热门试卷

（Ⅰ）由已知2a=4，=．解得a=2，c=1，所以b2=a2-c2=3，

故椭圆的方程为+=1．…（5分）

（Ⅱ）由M，N不与椭圆的顶点重合，设直线l的方程为y=kx-2，代入椭圆方程可得（4k2+3）x2-16kx+4=0，

由△=（-16k）2-16（4k2+3）=12k2-3＞0，得k＜-或k＞              …（8分）

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，y1y2=+4

由（Ⅰ）得椭圆C的右顶点A（2，0），

因为以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，

所以kAMkAN=-1，

∴•=-1，

∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，

∴+4+-+4=0，

∴k2-8k+7=0，解得k=7或k=1

当k=1时，l：y=x-2，直线过椭圆C的右顶点A（2，0），舍去；

当k=7时，l：y=7x-2．

综上可知，直线l的方程是y=7x-2      …（14分）

（Ⅰ）由2p=4，∴p=2，∴抛物线y2=4的准线方程为x=-．

故F1(-，0)，F2(，0)，

∴椭圆方程可化为+=1，又椭圆过点M（2，1），

∴+=1，则a4-8a2+12=0，

∵a2＞3，解得：a2=6．

∴所求椭圆的方程为+=1．

（Ⅱ）证明：①若直线l⊥x轴，直线l可设为x=m（m≠2），则直线l与椭圆交于

A(m，)，B(m，-)，

由•=0，得(m-2)2+(1-)(1+)=0，

即3m2-8m+4=0．

解得：m=2（舍）或m=，

故直线l的方程为x=．

②若直线l与x轴不垂直，可设直线l的方程为y=kx+n．

直线l与椭圆+=1交于A（x1，y1），B（x2，y2）．

由⇒（1+2k2）x2+4knx+2n2-6=0．

由△＞0，得：（4kn）2-4（1+2k2）（2n2-6）＞0，即6k2-n2+3＞0．

由根与系数关系得：x1+x2=-，x1•x2=．

由•=0得：（x1-2）（x2-2）+（y1-1）（y2-1）=0，

即x1x2-2（x1+x2）+y1y2-（y1+y2）+5=0，

又y1=kx1+n，y2=kx2+n，

故(1+k2)x1x2+(kn-k-2)(x1+x2)+n2-2n+5=0，

即(1+k2)•-(kn-k-2)•+n2-2n+5=0．

∴4k2+8kn+（3n+1）（n-1）=0，即（2k+3n+1）（2k+n-1）=0．

∴n=-k-或n=-2k+1．

而n=-k-或n=-2k+1满足△＞0．

∴直线l为y=kx-k-=k(x-)-或y=kx-2k+1=k（x-2）+1．

由于直线l不过M，∴直线y=kx-2k+1=k（x-2）+1不合题意．

∴直线l为y=k(x-)-．

综合①②，直线l为为y=k(x-)-或x=．

故直线l恒过定点(，-)．

（1）以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系．

∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+=2，

∴动点轨迹为椭圆，且a=，c=1，从而b=1．

∴方程为+y2=1

（2）将y=x+t代入方程+y2=1，得3x2+4tx+2t2-2=0．

设M（x1，y1）、N（x2，y2），

∴△=16t2-4•3•（2t2-2）＞0①，

x1+x2=-②，

x1x2=③，

由①得t2＜3，

∴SMANB=|AB||y1-y2|=|y1-y2|=|x1-x2|=．

解（1）由题意c2=．设|PF1|+|PF2|=2a（a＞），由余弦定理，

得cos∠F1PF2=

=

==-1．

又|PF1|•|PF2|≤()2=a2，

当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1|•|PF2|取最大值，

此时cos∠F1PF2取最小值-1，

令-1=0，

解得a2=1，∵c=，∴b2=，

故所求P的轨迹方程为+=1．即y2+2x2=1；

（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），l与椭圆C的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），

由，得（k2+2）x2+2kmx+（m2-1）=0．

则△=（2km）2-4（k2+2）（m2-1）=4（k2-2m2+2）＞0．

x1+x2=，x1x2=，

因为=3，所以-x1=3x2，所以，

所以3(x1+x2)2+4x1x2=0，即k2（4m2-1）+（2m2-2）=0

当m2=时，上式不成立；

当m2≠时，k2=＞0；

把k2=代入△=4（k2-2m2+2）＞0，

得：4(-2m2+2)＞0．

解得m的取值范围为(-1，-)∪(，1)．

（Ⅰ）（ⅰ）由题设知：，

∴a=2，c=1，b==，

∴所求的椭圆方程为+=1．

（ⅱ）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，

且抛物线C的焦点为（1，0），

准线方程为x=1，则动圆圆心轨迹方程为C：y2=4x．

（Ⅱ）当直线斜率不存在时，|MN|=4，

此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4，

从而SPMQN=|MN|•|PQ|=×4×4=8，

设直线MN的斜率为k，直线MN的方程为：y=k（x-1），

直线PQ的方程为y=(x-1)，

设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），

由，消去y可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，

由抛物线定义可知：

|MN|=|MF2|+|NF2|=x1+1+x2+1

=+2=4+，

由，消去y得（3k2+4）x2-8x+4-12k2=0，

从而|PQ|=|x3-x4|=，

∴SPMQN=|MN|•|PQ|=|MN|•|PQ|

=(4+)•

=24•，

令1+k2=t，∵k2＞0，则t＞1，

则SPMQN=

=

=．

因为3--=4-（1+）2∈（0，3），

所以SPMQN=＞8，

所以四边形PMQN面积的最小值为8．

（Ⅰ）设F1（-c，0），F2（c，0）    （c＞0）．

由题得|PF2|=|F1F2|，即=2c，整理得2(

c

a

)2+-1=0，得=-1（舍），或=，

所以e=．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c，b=c，可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2，直线方程PF2为y=（x-c）．

A，B的坐标满足方程组，

消y并整理得5x2-8xc=0，

解得x=0，x=c，得方程组的解为c，，

不妨设A（c，c），B（0，-c）．

所以|AB|==c，于是|MN|=|AB|=2c．

圆心（-1，）到直线PF2的距离d=，

因为d2+(

|MN|

2

)2=42，所以（2+c）2+c2=16，整理得c=-（舍）或c=2．

所以椭圆方程为+=1．

（1）当椭圆的焦点在x轴上时，∵2c=8，∴c=4，

∴b2=a2-16．

∴椭圆方程为 +=1，

由+=1，解得a2=25，

∴椭圆的标准方程为 +=1．

（2）当椭圆的焦点在y轴上时，同理得椭圆的标准方程为+=1．

综上知，所求椭圆的方程为：+=1和+=1．

故答案：+=1和+=1．

（1）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），

由已知，得∴∴b=．

所以椭圆C的方程为+=1．

（2）由=e=，得PF=PM．∴PF≠PM．

①若PF=FM，则PF+FM=PM，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF不可能与PM相等．

②若FM=PM，设P（x，y）（x≠±2），则M（4，y）．

∴=4-x，∴9+y2=16-8x+x2，又由+=1，得y2=3-x2．

∴9+3-x2=16-8x+x2，∴x2-8x+4=0．∴7x2-32x+16=0．

∴x=或x=4．∵x∈（-2，2），∴x=．∴P（，±）．

综上，存在点P（，±），使得△PFM为等腰三角形．

（1）由题意知b=，(2a+2c)b=3，所以a+c=3①，

又a2=b2+c2，即a2=3+c2②，

联立①②解得a=2，c=1，

所以椭圆方程为：+=1；

（2）由（1）知F1（-1，0），

设A（x1，y1），B（x2，y2），过点F1的直线方程为x=ky-1，

由得（3k2+4）y2-6ky-9=0，△＞0成立，

且y1+y2=，y1y2=，

△F2AB的面积S=×|F1F2|(|y1|+|y2|)=|y1-y2|=

==12=，

又k2≥0，所以9(k2+1)++6递增，

所以9(k2+1)++6≥9+1+6=16，

所以≤=3，当且仅当k=0时取得等号，

所以△F2AB面积的最大值为3．

（1）由ρ=6cosφ，得ρ2=6ρcosφ，所以C2的直角坐标方程是x2+y2-6x=0

由已知得C1 的直角坐标方程是+y2=1，

当α=0时射线与曲线C1，C2交点的直角坐标为（a，0），（6，0），

∵|AB|=4，∴a=2，C1 的直角坐标方程是+y2=1①

（2）联立x2+y2-6x=0与y=x得B（3，3）或B（0，0），∵B不是极点，∴B（3，3）．

又可得D（1，0），∴kBD=，∴BD的参数方程为（t为参数）②

将②带入①得t2+t+41=0，设D，E点的参数是t1，t2，则

t1+t2=，t1t2=，|BD|+|BE|=|t1+t2|=．

（Ⅰ）由已知，解得----（2分）

∴椭圆G的方程为：+=1．----（4分）

（Ⅱ）消去y得：x2+mx+m2-3=0，----（5分）

∵椭圆与直线有两个不同的交点，∴△＞0，即m2＜4，----（6分）

设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x0，y0）

∴x1+x2=-m，x1x2=m2-3，

∴|AB|==，

x0==-，y0=x0+m=m，∴M(-，m)----（8分）

设T（t，0），∵MT⊥AB，∴KATKAB=-1，解得t=-，----（10分）

∴T(-，0)，MT=|m|，

∴S△TAB=|AB|•|MT|=，

∵0＜m2＜4----（12分）

∴当m2=2即m=±时，△TAB面积最大为----（14分）

（I）∵椭圆离心率为，∴=，∴a=c，

又△F1AB周长为4，∴4a=4，解得a=，∴c=1，b=，

∴椭圆C的标准方程为：+=1；

（II）设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），

当斜率不存在时，这样的直线不满足题意，

∴设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x-1），

将直线l的方程代入椭圆方程，整理得：（2+3k2）x2-6k2x+3k2-6=0，∴x1+x2=-2k=，

故y1+y2=k（x1+x2）-2k=-2k=，

∵四边形PAPB为平行四边形，∴=+，

从而x0=x1+x2=，y0=y1+y2=，

又P（x0，y0）在椭圆上，∴+=1，

整理得：+=1，12k4+8k2=4+12k2+9k4，3k4-4k2-4=0，解得k=±，

故所求直线l的方程为：y=±（x-1）．

（1）当k=0或k=-1或k=4时，C表示直线；

当k≠0且k≠-1且k≠4时方程为

+=1，①

方程①表示椭圆的充要条件是

即是0＜k＜2或2＜k＜4．

（2）方程①表示双曲线的充要条件是•＜0，

即k＜-1或-1＜k＜0或k＞4．

①当k＜-1或k＞4时，双曲线焦点在x轴上，

a2=，b2=，

其一条渐近线的斜率为==，得k=6．

②当-1＜k＜0时，双曲线焦点在y轴上，

a2=，b2=-，

其一条渐近线的斜率为==，得k=6（舍），

综上得双曲线方程为-=1．

（3）若存在，设直线PQ的方程为：y=-x+m．

由=7，

消去y，

得4x2+4mx-2m2-7=0．②

设P、Q的中点是M（x0，y0），则

M在直线l上，

∴=--1，解得m=-，方程②的△＞0，

∴存在满足条件的P、Q，直线PQ的方程为y=-x-．

e==，则c=a．由c2=a2-b2，得a2=4b2．

由消去x，得2y2+8y+16-b2=0．

由根与系数关系，得y1+y2=-4，y1y2=．

|PQ|2=（x2-x1）2+（y2-y1）2 =5（y1-y2）2 =5[（y1+y2）2-4y1y2]=10，

即5[16-2（16-b2）]=10，解得b2=9，则a2=36．

所以椭圆的方程为+=1．