- 圆锥曲线与方程
- 共14739题
已知抛物线的顶点为椭圆+
=1(a>b>0)的中心.椭圆的离心率是抛物线离心率的一半,且它们的准线互相平行.又抛物线与椭圆交于点M(
,-
),求抛物线与椭圆的方程.
正确答案
由题意,设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则
将M(,-
)代入方程可得
=2p×
,∴p=2,
∴抛物线的方程为y2=4x
∵椭圆的离心率是抛物线离心率的一半,
∴e==
∵+
=1,a2=b2+c2
∴a=2,b=
∴椭圆方程为:+
=1
下列五个命题,其中真命题的序号是______(写出所有真命题的序号).
(1)已知C:+
=1(m∈R),当m<-2时C表示椭圆.
(2)在椭圆+
=1上有一点P,F1、F2是椭圆的左,右焦点,△F1PF2为直角三角形则这样的点P有8个.
(3)曲线+
=1(m<6)与曲线
+
=1(5<m<9)的焦距相同.
(4)渐近线方程为y=±x(a>0,b>0)的双曲线的标准方程一定是
-
=1
(5)抛物线y=ax2的焦点坐标为(0,).
正确答案
(1)当m=-3时,椭圆的方程变为C:+
=1表示一个圆,故错;
(2)F1、F2是椭圆 +
=1(a>b>0)的焦点,P是椭圆上一点,且∠F1PF2=90°,
∴以F1F2为直径的圆与椭圆有交点,圆的半径r=c≥b,
∴圆与椭圆最多有4个交点,∴,△F1PF2为直角三角形则这样的点P最多有4个.故错;
(3)曲线+
=1(m<6)与曲线
+
=1(5<m<9)的焦距都为4,相同,故正确;
(4)根据题意,近线方程为y=±x(a>0,b>0)的双曲线的标准方程一定是
-
=λ(λ≠0)故错;
(5)整理抛物线方程得x2=y,p=
∴焦点坐标为 (0,)故正确.
故答案为:(3)(5)
设AB是椭圆Γ的长轴,点C在Γ上,且∠CBA=,若AB=4,BC=
,则Γ的两个焦点之间的距离为______.
正确答案
如图,设椭圆的标准方程为+
=1,
由题意知,2a=4,a=2.
∵∠CBA=,BC=
,∴点C的坐标为C(-1,1),
因点C在椭圆上,∴+
=1,
∴b2=,
∴c2=a2-b2=4-=
,c=
,
则Γ的两个焦点之间的距离为 .
故答案为:.
设椭圆C:+
=1(a>0)的左右焦点分别为F1、F2,A是椭圆C上的一点,
•
=0,坐标原点O到直线AF1的距离为
|OF1|.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设Q是椭圆C上的一点,过点Q的直线l交x轴于点F(-1,0),交y轴于点M,若||=2|
|,求直线l的斜率.
正确答案
(Ⅰ)由题设知F1(-,0),F2(
,0),
由于•
=0,则有
⊥
=0,所以点A的坐标为(
,±
) …(2分)
故AF1所在直线方程为y=±(+
) …(4分)
所以坐标原点O到直线AF1的距离为
又|OF1|=,所以
=
,解得:a=2 …(6分)
∴所求椭圆的方程为+
=1 …(7分)
(Ⅱ)设直线l的方程为y=k(x+1),则有M(0,k) …(8分)
设Q(x1,y1),由于Q、F、M三点共线,且||=2|
|,
∴(x1,y1-k)=±2(x1+1,y1),解得或
…(11分)
又Q在椭圆C上,故+
=1或
+
=1…(12分)
解得k=0或k=±4,所以所求直线l的斜率为0或±4 …(14分)
两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10的椭圆标准方程为______.
正确答案
∵两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),
∴椭圆的焦点在横轴上,并且c=4,
∴由椭圆的定义可得:2a=10,即a=5,
∴由a,b,c的关系解得b=3,
∴椭圆方程是 +
=1.
故答案为:+
=1.
已知椭圆E:+
=1(a>b>0)的左焦点F1(-
,0),若椭圆上存在一点D,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)已知两点Q(-2,0),M(0,1)及椭圆G:+
=1,过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H,K两点,设线段HK的中点为N,连接MN,试问当k为何值时,直线MN过椭圆G的顶点?
(Ⅲ) 过坐标原点O的直线交椭圆W:+
=1于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC并延长交椭圆W于B,求证:PA⊥PB.
正确答案
(本小题满分14分)
(Ⅰ)连接DF2,FO(O为坐标原点,F2为右焦点),
由题意知:椭圆的右焦点为F2(,0)
因为FO是△DF1F2的中位线,且DF1⊥FO,
所以|DF2|=2|FO|=2b,
所以|DF1|=2a-|DF2|=2a-2b,
故|FF1|=|DF1|=a-b.…(2分)
在Rt△FOF1中,|FO|2+|FF1|2=|F1O|2
即b2+(a-b)2=c2=5,又b2+5=a2,解得a2=9,b2=4,
所求椭圆E的方程为+
=1.…(4分)
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得椭圆G:x2+=1
设直线l的方程为y=k(x+2)并代入x2+=1
整理得:(k2+4)x2+4k2x+4k2-4=0
由△>0得:-<k<
,…(5分)
设H(x1,y1),K(x2,y2),N(x0,y0)
则由中点坐标公式得:…(6分)
①当k=0时,有N(0,0),直线MN显然过椭圆G的两个顶点(0,-2),(0,2).…(7分)
②当k≠0时,则x0≠0,直线MN的方程为y=x+1
此时直线MN显然不能过椭圆G的两个顶点(0,-2),(0,2);
若直线MN过椭圆G的顶点(1,0),则0=+1,即x0+y0=1,
所以+
=1,解得:k=
,k=2(舍去),…(8分)
若直线MN过椭圆G的顶点(-1,0),则0=-+1,即x0-y0=-1,
所以-
=-1,
解得:k=-4+2,k=-4-2
(舍去).…(9分)
综上,当k=0或k=或k=-4+2
时,直线MN过椭圆G的顶点.…(10分)
(Ⅲ)法一:由(Ⅰ)得椭圆W的方程为+y2=1,…(11分)
根据题意可设P(m,n),则A(-m,-n),C(m,0)
则直线AC的方程为y+n=(x+m),…①
过点P且与AP垂直的直线方程为y-n=-(x-m),…②
①×②并整理得:+y2=
+n2,
又P在椭圆W上,所以+n2=1,
所以+y2=1,
即①、②两直线的交点B在椭圆W上,所以PA⊥PB.…(14分)
法二:由(Ⅰ)得椭圆W的方程为+y2=1
根据题意可设P(m,n),则A(-m,-n),C(m,0),
∴kPA=,kAC=
,
所以直线AC:y=(x-m)
,
化简得(1+)x2-
x+
-2=0,
所以xA+xB=,
因为xA=-m,所以xB=,则yB=
xB-
=
.…(12分)
所以kPB==-
,则kPA•kPB=-1,故PA⊥PB.…(14分)
已知直线l:6x-5y-28=0交椭圆+
=1(a>b>0)于M,N两点,B(0,b)是椭圆的一个顶点,且b为整数,
而△MBN的重心恰为椭圆的右焦点F2.
(1)求此椭圆的方程;
(2)设此椭圆的左焦点为F1,问在椭圆上是否存在一点P,使得∠F2PF1=60°?并证明你的结论.
正确答案
解(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),
则b2x12+a2y12=a2b2,b2x22+a2y22=a2b2,
两式相减得=-
=-
①,
由=c,
=0,得x1+x2=3c,y1+y2=-b,代入①
得2b2-5bc+2c2=0⇒2b=c或b=2c②;
∵M、N在直线L上,得6(x1+x2)-5(y1+y2)=56⇒18c+5b=56③;
由②③解得(b为整数):b=4,c=2,a2=20,
因此椭圆方程为:+
=1.
(2)证明:cos∠F1PF2=
=≥
-1=
>
,
∴∠F1PF2<60°,
∴使∠F1PF2=60°的点P不存在.
已知离心率为的椭圆C1的顶点A1,A2恰好是双曲线
-y2=1的左右焦点,点P是椭圆上不同于A1,A2的任意一点,设直线PA1,PA2的斜率分别为k1,k2.
(Ⅰ)求椭圆C1的标准方程;
(Ⅱ)试判断k1•k2的值是否与点P的位置有关,并证明你的结论;
(Ⅲ)当k1=时,圆C2:x2+y2-2mx=0被直线PA2截得弦长为
,求实数m的值.
设计意图:考察直线上两点的斜率公式、直线与圆相交、垂径定理、双曲线与椭圆的几何性质等知识,考察学生用待定系数法求椭圆方程等解析几何的基本思想与运算能力、探究能力和推理能力.第(Ⅱ)改编自人教社选修2-1教材P39例3.
正确答案
(Ⅰ)双曲线-y2=1的左右焦点为(±2,0)
即A1,A2的坐标分别为(-2,0),(2,0).(1分)
所以设椭圆C1的标准方程为+
=1(a>b>0),则a=2,(2分)
且e==
,所以c=
,从而b2=a2-c2=1,(4分)
所以椭圆C1的标准方程为+
=1.(5分)
(Ⅱ)设P(x0,y0)则+
=1,即y02=1-
=
(6分)
k1•k2=•
=
=-
.(8分)
所以k1•k2的值与点P的位置无关,恒为-. (9分)
(Ⅲ)由圆C2:x2+y2-2mx=0得(x-m)2+y2=m2,
其圆心为C2(m,0),半径为|m|,(10分)
由(Ⅱ)知当k1=时,k2=-
,
故直线PA2的方程为y=-(x-2)即x+2y-2=0,(11分)
所以圆心为C2(m,0)到直线PA2的距离为d==
,
又由已知圆C2:x2+y2-2mx=0被直线PA2截得弦长为及垂径定理得
圆心C2(m,0)到直线PA2的距离d=,
所以=
,即m2+m-2=0,解得m=-2或m=1.(13分)
所以实数m的值为1或-2.(14分).
已知方程-
=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是______.
正确答案
由题意,+
=1
∴12-k>k-7>0
∴实数k的取值范围是(7,)
故答案为(7,)
已知椭圆+
=1(a>b>0)的离心率为
,且短轴长为2.
(I)求椭圆方程;
(II)过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线交椭圆于A、B两点,试将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.
正确答案
(I)∵椭圆+
=1(a>b>0)的离心率为
,且短轴长为2
∴=
,b=1
∵a2=b2+c2
∴a2=4
∴椭圆方程为+y2 =1
(II)由题意知:|m|≥1,
当m=1时,切线l的方程为x=1,点A(1,) 点B(1,-
) 此时|AB|=
;
当m=-1时,同理可得|AB|=;
当m≠±1时,设切线l的方程为:y=k(x-m),由可得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2=,x1•x2=
,
∵l与圆x2+y2=1相切
∴圆心到直线l的距离等于圆的半径,即=1
∴m=,
所以|AB|==
==
由于当m=±1时,|AB|=,
当m≠±1时,|AB|=,此时m∈(-∞,-1)∪(1,+∞)
又|AB|==
≤2,(当且仅当m=±
时,|AB|=2),
所以,|AB|的最大值为2.
故|AB|的最大值为2.
已知抛物线y2=2px经过点M(2,-2),椭圆
+
=1的右焦点恰为抛物线的焦点,且椭圆的离心率为
.
(1)求抛物线与椭圆的方程;
(2)若P为椭圆上一个动点,Q为过点P且垂直于x轴的直线上一点,=λ(λ≠0),试求点Q的轨迹.
正确答案
(1)∵抛物线y2=2px经过点M(2,-2),
∴8=4p,∴p=2
∴抛物线的方程为y2=4x,其焦点为F(1,0),∴c=1
∵椭圆的离心率为,
∴a=2
∴b2=a2-c2=3
∴椭圆的方程为+
=1;
(2)设Q(x,y),x∈[-2,2],设P(x,y0),则+
=1
∴y02=3-x2
∵=λ(λ≠0),
∴=λ2
∴(λ2-)x2+λ2y2=3,x∈[-2,2],
①λ2=,即λ=
时,点Q的轨迹方程为y=±2
,x∈[-2,2],轨迹是两条平行于x轴的线段;
②λ2<,即0<λ<
时,轨迹表示实轴在y轴上的双曲线满足x∈[-2,2]的部分;
③λ2>,即λ>
时,轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x∈[-2,2]的部分.
已知椭圆+
=1(a>b>0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且与直线l:x-y-1=0交于A,B两点.
(1)若右顶点到直线l的距离等于,求椭圆方程.
(2)设△AF1F2的重心为M,△BF1F2的重心为N,若原点O在以MN为直径的圆内,求a2的取值范围.
正确答案
(1)由椭圆右顶点到直线l的距离等于,得
=
,解得a=2,由c=1,所以b2=a2-c2=3.
所以椭圆的方程为+
=1;
(2)由题意设A(x1,x1-1),B(x2,x2-1),
由,得(2a2-1)x2-2a2x+2a2-a4=0
x1+x2=,x1x2=
∵直线AB:x-y-1=0过焦点F2(1,0),
∴△AF1F2的重心M(,
),
△BF1F2的重心N(,
),
因为原点O在以MN为直径的圆内,
所以•
=
+
=
=<0,
解得,a2>1+.
求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程:
(1)中心在原点,焦点在 x轴上,短轴长为12,离心率为的椭圆;
(2)抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线-
=1的一个焦点,且与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的交点为(
,
),求抛物线与双曲线的方程.
正确答案
(1)∵椭圆中心在原点,焦点在x轴上,短轴长为12,
∴设椭圆方程为+
=1,(a>b>0)
∵离心率为e=,b=6,
∴=
,解之得a=10,
从而得到椭圆方程为+
=1;
(2)设抛物线方程为y2=2px(p>0),
∵抛物线与双曲线的交点为(,
),
∴6=2p×,可得p=2,
可得抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=-1
∵双曲线-
=1的一个焦点在抛物线的准线上,∴c=1
又∵(,
)是双曲线
-
=1上的点
∴-
=1,
联解①②,可得a2=,b2=
,得到双曲线的方程为
-
=1
∴抛物线的方程为y2=4x,双曲线的方程为-
=1.
已知中心在原点的椭圆的一个焦点为(0,),且过点A(1,
),过A作倾斜角互补的两条直线,它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求证:直线BC的斜率为定值,并求这个定值.
(3)求三角形ABC的面积最大值.
正确答案
(1)由题意可知c=,由椭圆的定义求出a=2,所以b=
,所以椭圆的方程为:
+
=1
(2)由题意得设AB的斜率为k,则AC的斜率为-k
所以代入得x1+x2=
,
又∵x1=1∴xB=
同理xC=,kBC=
=
=
为定值
(3)设BC方程为y=x+m
得4x2+2mx+m2-4=0
得|BC|=.
A到BC的距离为d=
所以S△=|BC|•d=
|m|
=
=
≤
当m2=8-m2时,即m2=4时“=”成立,此时△>0成立.
已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上有一点P,∠F1PF2=
,且△PF1F2的面积为3
,求椭圆的方程.
正确答案
设椭圆的方程为+
=1(a>b>0),F1(-c,0)、F2(c,0).
因为点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a.…(2分)
在△PF1F2中,由余弦定理,得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|•|PF2|,
即4c2=4a2-3|PF1|•|PF2|.…(6分)
又因S△PF1F2=3,所以
|PF1|•|PF2|sin
=3
,得|PF1|•|PF2|=12.
所以4c2=4a2-36,又e==
,
故a2=25,c2=16,b2=9,
∴所求椭圆的方程为+
=1.…(12分)
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