热门试卷

（1）设椭圆方程为+=1，由题意得a=2，e==

∴c=∴b2=a2-c2=2所以所求椭圆的标准方程为+=1

（2）将直线l：y=x+b代入椭圆+=1中有3x2+4bx+2b2-4=0

由△=（4b）2-4×3（2b2-4）=-8b2+48＞0得-＜b＜

由韦达定理得x1+x2=-b，x1•x2=∴|AB|=

又点O到直线l的距离d=∴S△ABC=d|AB|==

∴当b2=3（满足-＜b＜）时，S△ABC有最大值．此时b=±

∴所求的直线方程为y=x±

（Ⅰ）由已知2a=6，=，

解得a=3，c=，

所以b2=a2-c2=3，

所以椭圆C的方程为+=1．

（Ⅱ）由得，（1+3k2）x2-12kx+3=0，

直线与椭圆有两个不同的交点，所以△=144k2-12（1+3k2）＞0，

解得k2＞．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=，x1x2=，

计算y1+y2=k(x1+x2)-4=k•-4=-，

所以，A，B中点坐标为E(，-)，

因为|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，kPE•kAB=-1，

所以•k=-1，

解得k=±1，

经检验，符合题意，

所以直线l的方程为x-y-2=0或x+y+2=0．

（1）由已知得，

解得a=，c=1

∴b==1∴所求椭圆的方程为+y2=1

（ 2）由（1）得F1（-1，0）、F2（1，0）

①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1，

由得y=±

设M(-1，)、N(-1，-)，

∴|+|=|(-2，)+(-2，-)|=|(-4，0)|=4，这与已知相矛盾．

②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），

设M（x1，y1）、N（x2，y2），

联立，消元得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0

∴x1+x2=，x1x2=，

∴y1+y2=k(x1+x2+2)=．

又∵=(x1-1，y1)，=(x2-1，y2)

∴+=(x1+x2-2，y1+y2)

∴|+|===

化简得40k4-23k2-17=0

解得k2=1或k2=-（舍去）

∴k=±1

∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1

（I）依题意有：

解得：

所以椭圆方程为：+=1．

（II）设点P（x，y）．由（I）得F（4，0），

所以圆F的方程为：（x-4）2+y2=9．

把B（0，3）点当作圆B：x2+（y-3）2=0，

点P所在的直线是圆B和圆O的根轴，

所以（x-4）2+y2-[x2+（y-3）2]=9，即4x-3y-1=0．

（Ⅰ）因为|F1F2|=4，|MF1|+|MF2|=2|F1F2|=8＞4，

所以曲线C是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆．

曲线C的方程为+=1．（4分）

（Ⅱ）显然直线MN不垂直于x轴，也不与x轴重合或平行．（5分）

设M（xM，yM），P（xP，yP），直线MN方程为y=k（x+4），其中k≠0．

由得（3+4k2）y2-24ky=0．

解得y=0或y=．

依题意yM=，xM=yM-4=．（7分）

因为S△MNF2：S△PNF2=3：2，

所以=，则=．

于是

所以（9分）

因为点P在椭圆上，所以3()2+4()2=48．

整理得48k4+8k2-21=0，

解得k2=或k2=-（舍去），

从而k=±．（（11分））

所以直线MN的方程为y=±(x+4)．（12分）

（1）直线方程为=，整理，得y=(x-2)；                              

（2）设椭圆方程为+=1(a＞b＞0)，（5分）

依题意有：，解之得

所求椭圆方程为：+=1…（8分）

（3）由消去y得，x2-3x=0，

所以，x=0或x=3，代回直线方程可得y=-2，或y=

因此知Q(0，-2)，P(3，)，（10分）

由=λ•知，点M在直线PQ上，

当||最小时，OM⊥PQ，此时OM的方程为y=-x（12分）

由解得M(，-)，（14分）

代入=λ•得λ=

所以，当||最小时，λ=．

（1）由于点（x，y） 满足+=6，即点（x，y） 到两个定点（-，0）、（，0）的距离之和等于常数6，

由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且 a=3，c=，故b=2，故椭圆的标准方程为  +=1．

（2）由于 |MT|2=f(x)=(x-t)2+y2=(x-t)2+4(1-)，0≤x≤3，

记f(x)=(x-t)2+4(1-)=(x-t)2-t2+4，0≤x≤3．

①当0≤t＜3，即0＜t＜时，=f(t)=-t2+4，又=1，

∴-t2+4=1，解得t=，而t=∉(0，)，故舍去．

②当t≥3，即≤t＜3时，=f(3)=t2-6t+9，又=1，

∴t2-6t+9=1，解得t=2或t=4，而4∉[，3)，2∈[，3)，故t=4不符合题意，t=2符合题意．

综上可知，t=2．

（1）由题意可得：设M（x，y），

所以直线AM与直线BM的斜率分别为，，

因为直线AM与直线BM的斜率之积为-2，

所以•=-2，化简得：x2+=1(y≠0)．

所以动点M的轨迹E的方程为x2+=1(y≠0)．

（2）根据题意可得直线l的斜率存在，所以设l：y-1=k（x-1），C（x1，y1），D（x2，y2），

联立方程组得：⇒2x2+(kx+1-k)2=2

所以整理可得：（2+k2）x2+2k（1-k）x+（1-k）2-2=0

所以根据根与系数的关系可得：

因为•=0，所以x1x2+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+k（1-k）（x1+x2）+（1-k）2=0，

所以(1+k2)•+k(k-1)•+(1-k)2=0，

所以k2-6k+1=0解得k=3±2．

所以直线l的方程y-1=(3±2)(x-1)．

（I）设椭圆C的方程为 +=1(a＞b＞0)，则由题意知b=1．…（2分）

∴=．∴a2=5．…（4分）

∴椭圆C的方程为  +y2=1．…（5分）

（II）由（I）知，B（0，1），F（1，0）

假设存在直线l，使得F可以为△BMN的重心，

设A（x0，y0）为MN的中点，

则=(1，-1)．=(x 0-1，y 0)，

于是 由=2得：

从而x0=，y0=-

∴+=+＞1

这表明点A在椭圆外，这与A为弦的中点矛盾，

∴不存在直线l，使得F为△BMN的重心．

（Ⅰ）依题意知F2（1，0），设M（x1，y1）．由抛物线定义得1+x1=，即x1=．

将x1=代入抛物线方程得y1=（2分），进而由+=1及a2-b2=1解得a2=4，b2=3．故C1的方程为+=1（4分）

（Ⅱ）依题意，=，故直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x=ky+1代入+=1，整理得（3k2+4）y2+6ky-9=0（7分）

设A（x1，y1），B（x2，y2）

由AF2=2F2B得y1=-2y2（8分）故（10分）

消去y2整理得=解得k=±．故所求直线方程为5x±2y-5=0（12分）

（1）由，解得：，故椭圆C的方程为+=1．（4分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：y=kx+m，

由，得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，（1分）

则△=8（8k2-m2+4）＞0，即8k2-m2+4＞0，

由韦达定理得：，（1分）

则y1•y2=（kx1+m）•（kx2+m）

=k2x1x2+km（x1+x2）+m2

=．

由⊥得：

x1x2+y1y2=0，（1分）

即+=0，化简得：3m2-8k2-8=0，（1分）

因为圆心到直线的距离d=，（1分）

d2===，

而r2=，∴d2=r2，即d=r．（1分）

此时直线AB与圆O相切

当直线AB的斜率不存在时，由⊥可以计算得A，B的坐标为(，±)或(-，±)．

此时直线AB的方程为x=±．

满足圆心到直线的距离等于半径，即直线AB与圆O相切．（1分）

综上，直线AB与圆O相切．（1分）

（Ⅰ）由题意可知直线l的方程为bx+cy-(3-)c=0，

因为直线与圆c2：x2+（y-3）2=1相切，所以d==1，即a2=2c2，

从而e=；（6分）

（Ⅱ）设P（x，y）、圆C2的圆心记为C2，则+=1（c＞0），又•=(+•(+)=

PC2

2-

C2N

2=x2+（3-y）2-1=-（y+3）2+2c2+17（-c≤y≤c）．（8分）

j当c≥3时，(•)MAX=17+2c2=49，解得c=4，此时椭圆方程为+=1；

k当0＜c＜3时，(•)MAX=-(-c+3)2+17+2c2=49，

解得c=5-3但c=5-3＞3，故舍去．

综上所述，椭圆的方程为+=1．（14分）

（Ⅰ）设所求曲线C上的任一点坐标为（x，y），圆x2+y2=8上的对应点的坐标为（x'，y'），由题意可得，…（3分）

∵x'2+y'2=8，x2+2y2=8，即∴曲线C的方程为+=1．              …（5分）

（Ⅱ）∵M（0，2），显然直线l与x轴不垂直，设直线l：y=kx+m，与椭圆C：+=1相交于A（x1，y1），B（x2，y2），

由得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，…（7分）

∴x1+x2=，  x1x2=，…（8分）

∴（x1，y1-2）•（x2，y2-2）=0，…（10分）

即：x1x2+（y1-2）（y2-2）=0⇒x1x2+y1y2-2（y1+y2）+4=0，∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）-2（kx1+m+kx2+m）+4=0，

整理得：（k2+1）x1x2+k（m-2）（x1+x2）+（m-2）2=0，…（12分）

即(k2+1)+k(m-2)+(m-2)2=0，

∵m≠2，2（k2+1）（m+2）-4k2m+（2k2+1）（m-2）=0，

展开得：3m+2=0，∴m=-，∴直线l的纵截距为定值-．                    …（14分）

（1）圆（x-3）2+（y-1）2=3，圆心M（3，1），半径r=

∵A（0，1），F2（c，0），∴直线AF2：+y=1，即x+cy-c=0…（2分）

∵直线AF2与圆M相切，∴=，解得c=

∴a2=c2+1=3

∴椭圆C的方程为：+y2=1…（5分）

（2）椭圆C的下顶点为B（0，-1）

设P为弦MN中点，由得（3k2+1）x2+6kmx+3（m2-1）=0

∵直线与椭圆有两个交点，∴△＞0即m2＜3k2+1…①…（7分）

xP==-，yP=kxP+m=

∴kBP==-

∵|BM|=|BN|，∴BP⊥MN，∴-=-，即：2m=3k2+1…②…（10分）

由②得k2=…③

③代入①得2m＞m2∴0＜m＜2又k2＞0，∴m＞

故m的取值范围为＜m＜2…（12分）