热门试卷

（1）设椭圆的方程为+=1

∵焦点坐标为F1(-，0)与F2(，0)

∴a2=3+b2①

∵椭圆过点(1，-)

∴+=1②

解得a2=4，b2=3

所以椭圆方程为+y2=1

（2）设直线MN的方程为：x=ky-，

联立直线MN和曲线C的方程可得：

得：(k2+4)y2-ky-=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），A（-2，0），

则y1+y2=，y1•y2=-

则•=(x1+2，y1)•(x2+2，y2)=(k2+1)y1y2+k(y1+y2)+=0

即可得，∠MAN=．

设椭圆方程为+=1（a＞b＞0）

则根据题意，双曲线的方程为

-=1且满足解方程组得

∴椭圆的方程为+=1，双曲线的方程-=1

（I）设椭圆的方程为+=1(a＞b＞0)，则 =，c=a，

∴b2 = a2-c2= a2，

∵椭圆过点(，1)，∴ + =1，解得 a2=25，b2=9，

故椭圆C的方程为  +=1（4分）

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）分别为直线l与椭圆和圆的切点，

直线AB的方程为y=kx+m，因为A既在椭圆上，又在直线AB上，

从而有，消去y得：（25k2+9）x2+50kmx+25（m2-9）=0，

由于直线与椭圆相切，

故△=（50kmx）2-4（25k2+9）x25（m2-9）=0，从而可得：m2=9+25k2，①，x1=-，②

由．消去y得：（k2+1）x2+2kmx+m2-R2=0，

由于直线与圆相切，得m2=R2（1+k2），③，x2=-，④

由②④得：x2-x1=，由①③得：k2=，（9分）

∴|AB|2=（x2-x1）2+（y2-y1）2=（1+k2）（x2-x1）2

=•=•= 25+ 9-R2-

≤34-=34-30=4

即|AB|≤2，当且仅当R=时取等号，所以|AB|的最大值为2（12分）

（I）由题意知c=，4a=8，∴a=2，b=1

∴椭圆的方程为+y2=1

（II）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x-1）消去y得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2）

则由韦达定理得x1+x2=x1x2=则=(m-x1，-y1)=(m-x2，-y2)

∴•=(m-x1)(m-x2)+y1y2=m2-m（x1+x2）+x1x2+y1y2

=m2-m（x1+x2）+x1x2+k2（x1-1）（x2-1）

=m2-m++k2(-+1)

=要使上式为定值须=，解得m=∴•为定值当直线l的斜率不存在时P(1，)，Q(1，-)由E(，0)可得=(，-)=(，)∴•=-=综上所述当E(，0)时，•为定值

解（Ⅰ）由题意得直线l1的方程为y=x-2，①

过原点垂直于l1的直线方程为y=-x②

解①②得：x=

因为椭圆中心O（0，0）关于直线l1的对称点在直线x=上，

∴=3

又∵直线l1过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0），

∴c=2，a2=6，b2=2

故椭圆C的方程为+=1③

（II）当直线l1的斜率存在时，

设直线l1的方程为y=k（x+2），代入③并整理得：

（3k2+1）x2+12k2x+12k2-6=0

设M（x1，y1），N（x2，y2）

则x1+x2=-，x1x2=

∴|MN|=|x1-x2|==

坐标原点O到直线l2的距离d=．

∵（•）•sin∠MON=，即S△MON=

而S△MON=||MN|d

∴|NM|d=，即=

解得k=±，此时直线l2的方程为y=±（x+2）

当直线l2的斜率不存在时，直线l2的方程为x=-2

此时点M（-2，），N（-2，-），满足S△MON=，

综上得，直线l2的方程为x=-2或±y+2=0．

（1）由题意知，=，a+c=+1，

所以a=，c=1，从而b=1，

故椭圆C的方程为+y2=1

（2）容易验证直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为x=my+1，代入+y2=1中，

得（m2+2）y2+2my-1=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2）

则由根与系数的关系，得y1+y2=-       y1y2=-，

     |AB|=|y2-y1|====，

解得m=±，

所以直线l的方程为x=±y+1，即x-y-1=0或x+y-1=0．

（1）∵椭圆的焦点在x轴，

∴设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），

∵椭圆的焦距为2

∴c=1，焦点坐标为F1（-1，0），F2（1，0），

∵椭圆经过点A （-1，），

∴根据椭圆的定义，得2a=|AF1|+|AF2|=+=4，

可得a=2，所以b2=a2-c2=3，

∴椭圆方程为+=1；

（2）由（1）得，椭圆的顶点坐标：（±2，0）和（0，±）；

长轴长为4；短轴长为2；离心率e==．

解：（1）∵

∴|BO|=|OC|=1，

∴

∴

依椭圆的定义有：=

∴a=2

又c=1，

∴b2=a2﹣c2=3

∴椭圆的标准方程为

（2）椭圆的右顶点（2，0），圆E的圆心为E（1，0），半径．

假设点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧，

则∠MEN=90°，圆心E（1，0）到直线l的距离

当直线l斜率不存在时，l的方程为x=2，此时圆心E（1，0）到直线l的距离d=1

当直线l斜率存在时，设l的方程为y=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k=0，

∴圆心E（1，0）到直线l的距离，无解

综上：点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧，此时l方程为x=2

（1）因为2c=2，且=，所以c=1，a=2．

所以b2=3．

所以椭圆C的方程为+=1．

（2）设点M的坐标为（x0，y0），

则+=1．

因为F1（-1，0），=4，

所以直线l的方程为x=4．

由于圆M与l有公共点，

所以M到l的距离4-x0小于或等于圆的半径R．

因为R2=MF12=（x0+1）2+y02，

所以（4-x0）2≤（x0+1）2+y02，

即y02+10x0-15≥0．

又因为=3(1-)，

所以3-+10x0-15≥0．

解得≤x0≤12．又+=1，∴≤x0＜2

当x0=时，|y0|=，

所以(S△MF1F2)max=×2×=．

（1）由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为+=1（a＞b＞0），

由于椭圆经过点（0，2）和（1，0），∴a=2，b=1，

故所求椭圆的方程为+x2=1；

（2）设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），则

∵椭圆经过点(，)和点(，1)，

∴，解得，

∴所求椭圆的方程为x2+=1．

（1）由题意，知a=2c，=4，解得a=2，c=1，∴b=，故椭圆方程为+=1…（5分）

（2）设P（2cosθ，sinθ），M（4，m），N（4，n），则A（-2，0），B（2，0），

由A、P、M三点共线，得m=…（7分）

由B、P、N三点共线，得n=，…（9分）

设Q（t，0），则由•=0得

（t-4）（t-4）+（0-）（0-）=0，

整理得：（t-4）2-9=0      解得t=1或t=7

∴Q点的坐标是（7，0）或（1，0）．…（12分）

（1）依题意有：b=1，=，又a2=c2+1，

解得：a=2，c=1，

故椭圆C的方程为：+y2=1．

（2）依题意可设A（t，y0），B（t，-y0），K（x，y）．且有+y02=1，

又EA：y=(x+)，DB：y=(x-)，

∴y2=(x2-2)，由+y02=1得：y02=(2-t2)

代入即得y2=(x2-2)，即为：-y2=1，

所以直线EA与直线BD的交点K必在双曲线-y2=1上．

（3）（A）当直线l的斜率不存在时，P(-1，)，Q(-1，-)，此时•=1-=，不满足要求；

（B）当直线l的斜率存在时设为k，则直线l为：y=k（x+1），代入+y2=1得：（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，

由•=-得：x1x2+k2(x1+1)(x2+1)=-，

即：(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=-；

则：(1+k2)+k2+k2=-；

解得：k2=1⇒k=±1；

直线l过椭圆C的左焦点，故恒有两个交点，则k=±1满足要求，

故直线l的方程为：y=x+1或y=-x-1．

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则c=2．              …（1分）

由e==，得 a=2，从而b2=a2-c2=4．    …（4分）

所以，椭圆C的方程为+=1．                    …（5分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

将直线l的方程代入椭圆C的方程，消去y得：4（1+3k2）x2-60kx+27=0．             …（7分）

由△=3600k2-16（1+3k2）×27＞0，得k2＞，且x1+x2=． …（9分）

设线段AB的中点为D，则xD=，yD=kxD-=．…（10分）

由点A，B都在以点（0，3）为圆心的圆上，得kMD•k=-1，…（11分）

即 •k=-1，解得 k2=，符合题意．  …（13分）

所以 k=±．                          …（14分）

（1）由条件可知P(-c，-)，Q(c，)

因为kPQ=，所以e=（4分）

（2）由（1）可知，a=2c，b=c

所以A(0，c)，F1(-c，0)，B(3c，0)

从而M（c，0）．半径为a，

因为•=-a2，

所以∠EMF=120°，可得：M到直线l的距离为．

所以c=2，所以椭圆方程为+=1．（8分）

（3）因为点N在椭圆内部，

所以b＞3．（9分）

设椭圆上任意一点为K（x，y），

则KN2=x2+(y-3)2≤(6)2．

由条件可以整理得：y2+18y-4b2+189≥0

对任意y∈[-b，b]（b＞3）恒成立，

所以有：

或者

解之得：2b∈(6，12-6]（13分）