热门试卷

（1）由题意，可设椭圆的标准方程为+=1（a＞b＞0）

∵y2=4x的焦点为F（1，0）

∴c=1，又2b=2，

∴b=1，a2=b2+c2=2，

所以，椭圆的标准方程为+y2=1

其离心率为e=

（2）证明：∵椭圆的右准线1的方程为：x=2，

∴点E的坐标为（2，0）设EF的中点为M，则M（，0）

若AB垂直于x轴，则A（1，y1），B（1，-y1），C（2，-y1）

∴AC的中点为N（，0）

∴线段EF的中点与AC的中点重合，

∴线段EF被直线AC平分，

若AB不垂直于x轴，则可设直线AB的方程为

y=k（x-1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2）

则C（2，-y2）

把y=k（x-1）代入+y2=1

得（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0

则有x1+x2=，x1x2=

∴kAM==

=，kCM==2k(x2-1)，

∵kAM-kCM=2k2(x1-3)=0

=2k=0

∴kAM=kCM

∴A、M、C三点共线，即AC过EF的中点M，

∴线段EF被直线AC平分．

由于点P满足|PM|+|PN|=36-10=26＞10，知点P的轨迹是以M、N为焦点，且2a=26的椭圆（由于P与M、N不共线，故y≠0），

∴a=13，

又c=5，∴b2=a2-c2=132-52=144．

故△MNP的顶点P的轨迹方程为+=1（y≠0）．

故答案为+=1（y≠0）．

（1）∵PF1⊥x轴，∴F1（-1，0），c=1，F2（1，0），

∴|PF2|==，∴2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2，∴b2=3，

∴椭圆E的方程为：+=1；…（3分）

（2）证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），

由 +=λ得（x1+1，y1-）+（x2+1，y2-）=λ（1，-），

所以x1+x2=λ-2，y1+y2=（2-λ）…①…（5分）

又3+4=12，3+4=12，

两式相减得3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0…．．②

以①式代入可得AB的斜率k====e；…（8分）

（3）设直线AB的方程为y=x+t，与3x2+4y2=12联立消去y并整理得 x2+tx+t2-3=0，△=3（4-t2），

|AB|=|x1-x2|=×=×，

点P到直线AB的距离为d=，

△PAB的面积为S=|AB|×d=×|t-2|，…（10分）

设f（t）=S2=-（t4-4t3+16t-16）（-2＜t＜2），

f′（t）=-3（t3-3t2+4）=-3（t+1）（t-2）2，由f′（t）=0及-2＜t＜2得t=-1．

当t∈（-2，-1）时，f′（t）＞0，当t∈（-1，2）时，f′（t）＜0，f（t）=-1时取得最大值，

所以S的最大值为．

此时x1+x2=-t=1=λ-2，λ=3．…（12分）

（1）由题意得，得a=2．  …（2分）

结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．…（4分）

所以，椭圆的方程为+=1．        …（6分）

（2）由，得（3+12k2）x2-12×3=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=0，x1x2=-，…（10分）

依题意，OM⊥ON，

易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，…（12分）

因为=（x1-3，y1），=（x2-3，y2），

所以•=（x1-3）（x2-3）+y1y2=（1+k2）x1x2+9=0，

即+9=0，

解得k=±．…（15分）

（Ⅰ）∵2a=2•2b，∴a=2b．

设椭圆方程为+=1．

椭圆E过点C（2，1），

代入椭圆方程得+=1，解得b=，则a=2，

所以所求椭圆E的方程为+=1；

（Ⅱ）依题意得D（-2，-1）在椭圆E上．

CP和DP的斜率KCP和KDP均存在．

设P（x，y），则kCP=，kDP=，

kCP•kDP=•=①

又∵点P在椭圆E上，

∴+=1，∴x2=8-4y2，代入①得，

kCP•kDP===-．

所以CP和DP的斜率KCP和KDP之积为定值-

（Ⅲ）CD的斜率为，∵CD平行于直线l，∴设直线l的方程为y=x+t．

由，

消去y，整理得x2+2tx+（2t2-4）=0．

设M（x1，y1），N（x2，y2）．

由，得|MN|=|x1-x2|=•

=•=•(-2＜t＜2)．

d==．

所以，S=|MN|•d=•=|t|•=≤=2

当且仅当t2=4-t2时取等号，即t2=2时取等号

所以△MNC面积的最大值为2．

此时直线l的方程y=x±