热门试卷

（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，

则由题设可知，

解此方程组得a=，b=1．

所以椭圆C的方程是+y2=1．…（5分）

（Ⅱ）假设存在点T（u，v）．若直线l的斜率存在，设其方程为y=kx-，

将它代入椭圆方程，并整理，得（18k2+9）x2-12kx-16=0

设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则…（7分）

因为=(x1-u，y1-v)， =(x2-u，y2-v)及y1=kx1-，y2=kx2-，

所以•=(x1-u)(x2-u)+(y1-v)(y2-v)=(k2+1)x1x2-(u+k+kv)(x1+x2)+u2+v2++=…（10分）

当且仅当•=0恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T，

所以解得u=0，v=1．

此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．…（12分）

当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为x2+y2=1也过点T（0，1）．

综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件．…（14分）

（Ⅰ）由题意，，解得a=，c=1．

即椭圆方程为+=1

（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，|AB|=，此时S△AOB=不符合题意，故舍掉；

当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以 |AB|=．

原点到直线的AB距离d=，

所以三角形的面积S=|AB|d=．

由S=可得k2=2，∴k=±，

所以直线lAB：x-y+=0或lAB：x+y+=0．

（1）依题意，设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），

则，解得b=1，a=，

椭圆C的方程为+y2=1．

（2）证明：，得xn2=，

an=x=，

所以a1•a2•…•an=×××…×=＞．

（1）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0）．

由已知可得，解得a2=4，b2=1．

故椭圆C的标准方程为+y2=1．

（2）由已知，①若直线l的斜率不存在，则过点E（-1，0）的直线l的方程为x=-1，

此时A(-1，)，B(-1，-)，显然|EA|=2|EB|不成立．

②若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x+1）．

则，整理得（4k2+1）x2+8k2x+4k2-4=0．

由△=（8k2）2-4（4k2+1）（4k2-4）=48k2+16＞0．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

故x1+x2=-，①x1x2=． ②

因为|EA|=2|EB|，所以=-2，则x1+2x2=-3．③

①②③联立解得k=±．            

所以直线l的方程为x+6y+=0和x-6y+=0．

（1）：解方程组，得：y=0，x=-2，

，得：y=0，x=2，

，得：y=，x=1，

∴可行域y的三个顶点分别为：（-2，0），（2，0），（1，），

设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，

得到方程组：，

解得：D=0，E=0，F=-4，

∴圆C的方程为：x2+y2=4，

圆与X轴的交点A1（-2，0），A2（2，0），

设椭圆C1的方程的方程为：

+=1，（a＞b＞0）

则有a=2，e==，c=，b=，

∴椭圆方程为：+=1

（2）设p（x0，y0），（x0≠±2），

∴当x0=时，P（2，±），

Q(2，0)，kOp•kPQ=-1，

当x0≠时，kPF=，kPQ=，

∴lOQ：y=-x，

∴Q(2，-)，

∴KOP•KPQ=-1，故相切．

（1）∵A（1，1）是椭圆+=1(a＞b＞0)上的一点，F1、F2为两个焦点，

|AF1|+|AF2|=4，

∴2a=4，a=2，（2分）

  +=1，

∴b2=，∴c2=4-=，（4分）

∴e==．椭圆的方程为+=1．（6分）

（2）设C（xC，yC），D（xD，yD），

∵直线AC、AD的倾斜角互补，

∴直线AC、AD的斜率互为相反数，∴直线AC：y-1=k（x-1），直线AD：y-1=-k（x-1）．（8分）

由，得（1+3k2）x2+3（2k-2k2）x+3（k2-2k）-1=0（10分）

∵A点的横坐标x=1一定为该方程的解．

∴xC=，同理，xD=．（12分）

∴kCD====．

故直线CD的斜率为定值．（13分）

（Ⅰ）∵|PA|+|PB|=2＞|AB|=2

∴由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为2的椭圆．

∴c=1，a=，b2=2．

∴W的方程是+=1．          

（Ⅱ）设C，D两点坐标分别为C（x1，y1）、D（x2，y2），C，D中点为N（x0，y0）．

由得 （3k2+2）x2+6kx-3=0．

∵△=36k2+12（3k2+2）＞0

∴x1+x2=-，

∴x0==-，从而y0=kx0+1=．

∴线段CD的中垂线的方程为y-y0=-（x-x0）

即y-=-（x+）

令y=0，得x=--

∵存在点M（m，0），使得|CM|=|DM|

∴m=-

当k=0时，m=0

当k＞0时，m=-=-≥-=-

即m∈[-，0)

当k＜0时，m=-=-≤=

即m∈(0，]

∴m∈[-，0)∪(0，]∪{0}=[-，]．

故所求m的取范围是[-，]．

（I）设椭圆C的方程为+=1(a＞0，b＞0)，

∵a=2，e=，∴c=，b2=1，

∴椭圆C的方程为+y2=1．

（II）取m=0，得P（1，），Q（1，-），

直线A1P的方程是y=x+，

直线A1P的方程是y=x+，直线A2Q的方程为是y=x-交点为S1(4，)．

若P(1，-) ，Q(1，)，由对称性可知S2(4，-)，

若点S在同一条直线上，由直线只能为l：x=4．

以下证明对于任意的m，直线A1P与A2Q的交点S均在直线l：x=4上，

事实上，由，

得（my+1）2+4y2=4，即（m2+4）y2+2my-3=0，

记P（x1，y1），Q（x2，y2），

则y1+y2=，y1 y2=，

记A1P与l交于点S0（4，y0），

由=，得y0=，

设A2Q与l交于点S‘0（4，y′0），

由=，得y′0=，

∵y0-y′0=-

=

=

==0，

∴y0=y′0，即S0与S‘0重合，

这说明，当m变化时，点S恒在定直线l：x=4上．

（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得b=1，a=b=，

故椭圆方程为+y2=1．    　　　　                …（5分）

（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

因为M（0，1），F（1，0），所以kPQ=1．                     …（7分）

于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，消元可得3x2+4mx+2m2-2=0．

由△＞0，得m2＜3，且x1+x2=-，x1x2=．    …（9分）

由题意应有•=0，所以x1（x2-1）+y2（y1-1）=0，

所以2x1x2+（x1+x2）（m-1）+m2-m=0．

整理得2×-（m-1）+m2-m=0．

解得m=-或m=1．                               …（12分）

经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去．

当m=-时，所求直线l存在，且直线l的方程为y=x-．…（13分）

（Ⅰ）设C1的方程为+y2=1，C2的方程为+y2=1，其中a＞1，0＜b＜1…（2分）

∵C1，C2的离心率相同，所以=1-b2，

所以ab=1，…．…（3分）

∴C2的方程为a2x2+y2=1．

当m=时，A(-，)，C(，)…．（5分）

又∵|AC|=，所以，+=，解得a=2或a=（舍），…．…..（6分）

∴C1，C2的方程分别为+y2=1，4x2+y2=1．…．（7分）

（Ⅱ）A（-a，m），B（-，m）． …（9分）

∵OB∥AN，∴kOB=kAN，

∴=，

∴m=． …．（11分）

e2=，

∴a2=，

∴m=． …（12分）

∵0＜m＜1，

∴0＜＜1，

∴＜e＜1…（13分）

（1）∵=，得=，∴渐近线l1，l2的方程为y=±3x；

（2）设M（x0，y0），A（x1，3x1），B（x2，-3x2），

=（x0-x1，y0-3x1），=（x0-x2，y0+3x2），

∴y0-3x1=3y0+9x2

∴y0=（-3x2-x1），∵-=1，

∴4b2=-12x1x2，即b2=-3x1x2，

∵•=8，

∴x1x2+3x1（-3x2）=8，x1x2=-1，

∴b2=3，a2=27，

∴椭圆的方程为；+=1．

（1）设椭圆C的方程为+=1(a＞b＞0)．

由题意可得，解得，

∴椭圆C的方程为+=1．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立，消去y得到（3+4k2）x2+8kmx+4m2-84=0．

∵△＞0，∴64k2m2-16（3+4k2）（m2-21）=0，化为m2=21+28k2．（*）

∴x1+x2=，x1x2=．（**）

∵OP⊥OQ，∴•=0．

∴x1x2+y1y2=0．

又y1y2=（kx1+m）（kx2+m），

∴(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0．

把（**）代入可得++m2=0．

化为m2=12+12k2=12（1+k2），∴=2．

∴点O到直线l的距离d==2．

（1）设椭圆C的方程为 +=1(a＞b＞0)，

则由题意知b=1．∴=．

即 =．∴a2=2．

∴椭圆C的方程为 +y2=1；

（2）假设椭圆C的右焦点F可以为△BMN的重心，设直线l方程为y=x+m，代入椭圆方程，消去y得

3x2+4mx+2m2-2=0

由△=24-8m2＞0得m2＜3

设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2=-m

∵F（1，0），∴1==-

∴m=-

∴直线l方程为y=x-

（1）e=⇒=⇒a2=4b2，故椭圆方程为x2+4y2=4b2，

设P（x1，y1）、Q（x2，y2），由=-得y1=-y2，

由消去x得5y2-2y+1-4b2=0，∴y1+y2=，y1y2=，

由此得b2=1，a2=4，椭圆方程为+y2=1；

（2）当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y=k（x+1）代入椭圆方程得：x2+4k2（x+1）2=4⇒（1+4k2）x2+8k2x+4k2-4=0⇒，所以•=(x1-2，y1)•(x2-2，y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2=（1+k2）x1x2+（k2-2）（x1+x2）+4+k2==＜，

当直线l的斜率不存在即α=90°时，•=，

因此当α=90°时，•取得最大值，最大值为