热门试卷

（Ⅰ）由抛物线C2：y2=4x 知 F2（1，0），设M（x1，y1），（x1＞0，y1＞0），M在C2上，且|MF2|=，所以x1+1=，得x1=，代入y2=4x，得y1=，

所以M（，）．                                                     

M在C1上，由已知椭圆C1的半焦距 c=1，于是

消去b2并整理得 9a4-37a2+4=0，解得a=2（a=不合题意，舍去）．

故椭圆C1的方程为 +=1．                                      

（Ⅱ）由y=（x-m）得x-y-m=0，所以点O到直线l的距离为

d=，又|AB|=，

所以S△OAB=|AB|d=，

-＜m＜且m≠0．                                      

下面视提出问题的质量而定：

如问题一：当△OAB面积为时，求直线l的方程．（y=（x±1））      

问题二：当△OAB面积取最大值时，求直线l的方程．（y=（x±））

（Ⅰ）由（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R），得x-y-3+k（x-3）=0，

则由，解得定点F（3，0）；

设椭圆C的方程为+=1(a＞b＞0)，则，解得；

所以椭圆C的方程为+=1．

（Ⅱ）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以1=+＜m2+n2，从而圆心O到直线l：mx+ny=1的距离d=＜1=r，所以直线l与圆O恒相交；

又直线l被圆O截得的弦长为L=2=2=2，

由于0≤m2≤25，所以16≤m2+16≤25，则L∈[，]，

即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是L∈[，]．

（1）∵椭圆E的焦距为1，∴a2-(1-a2)=()2，解得a2=．

故椭圆E的方程为+=1．

（2）设P（x0，y0），F1（-c，0），F2（c，0），其中c=．

由题设可知：x0≠c．则直线F1P的斜率kF1P=，直线F2P的斜率kF2P=．

故直线F2P的方程为y=(x-c)．

令x=0，解得y=．即点Q(0，)．

因此直线F1Q的斜率kF1Q=．

∵F1Q⊥F1P，∴kF1Q•kF1P=•=-1．

化为=-(2a2-1)．

联立，及x0＞0，y0＞0，

解得x0=a2，y0=1-a2．

即点P在定直线x+y=1上．

（1）∵双曲线-x2=1的顶点坐标为（0，±），

∴所求椭圆的焦点为（0，±），可得c=…2分

又∵椭圆的离心率e==，可得a=c=2，b2=a2-c2=2…3分

∴所求椭圆方程为+=1；…4分

（2）∵双曲线的准线方程为x=，∴=，结合a+c=5解得a=2，c=3

∴b2=c2-a2=5…（2分）

∴所求双曲线方程为-=1…（4分）

（3）根据题意，设抛物线的方程为x2=2py或x2=-2py（p＞0）

∵抛物线的焦点坐标为（0，±2），

∴p=2，可得p=4…（2分）

∴所求抛物线方程为x2=8y或x2=-8y…（4分）

（1）椭圆+=1中c==3，∴焦点为（0，±3），

设双曲线方程为-=1

∵双曲线过（，4），则-=1，得a2=4或36，

而a2＜9，

∴a2=4，

∴双曲线方程为-=1．

（2）设椭圆方程为Ax2+By2=1（A＞0，B＞），则，∴A=，B=，

∴所求椭圆方程为+=1．

（1）由=2，•=0，知NP为AM的中垂线，

∴|| =||，∴|| +|| =|| +|| =2＞4=||，

∴N的轨迹是椭圆，c=2，a=，即N的轨迹方程是+=1．

（2）由题意，l的方程是y=(x-m)，

设C（x1，y1），D（x2，y2），

由，消去y，整理得：2x2-2mx+m2-6=0，

由△＞0⇒4m2-4×2（m2-6）＞0⇒-2＜m＜2，

∴x1+x2=m，x1x2=，

又点Q（1，0）在以线段CD为直径的圆内，得•＜0，

∴（x1-1，y1）•（x2-1，y2）＜0，

x1x2-(x1+x2)+1+(-

3

3

)2(x1-m)(x2-m)＜0，

∴x1x2-(1+m) (x1+x2)  +m2+1＜0，

∴2m2-3m-9＜0，

即-＜m＜3．

综上所述，m的取值范围(-，3)．

（1）根据F（1，0），即c=1，

据=得a=，

故b=，

所以所求的椭圆方程是+=1．

（2）当直线l的斜率为0时，检验知≠2．

设A（x1，y1）B（x2，y2），

根据=2得（1-x1，-y1）=2（x2-1，y2）得y1=-2y2．

设直线l：x=my+1，代入椭圆方程得（2m2+3）y2+4my-4=0，

故y1+y2=-，y1•y2=-，

得y1= - ，y2= ，

代入y1•y2=-得

( -)()= -，即 =1，

解得m=±，

故直线l的方程是x=±y+1．

（Ⅰ）由题意，可得 2a+2c=6+4，即a+c=3+2，…（1分）

又椭圆的离心率为，即=，…（2分）

所以a=3，c=2，

所以b2=a2-c2=1，…（3分）

所以椭圆M的方程为+y2=1．…（4分）

（Ⅱ）由消去x得（k2+9）y2+2kmy+m2-9=0．…（5分）

设A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=-，y1y2=．①…（6分）

因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点C（3，0），所以 •=0．…（7分）

由 =(x1-3，y1)，=(x2-3，y2)，得 （x1-3）（x2-3）+y1y2=0．…（8分）

将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，

得 (k2+1)y1y2+k(m-3)(y1+y2)+(m-3)2=0，…（10分）

将 ①代入上式得(k2+1)×+k(m-3)×(-)+(m-3)2=0

解得 m=，或m=3．…（12分）

（I）由题意可知F（-c，0）

∵e=，∴b=c，即B（0，c)，∴kBF==

又∵BC⊥BF，∴kBC=-，

∴C（3c，0），∴圆M的圆心坐标为（c，0），半径为2c由直线x+y+3=0与圆M相切可得=2c，

∴c=1，∴椭圆的方程为+=1．

（II）由题意可设直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0），设P（x1，y1），Q（x2，y2）

∵直线NP与直线NQ关于x轴对称，

∴kNP=-kNQ，即=-

∴=-，∴x0=

∵，∴3x2+4k2（x+1）2=12

∴（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，

∴x1+x2=-，x1x2=，

∴x0==-4

由于椭圆的焦点在x轴上，长轴长为12，

则2a=12，a=6，

又由椭圆的离心率为，

则==，

故a=6，c=2，

∴b2=a2-c2=32，

故所求椭圆的方程为+=1．

（I）设椭圆方程为+=1(a＞b＞0)，

由题意得c=2，e==，所以a=3，

b2=a2-c2=1，

所以椭圆的方程为x2+=1；

（II）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），

由得（k2+9）x2+2kmx+m2-9=0，

则△=4k2m2-4（k2+9）（m2-9）＞0，即k2-m2+9＞0①，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，

因为线段AB中点的横坐标为-，所以2×（-）=-，

化简得k2+9=2km，所以m=②，

把②代入①整理得k4+6k2-27＞0，解得k＜-或k＞，

所以直线l倾斜角的取值范围为k＜-或k＞．

（1）设P（x0，y0），∵|OP|=，∴x02+y02=①

又•=，∴(-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)=，即x02-c2+y02=②

①代入②得：c=．又e=，∴a=2，b=1．

故所求椭圆方程为+y2=1；

（2）直线l的方程为y=k(x+)，

联立，得（25+100k2）x2+240k2x+144k2-100=0．

x1+x2=-，x1x2=．

设AB的中点M（x0，y0），

则x0=-，y0=k(-)=．

所以kMQ==．

若三角形QAB为等腰三角形，则MQ⊥AB，

即•k=-1，此式无解，

所以使得△QAB为等腰三角形的直线l不存在．

（Ⅰ）由题意 x2-2=0，解得  x=±，

所以c=，又=，所以a2=3，b2=1

∴椭圆方程为+y2=1．

（Ⅱ）设C（x1，y1）﹑D（x2，y2），将y=kx+2代入+y2=1

整理得（1+3k2）x2+12kx+9=0

所以有△=（12k）2-36（1+3k2）＞0  ①

，

所以 丨CD丨===

整理得

7k4-12k2-27=0即（7k2+9）（k2-3）=0

解得  k2=-（舍去）或k2=3，即k=±

经验证，k=±使①成立，故为所求．

（1）设椭圆C的方程：+=1(a＞b＞0)，则c2=a2-b2，由条件知-c==，=，所以a=1，b=c=，

故椭圆C的方程为y2+2x2=1．（4分）

（2）由=λ，得-=λ(-)，

∴+λ=(1+λ)．

∵+λ=4，

∴λ+1=4，λ=3．

设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2），

得（k2+2）x2+2kmx+（m2-1）=0，

因此△=（2km）2-4（k2+2）（m2-1）

=4（k2-2m2+2）＞0，①

则x1+x2=，x1x2=．

∵=3，∴-x1=3x2，得

得3（x1+x2）2+4x1x2=0，

∴3()2+4=0，

整理得：4k2m2+2m2-k2-2=0．

当m2=时，上式不成立．

∴m2≠，k2=．

由①式得k2＞2m2-2，

∵λ=3，∴k≠0，k2=＞0，

所以-1＜m＜-或＜m＜1．

即所求m的取值范围为(-1，-)∪(，1)（14分）