热门试卷

（1）因为2＞，所以椭圆的焦点在y轴上

所以椭圆C1的标准方程为+=1

（2）命题“若椭圆C2：x2+y2=1（在椭圆C1内）任意一条切线都与椭圆C1交于两点，

且这两点总与坐标原点构成直角三角形，则满足条件的椭圆C1恒过定点”的真命题．

设椭圆C1：mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），设P（s，t）为圆C2上任意一点，

则过点P的圆C2的切线方程为sx+ty=1

因为椭圆C2：x2+y2=1（在椭圆C1内）任意一条切线都与椭圆C1交于两点A、B，不妨设t≠0

由得（mt2+ns2）x2-2nsx+n-t2=0

∵OA⊥OB，根据根与系数的关系建立等式，

∴m+n-1=0

所以满足椭圆的方程mx2+（1-m）y2=1（0＜m＜1且m≠）

即m（x2-y2）+y2-1=0对任意0＜m＜1且m≠均成立

所以即x2=y2=1

所以，满足条件的椭圆C1恒过定点（1，1），（-1，1），（1，-1），（-1，-1）

（1）p：“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”，是真命题，则9-k＞k-1＞0，∴1＜k＜5；

（2）q：“方程+=1表示双曲线”是真命题，则（2-k）k＜0，∴k＜0或k＞2

（3）若“p∨q”是真命题，则p、q至少一个是真命题，即一真一假或全为真

∴或或

∴1＜k≤2或k＜0或k≥5或2＜k＜5

∴k＜0或k＞1．

解（1）∵方程+=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆

∴，解之得：-1＜t＜1…（6分）

（2）∵命题q：实数满足不等式t2-（a-1）t-a＜0，即（t+1）（t-a）＜0．

∴命题q为真命题，当a＞-1时，得到t∈（-1，a）；当a＜-1时，命题q为真命题得到t∈（a，-1）

∵命题P是命题q的充分不必要条件

∴集合{t|-1＜t＜1}是不等式t2-（a-1）t-a＜0解集的真子集…（9分）

由此可得a＞-1且（-1，1）（-1，a）

解之得：a＞1…（12分）

（1）∵双曲线的渐近线为y=±x，两渐近线夹角为60°，

又＜1，∴∠POx=30°，即=tan30°=．

∴a=b．

又a2+b2=4，

∴a2=3，b2=1．

故椭圆C的方程为+y2=1．

（2）由已知l：y=（x-c），与y=x解得P（，），

由=λ得A（，）．

将A点坐标代入椭圆方程得（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2．

∴（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2．

∴λ2==-[（2-e2）+]+3≤3-2．

∴λ的最大值为-1．

（I）由离心率e=，得b=c=a

又因为2ab=2，所以a=，b=1，即椭圆标准方程为+y2=1．（4分）

（II）由l：mx-2y+2m=0经过定点Q（-2，0），则直线l′：y=k（x+2），

由 有（2k2+1）x2+8k2x+8k2-2=0．

所以△=64k4-8（2k2+1）（4k2-1）＞0，可化为 2k2-1＜0

解得-＜k＜． （8分）

（Ⅲ） 由l：mx-2y+2m=0，设x=0，则y=m，所以P（0，m）．

设M（x，y）满足+y2=1，

则|PM|2=x2+（y-m）2=2-2y2+（y-m ）2=-y2-2my+m2+2=-（y+m）2+2m2+2，

因为-1≤y≤1，所以

当|m|＞1时，|MP|的最大值f（m）=1+|m|；

当|m|≤1时，|MP|的最大值f（m）=；

所以f（m）=．（12分）

（1）因为已知椭圆+=1(a＞b＞0)的离心率为，a=．

所以c=ae=，所以b==，

所以椭圆方程为：+=1．

（2）①设A（x1，y1）B（x2，y2）由将y=（x+1），代入+=1中，

得（1+）x2+x+-5=0，

△=-4（+1）（-5）=+20＞0，x1+x2=-，x1x2=，

所以•=（x1+，y1）（x2+，y2）=（x1+）（x2+）+y1y2

=（x1+）（x2+）+（x1+1）（x2+1）

=（1+）x1x2+（+）（x1+x2）++

=（1+）+（+）（-）++=；

②直线与x轴的交点为N，x-my+1=0，|y1-y2|=|x1-x2|，

S△AOB=|ON||y1-y2|=×1ו=，

令12+5m2=t，则t≥12，m2=

∴S△AOB==，

∵t≥12，t++6是增函数，

∴当t=12时，S△AOB取得最大值，最大值为．

（I）设椭圆方程为+=1(a＞b＞0)．

抛物线y2=-4x的焦点是（-1，0），故c=1，又=，

所以a=2，b==，

所以所求的椭圆Ω方程为+=1…（4分）

（II）设切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），

直线l上一点M的坐标（4，t）．

则切线方程分别为+=1，+=1．

又两切线均过点M，

即x1+y1=1，x2+y2=1，

即点A，B的坐标都适合方程x+y=1，而两点之间确定唯一的一条直线，

故直线AB的方程是x+y=1，显然对任意实数t，点（1，0）都适合这个方程，

故直线AB恒过定点C（1，0）．           …（9分）

（III）将直线AB的方程x=-y+1，代入椭圆方程，

得3(-y+1)2+4y2-12=0，即(

t2

3

+4) y2-2ty-9=0

所以y1+y2=，y1y2=

不妨设y1＞0，y2＜0|AC|===y1，

同理|BC|=-y2…（12分）

所以+=•(-)=•=-•=-•=•=

即|AC|+|BC|=|AC|•|BC|．

故存在实数λ=，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|．   …（15分）

（Ⅰ）椭圆上的点到两个焦点的距离和为2，即2a=2，∴a=

椭圆+=1(a＞b＞0)的离心率为，即e=

∵e=，∴=，

∴c=1

又∵a2=b2+c2，∴b=1．

又斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点，即椭圆的焦点在Y轴上

∴椭圆方程为+x2=1．

（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+1，由可得（k2+2）x2+2kx-1=0．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则△=8k2+8＞0

x1+x2=，x1x2=-．

y1+y2=k(x1+x2)+2=．

设线段PQ中点为N，则点N的坐标为(，)，

∵M（0，m），∴直线MN的斜率kMN=

∵直线MN为PQ的垂直平分线，∴kMN•k=-1，

可得•k=-1．即m=，

又k≠0，∴k2+2＞2，

∴0＜＜，即0＜m＜．

（Ⅲ）设椭圆上焦点为F，

∵y轴把△PQM分成了△PMF和△QMF，

∴S△MPQ=S△PMF +S△QMF =|FM||x1|+|FM||x2|=|FM|（|x1|+|x2|）

∵P，Q在y轴两侧，∴|x1|+|x2|=||（x1-x2）

∴S△MPQ=•|FM|•|x1-x2|，

∵|x1-x2|==，

由m=，可得k2+2=．

∴|x1-x2|==．

又∵|FM|=1-m，∴S△MPQ=(1-m)= ．

∴△MPQ的面积为（0＜m＜）．

设f（m）=m（1-m）3，则f'（m）=（1-m）2（1-4m）．

可知f（m）在区间(0，]单调递增，在区间(，)单调递减．

∴f（m）=m（1-m）3有最大值f()=．此时∴△MPQ的面积为×=

∴△MPQ的面积有最大值．

（1）由于短轴一个端点到右焦点的距离为3，则a=3…（1分），

因为e==…（2分），所以c=…（3分），

所以b2=a2-c2=9-6=3…（4分），

所以椭圆C的方程为：+=1…（5分）

（2）直线方程与椭圆方程联立（x＞0），解得x=y=，即A(，)…（6分）

以O为顶点的等腰三角形△OAB有两个，此时B为A关于x轴或y轴的对称点…（8分），

以A为顶点的等腰三角形△OAB有两个（9分），此时B为以A为圆心、AO为半径的圆弧与椭圆C的交点…（10分），

以AO为底边的等腰三角形△OAB有两个（11分），此时B为AO的垂直平分线与椭圆C的交点…（12分）．

因为直线y=x倾斜角为，所以以上等腰△OAB不可能是等边三角形…（13分），

即以上6个三角形互不相同，存在6个点B，使△OAB为等腰三角形…（14分）．

（Ⅰ）设以|PF1|为直径的圆经过椭圆M短轴端点N，

∴|NF1|=a，∵e=，∴a=2c，

∴∠NF1P=，|PF1|=2a．

∴F2（c，0）是以|PF1|为直径的圆的圆心，

∵该圆和直线x+y+3=0相切，

∴2c=，解得c=1，a=2，b=，

∴椭圆M的方程为：+=1．

（Ⅱ）设点A（x1，y1），C（x2，y2），则点B（x1，-y1），

设直线PA的方程为y=k（x-3），

联立方程组，消掉y，化简整理得（4k2+3）x2-24k2x+36k2-12=0，

由△=（24k2）2-4•（3+4k2）•（36k2-12）＞0，得0＜k2＜．

则x1+x2=，x1x2=．

直线BC的方程为：y+y1=(x-x1)，

令y=0，则x====．

∴Q点坐标为(，0)．

•=(x1-)(x2-)+y1y2=(x1-)(x2-)+k2(x1-3)(x2-3)

=(1+k2)x1x2-(3k2+)(x1+x2)+9k2+

=(1+k2)•-(3k2+)•+9k2+

=+=-．

∵0＜k2＜，

∴•∈(-，)．

（1）由题意知 e==，∴e2===，即a2=b2又∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切

∴b==，∴a2=4，b2=3，

故椭圆的方程为+=1

（2）由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x-4）．

疳直线方程y=k（x-4）代入椭圆方程可得：（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0

由△＞0得：1024k4-4（3+4k2）（64k2-12）＞0，解得k2＜             

设A（x1，y1），B （x2，y2），则x1+x2=，x1x2=

∴•=x1x2+y1y2=(1+k2)•-4k2•+16k2=25-

∵0≤k2＜，

∴•∈[-4，)

∴•的取值范围是[-4，)

（1）设椭圆方程为+=1，F(-c，0)，M(-，0)．

由=4，有(-，0)=4(-c，0)．（3分）

则有=4c，即=，∴e==．（6分）

（2）设直线AB的方程为y=(x+c)，直线AB与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．

由（I）可得a2=4c2，b2=3c2．

由 消去y，得11x2+16cx-4c2=0．（9分）

故 x1+x2=-，x1x2=-c2． 

∵•=(x1，y1)•(x2，y2)=x1x2+y1y2，

且y1•y2=2（x1+c）（x2+c）=2x1x2+2c（x1+x2）+2c2．

∴3x1x2+2c（x1+x2）+2c2=-2．（11分）

即-c2-c2+2c2=-2，∴c2=1．则a2=4，b2=2．

椭圆的方程为+=1．（13分）