- 圆锥曲线与方程
- 共14739题
从集合{k|k∈z,1≤k≤11}中任选两个不同元素作为椭圆方程+
=1中的m和n,其中落在矩形B={(x,y)||x|<11,|y|<9}内的椭圆有______个.
正确答案
从集合{k|k∈z,1≤k≤11}中任选两个不同元素作为椭圆方程+
=1中的m和n,其中落在矩形B={(x,y)||x|<11,|y|<9}内的椭圆,当m>n时,有C102-1=44,当n>m时有C82=28;共有72个.
故答案为:72.
设椭圆M:+
=1(a>b>0)的离心率为
,长轴长为6
,设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭圆M于A,B两点.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(2)设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C,D,求|AB|+|CD|的最小值.
正确答案
(Ⅰ)⇒
所求椭圆M的方程为
+
=1…(3分)
(Ⅱ)当θ≠,设直线AB的斜率为k=tanθ,焦点F ( 3,0 ),则直线AB的方程为y=k ( x-3 )有
⇒( 1+2k2 )x2-12k2x+18( k2-1 )=0
设点A ( x1,y1 ),B ( x2,y2 )有x1+x2=,x1x2=
|AB|==
又因为k=tanθ=代入**式得|AB|=
=
=
当θ=时,直线AB的方程为x=3,此时|AB|=3
而当θ=时,|AB|=
=3
∴|AB|=
同理可得|CD|==
有|AB|+|CD|=+
=
因为sin2θ∈[0,1],所以 当且仅当sin2θ=1时,|AB|+|CD|有最小值是8
设F1,F2是椭圆E:+2y2=1(a>
)的左右焦点,过F1的直线l与E相交于A、B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列
(1)求|AB|;
(2)若直线l的斜率为1,求椭圆E的方程.
正确答案
(1)由|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,
得2|AB|=|AF2|+|BF2|,由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4a.
所以3|AB|=4a,|AB|=a;
(2)由题意设直线l的方程为y=x+c.
联立,得(2a2+1)x2+4a2cx+2a2c2-a2=0
则x1+x2=,x1x2=
.
所以|AB|=
=
==
.
解得:a2=2.
代入△满足△>0成立.
所以椭圆方程为+2y2=1.
已知椭圆+
=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A,B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.求椭圆方程.
正确答案
∵椭圆+
=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,
短轴两个端点为A,B,
且四边形F1AF2B是边长为2的正方形,
∴a=2,b=c,
∴2b2=4,
解得b2=2,
∴椭圆方程为+
=1.
已知椭圆的短轴长为2,焦点坐标分别是(-1,0)和(1,0),
(1)求这个椭圆的标准方程;
(2)如果直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点,求m的取值范围.
正确答案
(1)由题得椭圆的焦点在X轴上且2b=2,c=1
∴b=,a2=b2+c2=4.
∴椭圆的标准方程:+
=1.
(2)由消去Y整理得:7x2+8mx+4m2-12=0.
由直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点得△=(8m)2-4×7×(4m2-12)>0⇒m2<7⇒-<m<
.
所以m的取值范围是(-,
).
过点(3,-2)且与+
=1有相同焦点的椭圆是______.
正确答案
∵椭圆+
=1中,c2=9-4=5
∴椭圆+
=1的焦点为(±
,0)
设所求的椭圆方程为:+
=1(a>b>0),根据题意,
得,所以a2=15,b2=10
因此,所求的椭圆方程为+
=1
故答案为:+
=1
设椭圆C:+
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为
,左焦点F1到直线l:x-
y-3=0的距离等于长半轴长.
(I)求椭圆C的方程;
(II)过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点,线段MN的中垂线与x轴相交于点P(m,O),求实数m的取值范围.
正确答案
(I)由已知=
,可得F1(-
a,0),
由F1到直线l的距离为a,所以=a,
解得a=2,所以c=1,b2=a2-c2=3,得b=,
所以所求椭圆C的方程为+
=1;
(II)由(I)知F2(1,0),设直线l的方程为:y=k(x-1),
由消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
因为l过点F2,所以△>0恒成立,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2-2)=
,
所以MN中点(,
),
当k=0时,MN为长轴,中点为原点,则m=0,
当k≠0时MN中垂线方程为y+=-
(x-
),
令y=0,得m==
,
因为>0,所以
+4>4,可得0<m<
,
综上可知实数m的取值范围是[0,).
设椭圆C:+
=1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,上顶点为A,离心率为
,在x轴负半轴上有一点B,且
=2
.
(1)若过A、B、F2三点的圆恰好与直线x-y-3=0相切,求椭圆C的方程;
(2)在(1)的条件下,过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点,在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,说明理由.
正确答案
(1)由题意=
,得c=
a,所以|F1F2|=a
∵|AF1|=|AF2|=a,=2
,∴F1为BF2的中点,
∴|AF1|=|AF2|=|F1F2|=a
∴△ABF2的外接圆圆心为F1(-,0),半径r=|F1A|=a…(3分)
又过A、B、F2三点的圆与直线x-y-3=0相切,所以
=a
∴a=2,∴c=1,b2=a2-c2=3.
∴所求椭圆方程为+
=1…(6分)
(2)由(1)知F2(1,0),设l的方程为:y=k(x-1)
将直线方程与椭圆方程联立,整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2= , y1+y2=k(x1+x2-2)…(8分)
假设存在点P(m,0),使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形,
由于菱形对角线垂直,所以(+
)•
=0
又+
=(x1-m,y1)+(x2-m,y2)=(x1+x2-2m, y1+y2)
又MN的方向向量是(1,k),故k(y1+y2)+x1+x2-2m=0,则k2(x1+x2-2)+x1+x2-2m=0,
即k2(-2)+
-2m=0
由已知条件知k≠0且k∈R,
∴m==
…(11分)
∴0<m<,
故存在满足题意的点P且m的取值范围是(0,)…(13分)
已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆,其离心率e=,且经过抛物线x2=4y的焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过点B(2,0)的直线l与椭圆交于不同的亮点E、F(E在B、F之间)且=λ
,试求实数λ的取值范围.
正确答案
(1)设椭圆方程为+
=1(a>b>0)
∵椭圆的离心率e=,且经过抛物线x2=4y的焦点
∴=
,b=1
∴a2=2
∴椭圆的标准方程为+y2=1;
(2)由题意知l的斜率存在且不为零,
设l方程为x=my+2(m≠0)①,代入+y2=1,整理得(m2+2)y2+4my+2=0,由△>0得m2>2.
设E(x1,y1),F(x2,y2),则
∵=λ
,(x1-2,y1)=λ(x2-2,y2),
∴y1=λy2,
∵y1+y2=,y1y2=
∴=
=
∵m2>2,∴4<<8
∴4<<8
∵λ>0
∴3-2<λ<3+2
且λ≠1.
已知二次曲线Ck的方程:+
=1.
(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件;
(2)若双曲线Ck与直线y=x+1有公共点且实轴最长,求双曲线方程;
(3)m、n为正整数,且m<n,是否存在两条曲线Cm、Cn,其交点P与点F1(-,0),F2(
,0)满足PF1⊥PF2,若存在,求m、n的值;若不存在,说明理由.
正确答案
(1)当且仅当⇒k<4时,方程表示椭圆;----(2分)
当且仅当(9-k)(4-k)<0⇒4<k<9时,方程表示双曲线.---(4分)
(2)化简得:(13-2k)x2+2(9-k)x+(9-k)(k-3)=0----(6分)
△≥0⇒k≥6或k≤4所以6≤k<9-------(8分)
双曲线的实轴为2,当k=6时,双曲线实轴最长为2
此时双曲线方程为-
=1-------(10分)
(3)由(1)知C1,C2,C3是椭圆,C5,C6,C7,C8是双曲线,结合图象的几何性质
任意两椭圆之间无公共点,任意两双曲线之间无公共点------(12分)
设|PF1|=d1,|PF2|=d2,m∈{1,2,3},n∈{5,6,7,8}
由椭圆与双曲线定义及•
=0;
所以m+n=8-----(16分)
所以这样的Cm,Cn存在,且或
或
-----(18分)
椭圆C:+
=1(a>b>0),直线y=k(x-1)经过椭圆C的一个焦点与其相交于点M,N,且点A(1,
)在椭圆C上.
(I)求椭圆C的方程;
(II)若线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P,问:在x轴上是否存在一个定点Q,使得为定值?若存在,求出点Q的坐标和
的值;若不存在,说明理由.
正确答案
(I)由题意,椭圆的一个焦点为(1,0),
又∵点A(1,)在椭圆C上,
∴
∴a2=4,b2=3
∴椭圆C的方程为+
=1;
(II)存在,
直线y=k(x-1)与椭圆方程联立可得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=
,
∴y1+y2=
∴MN垂直平分线方程为y-=-
(x-
)
令y=0,可得x=
∴P(,0),
设Q(a,0),则|PQ|=|-a|
∵|MN|=•|x1-x2|=
,
∴=
=
∴a=7时,=
∴Q(7,0).
P为直线x-y+3=0上任一点,一椭圆的两焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),则椭圆过P点且长轴最短时的方程为 ______.
正确答案
要使椭圆长轴最短
则椭圆与直线l相切
设椭圆方程为+
=1
则
化简得(2a2-1)x2+6a2x+10a2-a⁴=0
∵相切
∴△=(6a2)2-4(2a2-1)(10a2-a⁴)=0
解得a2=1或a2=5
∵a2>0 a2-1>o
∴a2=5
∴椭圆的方程为+
=1
故答案为+
=1
已知椭圆E:+
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点M是椭圆上的任意一点,且|PF1|+|PF2|=4,椭圆的离心率e=
.
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)过椭圆E的左焦点F1作直线l交椭圆于P、Q两点,点A为椭圆右顶点,能否存在这样的直线,使•
=3,若存在,求出直线方程,若不存在,说明理由.
正确答案
(I)由题意可得,解得
.
故椭圆的方程为+
=1.
(II)若直线l⊥x轴,则P(-1,),Q(-1,-
),
又A(2,0),∴=(-3,
),
=(-3,-
),
∴•
=9-
=
≠3,此时不满足条件,直线l不存在.
当直线l的斜率存在时,设直线ld的方程为:y=k(x+1),P(x1,y1),Q(x2,y2).
联立,消去y得到(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,
∴x1+x2=,x1x2=
.
∵=(x1-2,y1),
=(x2-2,y2).
∴•
=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(x1-2)(x2-2)+k(x1+1)•k(x2+1)=3.
∴(1+k2)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+k2+1=0,
∴-
+k2+1=0,
解得k=±.
∴满足条件的直线l存在,其方程为y=±(x+1).
已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点S(0,-)的动直线L交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
正确答案
(1)由消去y得:x2+(2b-4)x+b2=0
因直线y=x+b与抛物线y2=4x相切,
∴△=(2b-4)2-4b2=0∴b=1,
∵圆C:+
=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角
形,∴a=b=
故所求椭圆方程为+y2=1.
(2)当L与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:x2+(y+)2=(
)2
当L与x轴垂直时,以AB为直径的圆的方程:x2+y2=1
由解得
即两圆相切于点(0,1)
因此,所求的点T如果存在,只能是(0,1)
事实上,点T(0,1)就是所求的点,证明如下.
当直线L垂直于x轴时,以AB为直径的圆过点T(0,1)
若直线L不垂直于x轴,可设直线L:y=kx-
由消去y得:(18k2+9)x2-12kx-16=0
记点A(x1,y1)、B(x2,y2),则
又因为=(x1,y1-1),
=(x2,y2-1)
所以•
=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1-
)(kx2-
)
=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+
=(1+k2)•-
k•
+
=0
所以TA⊥TB,即以AB为直径的圆恒过点T(0,1)
所以在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件.
已知椭圆C:+
=1(a>b>0)的离心率为
,其左、右焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)是坐标平面内一点,且|OP|=
,
•
=
(O为坐标原点).
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点S(0,-)且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点,在y轴上是否存在定点M,使以AB为直径的圆恒过这个点?若存在,求出M的坐标,若不存在,说明理由.
正确答案
(1)设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),
则由|OP|=得
+
=
;
由•
=
得(-c-x0,-y0)•(c-x0,-y0)=
,
即+
-c2=
.
所以c=1
又因为=
,所以a2=2,b2=1.
因此所求椭圆的方程为:+y2=1.
(2)动直线l的方程为:y=kx-,
由得(2k2+1)x2-
kx-
=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2).
则x1+x2=,x1x2=-
.
假设在y轴上存在定点M(0,m),满足题设,则=(x1,y1-m),
=(x2,y2-m).
•
=x1x2+(y1-m)(y2-m)=x1x2+y1y2-m(y1+y2)+m2
=x1x2+(kx1-)(kx2-
)-m(kx1-
+kx2-
)+m2
=(k2+1)x1x2-k(+m)(x1+x2)+m2+
m+
=--k(
+m)
+m2+
m+
=
由假设得对于任意的k∈R••
=0恒成立,
即解得m=1.
因此,在y轴上存在定点M,使得以AB为直径的圆恒过这个点,
点M的坐标为(0,1)
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