热门试卷

（1）设椭圆T的方程为+=1（a＞b＞0），

由题意知：左焦点为F′（-2，0），所以2a=|EF|+|EF′|=+3，

解得a=2，

∵c=2，∴b==2．

故椭圆T的方程为+=1…（4分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），M（s1，t1），N（s2，t2），P（s3，t3），

由：x12+2y12=8，x22+2y22=8，两式相减，得到

（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0

所以k1==-•=-，即=-，…（9分）

同理=-，=-

所以++=-2(++)，

又因为直线OM，ON，OP的斜率之和为0，

所以++=0 …（13分）

（I）由已知得a=2，c=1，

又在椭圆中有b2=a2-c2，

所以b2=3

所以椭圆C的方程为：+=1．

（Ⅱ）令M（x1，y1），N（x2，y2），

由方程组，

消x，得（3m2+4）y2+6my-9=0，

∴y1+y2=，①

y1y2=，②

①2/②得++2=，，令t=，

则|t|+||=|t+|==-，

∴2≤|t|+||＜，即＜|t|＜3．

∵==|t|，

∴∈(，3)

（1）2a=PA+PB=2

所以a=，又c=2，所以b2=a2-c2=6

方程为：+=1

（2）a=2，c=

所以b2=c2-a2=6

双曲线方程为：-=1

若椭圆的焦点在x轴上，设方程为+=1(a＞b＞0)．

由题意解得

∴椭圆的方程为+y2=1；

若椭圆的焦点在y轴上，设方程为+=1(a＞b＞0)，

由题意解得

∴椭圆方程为+=1．

故椭圆方程为+y2=1，或+=1．

（1）因为，所以a=，c=1，（4分）

∴b=1，椭圆方程为：+y2=1                 （6分）

（2）由（1）得F（1，0），所以0≤m＜1，假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y=k（x-1），

代入+y2=1，得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=  ①，（10分）

y1+y2=k（x1+x2-2）=

设AB的中点为M，则M（，），

∵|AC|=|BC|

∴CM⊥AB即kCM•kAB=-1

∴-2m+•k=0

∴（1-2m）k2=m

∴当0≤m＜时，k=±，即存在这样的直线l

当≤m≤1，k不存在，即不存在这样的直线l           （15分）

（1）∵椭圆+=1过点（2，3），

∴+=1

∴m=12，

∴椭圆方程为：+=1．

（2）：由|PF1|+|PF2|=8，|PF1|-|PF2|=2，解得|PF1|=5，|PF2|=3．

又|F1F2|=4，故满足|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2．

∴△PF1F2为直角三角形．

（1）由e==，b=1，a2=b2+c2得a=2（2分）

所以椭圆方程为+y2=1（4分）

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）设直线l：y=kx+2（5分）

由得（1+4k2）x2+16kx+12=0△=64k2-48＞0①（7分）

x1+x2=-，x1x2=②∵•=0

∴x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0③（10分）

由②③解得k=±2满足①所以l：2x-y+2=0或2x+y-2=0（12分）

（1）∵椭圆+=1(a＞b＞0)的长轴长为4，且点(1，)在该椭圆上，

∴+=1，解得b2=1．

∴椭圆的方程为+y2=1．

（2）∵直线l过椭圆+y2=1的右焦点F（，0），

∴设l的方程为：y=k（x-），

联立，得（4k2+1）x2-8k2x+12k2-4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，

y1y2=k（x1-）•k（x2-）=k2x1x2-k2（x1+x2）+3k2，

∵∠AOB是直角，

∴x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2-k2（x1+x2）+3k2

=（k2+1）•）-k2•+3k2

==0，

解得k=±．

∴直线l的方程为y=±（x-）．

（1）设椭圆方程为+=1(a＞b＞0)

则，解得，

∴椭圆方程+=1．

（2）若•=0成立，则向量=λ(+)与x轴垂直，

由菱形的几何性质知，∠AMB的平分线应与x轴垂直．为此只需考察直线MA，MB的倾斜角是否互补即可．

由已知，设直线l的方程为：y=x+m

由，∴x2+2mx+2m2-4=0

设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，

只需证明k1+k2=0即可，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1=，k2=

由x2+2mx+2m2-4=0可得，

x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4，而

k1+k2=+=

=

=

=

==0，

∴k1+k2=0，

直线MA，MB的倾斜角互补．

故对任意的正实数t，λ，都有•=0成立．

（1）直线l的方程为x=y-c，

由，

消去x得，（a2+b2）y2-2b2cy-b4=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1+y2=①，

y1y2=②，

又由=(2-)，

得=-(2-)③，

由①②得=++2==-2，

∴a2+b2=2c2，a2=3b2，

∴2a2=3c2，

∴e=．

（2）|AB|=|y1-y2|

=×==a=3，

∴b2=3

∴椭圆标准方程为+=1．

（1）解法一：设椭圆C的标准方程为+=1(a＞b＞0)，

由椭圆的定义知：2a=+=4 ， c=1 ， b2=a2-c2=3

得a=2，b=

故C的方程为+=1．

解法二：设椭圆C的标准方程为+=1(a＞b＞0)，

依题意，a2=b2+1①，将点M(1，)坐标代入得+=1②

由①②解得a2=4，b2=3，故C的方程为+=1．

（2）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以+=1，则m2+n2＞+=1，

从而圆心O到直线l：mx+ny=1的距离d=＜1=r，

所以直线l与圆O相交．

直线l被圆O所截的弦长为L=2=2=2=2

∵0≤m2≤4∴3≤m2+3≤4，≤≤，∴≤L≤．