2，4），∴4=a×22，得a=1．
∴AF所在抛物线方程为y=x2．
则曲线AF与AB，BF所围成区域的面积
（2）又E（0，4），C（2，6），则EC所在直线方程为y=x+4．
设P（x，x2）（0＜x＜2），则PO=x，OE=4-x2，PR=4+x-x2，
∴公园的面积S=
∴S′=-3x2+x+4，
令S′=0，得x=
当x变化时，S′和S的变化情况如下表：
当x=时，S取得最大值．
故该公园的最大面积为．
扫码查看完整答案与解析