热门试卷

（1）依题意，可设椭圆C的方程为mx2+ny2=1，…（1分）

从而，解得…（3分）

故椭圆C的方程为+=1…（4分）

（2）椭圆C：+=1的两焦点为F1（-5，0），F2（5，0），…（5分）

∵双曲线G与椭圆C有相同的焦点，

∴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c=5．…（6分）

设双曲线G的方程为-=1（a＞0，b＞0），则G的渐近线方程为y=±x，…（7分）

即bx±ay=0，且a2+b2=25，

圆M：x2+（y-5）2=9的圆心为（0，5），半径为r=3．

∵双曲线G的两条渐近线恰好与圆M相切

∴=3

∴a=3，b=4．…（9分）

∴双曲线G的方程为-=1．…（10分）

（1）由题意得，c=2，=8得，a2=16，b2=12，

∴所求椭圆方程为+=1．…（5分）

（2）设P点横坐标为x0，则==-1，…（7分）

∵-4＜x0≤4，∴==-1≥．

∴的取值范围是[，+∞)…（10分）

（3）设圆的圆心为O，因圆的半径为1，因此，OE的最大值为2，

设E（x0，y0），则+=1，即=16(1-)

则OE====…（12分）

∵-2≤y0≤2

∴当-2≤-3t≤2时，则y0=-3t时，有OEmax==2，得t=±1，满足条件；…（14分）

当-3t＞2时，则y0=2时，有OEmax==2，得，t=2±2，但均不满足条件，所以无解；

当-3t＜-2时，同理可得无解．…（16分）

所以，t=±1．

（1）直线AB的方程为：bx-ay-ab=0

∵原点到过A（a，0），B（0，-b）两点的直线的距离是．

∴=

∴a2b2=(b2+a2)①

∵椭圆+=1(a＞b＞0)的离心率e=，

∴=

∴a2=4b2②

②代入①，可得b2=4，

∴a2=16

∴椭圆的方程为+=1；

（2）由题意，B（0，-2）

设E（x1，y1），F（x2，y2），由E，F在圆上，得x12+（y1+2）2=x22+（y2+2）2…③，

由E，F在直线y=kx+1得y1=kx1+1，y2=kx2+1，

代入③式，可得（1+k2）（x1+x2）（x1-x2）+6k（x1-x2）=0，

因为E，F为直线上不同两点，所以x1≠x2，所以（1+k2）（x1+x2）+6k=0，

即x1+x2=-④

又由E，F在椭圆上，将y=kx+1代入+=1，得（1+4k2）x2+8kx-12=0，

由根与系数的关系，x1+x2=-…⑤，

将④⑤两式联立求解得k=0或k=±

（Ⅰ）设椭圆半焦距为c，圆心O到l的距离d==，

∴直线l被圆O截得的弦长为2=2=2，

由2b=2，解得b=，

∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，

∴=

∴=，解得a2=3

∴椭圆E的方程为+=1；

（Ⅱ）证明：设P（x0，y0），过点P的椭圆E的切线l0的方程为y-y0=k（x-x0）

与椭圆方程联立，消去y可得（3+2k2）x2+4k（y0-kx0）x+2（kx0-y0）2-6=0

∴△=[4k（y0-kx0）]2-4（3+2k2）[2（kx0-y0）2-6]=0

∴（2-x02）k2+2kx0y0-（y02-3）=0

设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为k1，k2，

∴k1k2=-

∵P在圆O上，∴x02+y02=5，

∴k1k2=-=-1

∴两切线斜率之积为定值-1．

（1）由x2+y2-4x+2=0得（x-2）2+y2=2，∴圆心C（2，0）

∵椭圆的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心，离心率为．

∴c=2，=，∴a=4，

∴b2=a2-c2=12

∴椭圆E的方程为+=1；

（2）设P（x0，y0），l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1：y-y0=k1（x-x0），l2：y-y0=k2（x-x0），且k1k2=

由l1与圆C：x2+y2-4x+2=0相切得=

∴[（2-x0）2-2]k12+2（2-x0）y0k1+y02-2=0

同理可得[（2-x0）2-2]k22+2（2-x0）y0k2+y02-2=0

从而k1，k2是方程[（2-x0）2-2]k2+2（2-x0）y0k+y02-2=0的两个实根

所以①，且k1k2==

∵+=1，

∴5x02-8x0-36=0，

∴x0=-2或x0=

由x0=-2得y0=±3；由x0=得y0=±满足①

故点P的坐标为（-2，3）或（-2，-3），或（，）或（，-）

（Ⅰ）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0）．

由已知b=2，离心率e==，a2=b2+c2，得a=4，

所以，椭圆C的方程为+=1；

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），∠APQ=∠BPQ时，PA，PB的斜率之和为0

设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，

则PA的直线方程为y-3=k（x-2）代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+8（3-2k）kx+4（3-2k）2-48=0

∴x1+2=

同理x2+2=

∴x1+x2=，x1-x2=

∴kAB===

∴直线AB的斜率为定值．

（1）∵椭圆经过点M（3，0），

∴当椭圆焦点在x轴上时，a=3b=3，得b=1，此时椭圆的标准方程为+y2=1；

当椭圆焦点在y轴上时，b=3，a=3b=9，此时椭圆的标准方程为+=1．

综上所述，所求椭圆的方程为+y2=1或+=1．

（2）∵双曲线的焦点在y轴上，a=2，

∴设双曲线的方程为-=1（b＞0），即-

x

b2

2=1（b＞0），

∵点N（2，-5）在双曲线上，

∴-

2

b2

2=1，解之得b2=16，

因此，所求双曲线的方程为-

x

16

2=1．

（1）a=2，设过右焦点F且垂直于长轴的弦为MN，将M（c，yM）代入椭圆方程+=1，解得yM=±，…（2分）

故=3，可得b2=3．                                                …（4分）

所以，椭圆方程为+=1．                                        …（6分）

（2）由题意知，直线AQ，OP斜率存在，故设为k，则直线AQ的方程为y=k（x+2），直线OP的方程为y=kx．可得R（0，2k），

则|AR|=2，…（8分）

设A（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组，

消去y得：（4k2+3）x2+16k2x+16k2-12=0，

x1+x2=-，x1x2=，

则|AQ|=|x1-x2|==．      …（11分）

设y=kx与椭圆交另一点为M（x3，y3），P（x4，y4），联立方程组，

消去y得（4k2+3）x2-12=0，|x4|=，

所以|OP|=|x4|=•．                             …（13分）

故==2．

所以等于定值2…（15分）

设所求的椭圆方程为 +=1（a＞b＞0）或 +=1（a＞b＞0），

由已知条件得 ，

a=，c=，b2=．

所求椭圆方程为+=1或+=1．

（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），则c=，

∵C(，1)，A(-，0)，B(，0)，

∴2a=|AC|+|BC|=4，b==，

∴椭圆方程为+=1（5分）

（2）直线l的方程为y=-（x-m），令M（x1，y1），N（x2，y2），

将y=-（x-m）代入椭圆方程+=1，消去y可得6x2-8mx+4m2-8=0

∴，

若Q恰在以MN为直径的圆上，则×=-1，

即m2+1-（m+1）（x1+x2）+2x1x2=0，

∴3m2-4m-5=0

解得m=．

解（Ⅰ）解法一：当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为+=1（a＞b＞0），

则a=2，又点C(1，)在椭圆E上，得+=1．解得b2=3．

∴椭圆E的方程为+=1．

当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为+=1（a＞b＞0），

则b=2，又点C(1，)在椭圆E上，得+=1．解得a2=3，这与a＞b矛盾．C(1，)

综上可知，椭圆E的方程为+=1．                               …（4分）

解法二：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），

将A（-2，0）、B（2，0）、代入椭圆E的方程，得解得m=，n=．

∴椭圆E的方程为+=1．                                     …（4分）

（Ⅱ）证法一：将直线l：y=k（x-1）代入椭圆E的方程+=1并整理，得（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0，…（6分）

设直线l与椭圆E的交点M（x1，y1），N（x2，y2），

由根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2=．              …（8分）

直线AM的方程为：y=(x+2)，它与直线x=4的交点坐标为P(4，)，同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为Q(4，)．       …（10分）

下面证明P、Q两点重合，即证明P、Q两点的纵坐标相等：P

∵y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），

∴-====0．

因此结论成立．

综上可知，直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．                …（14分）

证法二：将直线l：y=k（x-1），代入椭圆E的方程+=1并整理，得（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0，…（6分）

设直线l与椭圆E的交点M（x1，y1），N（x2，y2），

由根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2=．              …（8分）

直线AM的方程为：y=(x+2)，即y=(x+2)．

直线BN的方程为：y=(x-2)，即y=(x-2)．   …（10分）

由直线AM与直线BN的方程消去y，得x=====4．

∴直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．                         …（14分）

证法三：将直线l：y=k（x-1），代入椭圆方程+=1并整理，得（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0，…（6分）

设直线l与椭圆E的交点M（x1，y1），N（x2，y2），

由根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2=．              …（8分）

消去k2得，2x1x2=5（x1+x2）-8．                               …（10分）

直线AM的方程为：y=(x+2)，即y=(x+2)．

直线BN的方程为：y=(x-2)，即y=(x-2)．     …（12分）

由直线AM与直线BN的方程消去y得，x===4．

∴直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．                     …（14分）

（Ⅰ）由题意得b=2，=

结合a2=b2+c2，解得a2=12

所以，椭圆的方程为+=1．…（4分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=(x1，y1)，=(x2，y2)．

①当x1=x2=2时，斜率不存在时，不妨令=(2，)，=(2，-)

∴•=4-=＞0，∠AOB为锐角成立 …（6分）

②当x1≠x2时，设直线l的方程为：y=k（x-2）

由得x2+3k2（x-2）2=12

即（1+3k2）x2-12k2x+12k2-12=0．

所以x1+x2=，x1x2=，…（8分）

∴y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=-

∴•=x1x2+y1y2=＞0                                 …（10分）

解得k＞或k＜-．…（12分）

综上，直线l倾斜角的取值范围是（，）．…（13分）

（1）依题意椭圆的焦点在x轴上，且c=1，2a=2，…（1分）

∴a=，b2=a2-c2=1．                                     …（2分）

∴椭圆C的标准方程为+y2=1．                                   …（4分）

（2）①…（5分）

∴或 ，…（7分）

即A(，)，B(-，-)，P(，0)．

所以S△ABP=••=．                                     …（9分）

②证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）．

椭圆的右顶点为P(，0)

联立方程，消y整理得 （2k2+1）x2=2，

不妨设x1＞0＞x2，

∴x1=，x2=-；y1=k，y2=-k．…（12分）kAP•kBP=•=…（13分）===-

∴kAP•kBP为定值-．                             …（14分）