热门试卷

（1）设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离 c=2 ，故c=2．

所以椭圆C的焦距为4．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y1＜0，y2＞0，直线l的方程为y=（x-2）．

联立 得（3a2+b2）y2+4 b2y-3b4=0．

解得y1=，y2=．

因为 =2，所以-y1=2y2．

即 =2•．

得a=3．而a2-b2=4，所以b=．

故椭圆C的方程为 +=1．

（1）设点F1关于直线l：2x-y+3=0的对称点A（m，n），

则，

解得，

则A（-，）

∵|PF1|=|PA|，根据椭圆的定义，得2a=|PF1|+|PF2|=|AF2|==2，

∴a=，c=1，b==1．

∴椭圆C的方程为+y2=1．

（2）设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

则+=1，切线AM、BM方程分别为x1x+y1y=1，x2x+y2y=1，

∵切线AM、BM都经过点M（x0，y0），

∴x1x0+y1y0=1，x2x0+y2y0=1．

∴直线AB方程为x0x+y0y=1，

∴P(0，)、Q(，0)，

|PQ|2=+=(+)(+)=+1++≥+=()2，

当且仅当=时，上式等号成立．

∴|PQ|的最小值为．

（Ⅰ）设椭圆方程为+=1(a＞b＞0)，

∵椭圆的长轴长为4，

∴a=2，

∵点A是长轴的一个顶点，

∴A（2，0），

∵•=0，||=2||．

∴△AOC是等腰直角三角形，从而C（1，1），

代入椭圆方程得+=1⇒b2=，

∴椭圆方程为+=1．

（Ⅱ）设直线lPC：y=kx+1-k（k≠0）

与椭圆方程+=1联立得到（3k2+1）x2+6k（1-k）x+3（1-k）2-4=0

则△=[6k（1-k）]2-4（3k2+1）[3（k-1）2-4]=4（3k+1）2＞0从而k≠-且k≠0

设点P（x1，y1），而C（1，1），由韦达定理知1+x1=⇒x1=

代回lPC：y=kx+1-k得到y1=

∵直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形

∴直线CP、CQ的斜率互为相反数，即k≠-，k≠且k≠0

故设点Q（x2，y2），同理可知x2=，y2=

所以=(，)

∵椭圆是中心对称图形

∴B（-1，-1），=(-3，-1)

故=-，即总存在实数λ使=λ

（1）由题意得：解得a=，b=

所以椭圆的方程为+=1

（2）由题可知当直线PA过圆M的圆心（8，6），弦PQ最大．

因为直线PA的斜率一定存在，所以可设直线PA的方程为：y-6=k（x-8）

又因为PA与圆O相切，所圆心（0，0）到直线PA的距离为

即=，

可得k=或k=

所以直线PA的方程为：x-3y+10=0或13x-9y-50=0

（3）设∠AOP=α，

则∠AOP=∠BOP，∠AOB=2α，

则cos∠AOB=2cos2α-1=-1，

∴•=•cos∠AOB=-10

∴（•）max=-，（•）min=-

（1）设椭圆的标准方程为+=1(a＞b＞0)，

由题意可得解得．

∴椭圆C1的方程为+=1；

（2）设点B(x1，)，C(x2，)，则=(x2-x1，(-))，=(2-x1，3-)，

∵A，B，C三点共线，∴∥．

∴(x2-x1)(3-)=(-)(2-x1)，化为2（x1+x2）-x1x2=12．①

由x2=4y，得y′=x．∴抛物线C2在点B处的切线方程为y-=(x-x1)，化为y=x-．②

同理抛物线C2在点B处的切线方程为y=x-．③

设点P（x，y），由②③得x-=-，而x1≠x2，∴x=(x1+x2)．

代人②得y=x1x2，于是2x=x1+x2，4y=x1x2代人①得4x-4y=12，即点P的轨迹方程为y=x-3．

若|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|，则点P在椭圆C1上，而点P又在直线y=x-3上，直线经过椭圆C1的内部一点（3，0），

∴直线y=x-3与椭圆C1有两个交点，

∴满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P有两个（不同于点A）．

（1）当顶点为A（2，0）为长轴端点时，a=2 

∵a=2b

∴b=1

椭圆的标准方程为：+y2=1；

（2）当顶点为A（2，0）为短轴端点时，b=2

∵a=2b∴a=4

椭圆的标准方程为：+=1

（1）设椭圆C1的方程为+=1（a＞b＞0），

由题意知a2=1+4=5，所以a=，

又e=，所以=，解得c=，则b2=a2-c2=5-=．

故椭圆C1的方程为+=1．

（2）由，得3x2+4mx+2m2-5=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-m，x1x2=，

所以|AB|=|x1-x2|=•=•=•．

双曲线的渐近线方程为：y=2x，y=-2x，

由解得，由解得，

所以两交点P，Q的坐标为（m，2m），（-，m），

|PQ|==，

因为|AP|，|PQ|，|QB|成等差数列，所以|AP|+|QB|=2|PQ|，所以|AB|=|AP|+|PQ|+|QB|=3|PQ|，

故•=3，解得m=±．

故m的值为±．

（Ⅰ）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0）．

依题意，e==，c=1，∴a=2，b2=a2-c2=3，

∴所求椭圆方程为+=1；

（Ⅱ）若直线l的斜率k不存在，则不满足=2．

当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=kx+1．

因为直线l过椭圆的焦点F（0，1），所以k取任何实数，直线l与椭圆均有两个交点A、B．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立方程消去y，得（3k2+4）x2+6kx-9=0．

∴x1+x2=，①x1•x2=，②

由F（0，1），A（x1，y1），B（x2，y2），

则=(-x1，1-y1)，=(x2，y2-1)，

∵=2，∴（-x1，1-y1）=2（x2，y2-1），得x1=-2x2．

将x1=-2x2代入①、②，得x2=，③x22=，④

由③、④得，()2=，化简得=，

解得k2=，∴k=±

∴直线l的方程为：y=±x+1．

（Ⅰ）设F2（c，0），则=，所以c=1．

因为离心率e=，所以a=，所以b=1

所以椭圆C的方程为+y2=1．…（6分）

（Ⅱ）当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x=-，此时P（-，0）、Q（，0），•=-1．

当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M（-，m）（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．

由得（x1+x2）+2（y1+y2）•=0，

则-1+4mk=0，∴k=．

此时，直线PQ斜率为k1=-4m，PQ的直线方程为y-m=-4m(x+)，即y=-4mx-m．

联立消去y，整理得（32m2+1）x2+16m2x+2m2-2=0．

所以x1+x2=-，x1x2=．

于是•=（x1-1）（x2-1）+y1y2=x1x2-（x1+x2）+1+（4mx1+m）（4mx2+m）

=(1+16m2)x1x2+(4m2-1)(x1+x2)+1+m2

=++1+m2=．

令t=1+32m2，1＜t＜29，则•=-．

又1＜t＜29，所以-1＜•＜．

综上，•的取值范围为[-1，）．…（15分）

（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，

点P的轨迹C是以（0，-），（0，）为焦点，

长半轴为2的椭圆．它的短半轴b==1，

故曲线C的方程为x2+=1．

（2）①设过点（0，）的直线方程为y=kx+，A（x1，y1），B（x2，y2），

其坐标满足

消去y并整理得（k2+4）x2+2kx-1=0．

∴x1+x2=-，y1+y2=k（x1+x2）+2=-+2．

∴d=|AF|+|BF|=e（-y1）+e（-y2）

=2a-e（y1+y2）=4=4+-3

=4-．

∵k2≥0，∴k=0时，d取得最小值1．

②当k不存在时，过点（0，）的直线方程为x=0，

此时交点A、B分别为椭圆C的长轴的两端点，

∴d取最大值4．

综上，d的最大值、最小值存在，分别为4、1．

（1）由离心率为得：=①

又由线段F1 F2为直径的圆的面积为π得：πc2=π，c2=1       ②…（2分）

由①，②解得a=，c=1，∴b2=1，∴椭圆方程为+y2=1…（5分）

（2）由题意，F2（1，0），设l的方程为：y=k（x-1）（k≠0），代入椭圆方程为+y2=1

整理得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为（x0，y0），则

x0==，y0=k(x0-1)= -

∴线段AB的垂直平分线方程为y-y0=-(x-x0)

令y=0，得m=x0+ky0==

由于＞0即2+＞2，

∴0＜m＜．…（13分）

∵椭圆+=1的焦点在x轴上，∴0＜k＜6     ①

∵过点M（2，1）的直线与焦点在x轴上的椭圆+=1恒有公共点

∴点M（2，1）在椭圆+=1内或其上，即+≤1  ②

由①②得3≤k＜6

∴命题p等价于k∈[-3，6）

∵方程+=1表示双曲线

∴（k-4）•（k-6）＜0⇒4＜k＜6，

∴命题q等价于k∈[4，6）

∵[-3，6）⊃[4，6）

∴p是q的必要不充分条件．

（1）在椭圆中，c=1，e=，所以a=2，b==，故椭圆方程为+=1…（2分）

抛物线中，=1，所以p=2，故抛物线方程为y2=4x…（4分）

（2）设直线l的方程为y=k（x+1）和抛物线方程联立，得

消去y，整理得k2x2+（2k2-4）x+k2=0，

因为直线和抛物线有两个交点，所以k≠0，（2k2-4）2-4k4＞0．

解得-1＜k＜1且k≠0…（6分）

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=1…（8分）

又=λ，所以

又y2=4x，由此得4x1=λ24x2，即x1=λ2x2．

由x1x2=1，解得x1=λ，x2=…（10分）

又x1+x2==-2，所以λ+=-2．

又因为0＜k2＜1，所以λ+=-2＞2，

解得λ＞0且λ≠1…（14分）

（1）由题意知，设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0）

∴2a=+=4，

∴a=2，又c=1，∴b=，

∴椭圆c的方程为：+=1；

（2）由题意可得，抛物线E，y2=4x，

设l：y=k（x-1），（k≠0），

⇒k2x2-2（k2+2）x+k2=0，

△=16（k2+1）＞0，恒成立，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

x1+x2=2+，x1x2=1，

①∵F1B⊥F2B，∴=1，

又=4x2，x1x2=1，

∴+4x2=x1x2，

∴x1-x2=4，

∴|AF2|-|BF2|=x1-x2=4；

②假设|AB|=|F2D|，

∵l过点F2，∴|AB|=x1+x2+p=4+，又D（0，-k），F2（1，0），

∵|DF2|=，

∵|AB|=|DF2|，∴4+=，

∴k4-16k2-16=0，∴k2=8+4或k2=8-4（舍去），

即k=±2，所以l的方程为：y=±2（x-1）时，有|AB|=|DF2|；