热门试卷

（Ⅰ）由 =e2==1-，得 =．…（2分）

依题意△MB1B2是等腰直角三角形，从而b=2，故a=3．…（4分）

所以椭圆C的方程是+=1．…（5分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=my+2．

将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得 （4m2+9）y2+16my-20=0．…（7分）

所以 y1+y2=，y1y2=．…（8分）

若PF平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA+kPB=0．…（9分）

设P（a，0），则有 +=0．

将 x1=my1+2，x2=my2+2代入上式，整理得 =0，

所以 2my1y2+（2-a）（y1+y2）=0．…（12分）

将 y1+y2=，y1y2=代入上式，整理得 （-2a+9）•m=0．…（13分）

由于上式对任意实数m都成立，所以 a=．

综上，存在定点P(，0)，使PM平分∠APB．…（14分）

（1）∵F1、F2、B1、B2四点共圆，

∴b=c，

∴a2=b2+c2=2b2，

设椭圆的方程为+=1，N（0，3）

设H（x，y）为椭圆上一点，则|HN|2=x2+（y-3）2=-（y+3）2+2b2+18，（-b≤y≤b），

①若0＜b＜3，|HN|2的最大值b2+6b+9=50得 b=-3±5 （舍去），

②若b≥3，|HN|2的最大值2b2+18=50得b2=16，

∴所求的椭圆的方程为：+=1．

（2）设直线L的方程为y=kx+m，代入+=1得（1+2k2）x2+4kmx+（2m2-32）=0．

由直线l与椭圆相交于不同的两点知△=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-32）＞0，

m2＜32k2+16．②

要使A、B两点关于过点P、Q的直线对称，必须KPQ=-

设A（x1，y1）B（x2，y2），则xQ==-，yQ=kxQ+m=

∵KPQ==-

解得m=．③

由②、③得＜32k2+16

∴-＜k2＜，

∵k2＞0，

∴0＜k2＜

∴-＜k＜0或0＜k＜

故当-＜k＜0或0＜k＜时，A、B两点关于过点P、Q的直线对称．

（Ⅰ）根据题意可得

可解得

∴椭圆E的方程为+=1…（4分）

（Ⅱ）不妨设A1（0，2），A2（0，-2）

P（x0，4）为直线y=4上一点（x0≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）

直线PA1方程为y=x+2，直线PA2方程为y=x-2

点M（x1，y1），A1（0，2）的坐标满足方程组可得

点N（x2，y2），A2（0，-2）的坐标满足方程组    可得

由于椭圆关于y轴对称，当动点P在直线y=4上运动时，直线MN通过的定点必在y轴上，

当x0=1时，直线MN的方程为y+1=(x+)，令x=0，得y=1可猜测定点的坐标为（0，1），并记这个定点为B

则直线BM的斜率kBM===

直线BN的斜率kBN===

∴kBM=kBN，即M，B，N三点共线，故直线MN通过一个定点B（0，1），

又∵F（0，-1），B（0，1）是椭圆E的焦点，

∴△FMN周长=|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8．

（1）由椭圆定义及条件，可得

2a=|F1B|+|F2B|=10，得a=5．

又∵c=4，∴b==3．

因此可得该椭圆方程为+=1．

（2）∵点B（4，yB）在椭圆上，

∴将x=4，代入椭圆方程求得yB=，可得|F2B|=|yB|=．

∵椭圆右准线方程为x=，即x=，离心率e==．

根据圆锥曲线统一定义，得

|F2A|=（-x1），|F2C|=（-x2）．

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得2|F2B|=|F2A|+|F2C|

即（-x1）+（-x2）=2×，由此解得x1+x2=8．

设弦AC的中点为P（x0，y0），

可得中点横坐标为则x0=（x1+x2）=4．

（1）由已知得a=2，e==，∴c=1，b==，

∴椭圆E的方程为+=1．

（2）由（1）得右焦点F（1，0），因此直线l的方程为y=x-1．

代入椭圆方程并整理得7x2-8x-8=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，

∴y1+y2=（x1-1）+（x2-1）=（x1+x2）-2=-．

∴=λ（+）=λ（x1+x2，y1+y2）=λ（，-），

∴P点坐标为（，-），

代入椭圆方程，可得+=1，

∴λ2=，解得λ=±．

（1）由已知得e==，

∵a-c=2-，

∴a=2，c=

∴椭圆的标准方程为+y2=1…（五分）

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）

由得（4k2+1）x2+8kx=b…（8分）

△=五4k2，

∵直线l：y=kx+1与椭圆交与M，N两点，

∴△＞b，x1+x2=，x1•x2=b

∴|MN|=|x1-x2|

=•

=，

∴k=±1，或k=±，（1b分）

∴直线方程为y=x+1，或y=-x+1，或y=x+1，或y=-x+1．（14分）

（1）设P（x0，y0）（y0≠0），则G（，）

设I（xI，yI），则∵IG∥F1F2，∴yI=

∵|F1F2|=2c，∴S△F1PF2=|F1F2||y0|=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）•

∴2c•3=2a+2c

∴e==

∵直线y=x+与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切

∴b=

∴b=

∴a=2

∴椭圆的方程为+=1；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则

直线方程代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，

由△＞0，可得m2＜4k2+3

∵x1+x2=-

∴y1+y2=

∴线段AB的中点R的坐标为（-，）

∵线段AB的垂直平分线l′的方程为y=-(x-)，R在直线l′上，

∴=-(--)

∴m=-(4k2+3)

∴[-(4k2+3)]2＜4k2+3

∴k2＞

∴k＞或k＜-．

（Ⅰ）依题意可设椭圆方程为+=1，

由x+y-=0得y=-x，代入+=1消去y并整理得，（(2a2-1)x2-2a2x+8a2-a4=0，

由△=28a4-4（2a2-1）（8a2-a4）=8a2（a4-5a2+4）=0，解得a2=1或a2=4，

因为a2＞1，所以a2=4，

所以椭圆方程为：+=1．

（Ⅱ）设过F1的直线：x=my-1，代入+=1消去x并整理得（3m2+4）y2-6my-9=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，

所以|y1-y2|==，

S△ABF2=×2c|y1-y2|=|y1-y2|==，

令t=，则t≥1，S△ABF2=，

又(3t+)′=3-＞0，所以3t+递增，(3t+)min=3×1+1=4，当t=1即m=0时取等号，

所以S△ABF2≤=3，

当m=0时，面积S最大为3，此时直线方程为x=-1．

（1）由题意得解得a2=2，b2=1

故椭圆方程为+y2=1

（2）设N（，m），P（X，Y）则MN的方程为y=(x+)

由得(4+m2)x2+2m2x+2m2-8=0

由韦达定理得x-=所以x=代入直线方程得

P（，）

∴=(，)，=(，m)

∴•=+=2

（3）AB的方程为x=my+1，设A（e，f），B（g，h）

由得（m2+2）y2+2my-1=0

所以f+h=-，fh=

kQA+kQB=+=+

=

==2

∵KQA+KQB=2与l的斜率无关

∴2t=2，即t=1．

（1）依题意得c=，2a=4，

解得a=2，c=，从而b=1．

故椭圆的方程为 +=1．

（2）在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos60°，

∴|PF1|2+|PF2|2-|PF1|•|PF2|=(2c)2=(2)2=12 ①

又|PF1|+|PF2|=2a=4，平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|•|PF2|=16，=2 ②，

②-①得3|PF1|•|PF2|=4，即 |PF1|•|PF2|=，

∴△F1PF2的面积 S=|PF1|•|PF2|sin60°=．

∴∠F1PF2=，△F1PF2的面积．

（1）依题意可得，解得a=2，b=1．

所以，椭圆C的方程是+y2=1；

（2）由

得（my+1）2+4y2=4，即（m2+4）y2+2my-3=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2）

则A′（x1，-y1）．

且y1+y2=-，y1y2=-．

经过点A′（x1，-y1），

B（x2，y2）的直线方程为=．

令y=0，则x=y1+x1==

又∵x1=my1+1，x2=my2+1．∴当y=0时，x====4

这说明，直线A′B与x轴交于定点（4，0）．