热门试卷

（Ⅰ）依题意得，解得，a2=4，b2=3…（3分）

∴椭圆C的方程是+=1…（5分）

（Ⅱ）：若直线l⊥x轴，则直线l的方程为x=1，易知E(1，)，F(1，-)∴△OEF的面积S=×1×3=≠，所以直线l的率存在且不为0，可设l：y=k（x-1），

由得，（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，设E（x1，y1），F（x2，y2）∴，

∴|x1-x2|==…（8分）∴|y1-y2|=|k(x1-x2)|=

∵△OEF的面积为，|OF2|=1，∴×|OF2|×|y1-y2|=，

解得k=±1，所以直线l的方程为：x±y-1=0…（10分）．

（I）设椭圆的焦距为2c（c＞0），F（c，0），直线l：x-y=0，F到l的距离为=，解得c=2．又∵e==，∴a=2，∴b=2．

∴椭圆C的方程为+=1．（6分）

（Ⅱ）由解得x=y=，或x=y=-，

不妨设M(，)， N(-，-)，P（x，y），

∴kPM•kPN=•=，

由+=1，即x2=8-2y2，代入化简得k1•k2=kPM•kPN=-为定值．（12分）

设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0）

由题意得   b=c

a-c=-

∵a2=b2+c2

∴a= b=c=

∴椭圆的方程为 +=1

（I）设椭圆C的方程为+=1 (a＞b＞0)．

由题意，得，解得，所以b2=2．（3分）

所求的椭圆方程为+=1．（4分）

（II）由（I）知F1（-1，0）．

假设在x轴上存在一点M（t，0），使得•恒为常数．

①当直线l与x轴不垂直时，设其方程为y=k（x+1），P（x1，y1）、Q（x2，y2）．

由得（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0．（6分）

所以x1+x2=-，x1x2=．（7分）

•=（x1-t）（x2-t）+y1y2

=（x1-t）（x2-t）+k2（x1+1）（x2+1）

=（k2+1）x1x2+（k2-t）（x1+x2）+k2+t2

=-+k2+t2=+t2

=+t2=t2+2t--．

因为•是与k无关的常数，从而有4t+=0，即t=-．（10分）

此时•=-．（11分）

②当直线l与x轴垂直时，此时点P、Q的坐标分别为(-1，)、(-1，-)，

当t=-时，亦有•=-．（13分）

综上，在x轴上存在定点M(-，0)，使得•恒为常数，且这个常数为-．（14分）

（1）根据题设，可设椭圆标准方程为：+=1(a＞b＞0)

则离心率e==，c2=a2-b2(c＞0)，由椭圆定义，得2a=4

解得a=2，b=1，c=

所以椭圆标准方程为：+y2=1

（2）证明：由题意得A（-2，0），设P（x1，y1），B（x2，y2），R（0，y3），其中x1＞0，y1＞0，

点P和点B都在椭圆上，则有+=1①

+=1②

由AB∥OP，有kOP==kAB=，

即=③

由x1＞0，y1＞0可知x2≠-2．

AB直线方程为：y-0=kAB[x-（-2）]，即y=(x+2)．

把R（0，y3）代入，得y3=

所以有=(x2+2，y2)，=(x2，y2)，=(2，)，

可得：•=2(x2+2)+④

2||2=2(+)⑤

由①，②，③得：=x2+2⑥

由①，⑤得：2||2=2(+)=2+⑦

由②，④得：•=2(x2+2)+=5+x2⑧

由⑦，⑥得：2||2=2(+)=2+=5+x2⑨

由⑧，⑨可证得：•=2

OP

2．

（1）设椭圆G的方程为：+=1（a＞b＞0），半焦距为c，

则，解得，∴b2=a2-c2=36-27=9

所求椭圆G的方程为：+=1；

（2 ）点A的坐标为（-1，2），所以 S△AF1F2=×F1F2×2=×6×2=6；

（3）由题意，圆C：x2+y2+2x-4y-20=0可化为：（x+1）2+（y-2）2=25，圆心坐标为（-1，2），半径为5，

所以经过点（-3，4）且与圆C相切的直线方程为x=-3，y=4；    

（4）把点（6，0）代入圆C方程可知道，（6，0）在圆C外，

若k＜0，由（-6）2+02-12k-0-21=5-12k＞0，可知点（-6，0）在圆Ck外，

∴不论k为何值，圆Ck都不能包围椭圆G．

（1）由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a，…（1分）

即2a=+=4，…（3分）

∴a=2．又c=1，∴b2=a2-c2=3．…（5分）

故椭圆方程为+=1．…（6分）

（2）设M（x0，y0），则圆M的半径r=，…（7分）

圆心M到y轴距离d=|x0|，…（8分）

若圆M与y轴有两个交点则有r＞d即＞|x0|，…（9分）

化简得-2x0+1＞0．…（10分）

∵M为椭圆上的点

∴=3-，…（11分）

代入以上不等式得3+8x0-16＜0，

解得-4＜x0＜．…（12分）

∵-2≤x0≤2，…（13分）

∴-2≤x0＜．…（14分）

（1）坐标原点到椭圆E的准线距离为d==≥2，当且仅当c=1时，坐标原点到椭圆E的准线距离最短

∵c=1，b=1，∴a2=b2+c2，∴a2=2

∴椭圆E的方程为+y2=1

（2）由MA⊥MB，可知直线MA与坐标轴不垂直，

故可设直线MA的方程为y=kx+1，直线MB的方程为y=-x+1

将y=kx+1代入椭圆E的方程，整理得  （1+a2k2）x2+2a2kx=0

解得x=0或x=，故点A的坐标为(，)

同理，点B的坐标为(，)

∴S=×==2a4×

=2a4×=≤==，

解得a=3

（3）由（2）知直线l的斜率为=

直线l的方程为y=(x-)+，即y=x-

∴直线l过定点(0，-)

（1）设双曲线的焦点为（±c，0）（c＞0），则椭圆C的方程为+=1，其中c2=a2+b2

将a=，  b=1代入，可得椭圆C的方程为+y2=1；

（2）根据题意，设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|x1|：|x2|=2：1，可知．

联立椭圆和直线的方程，得，消元得(k2+)x2+kx-=0，可知x1+x2=，x1x2=，即x1与x2异号，所以x1=-2x2．

代入上式，得-x2=，  -2=，消元，得k=±．

所以直线方程为l：y=±x+

（3）联立椭圆和直线的方程，得方程组，其中c2=b2+1

消去y，可得（+）x2+x+-1=0

∴△=()2-4(+)(-1)≥0，

解得b2≥12，所以c2≥13，当且仅当b=2，  c=时长轴长最短，是2．

双曲线-y2=1的焦点F1(-，0)，F2(，0)

（1）设圆锥曲线为椭圆：+=1（a＞b＞0）

则⇒

椭圆方程为：+=1

（2）设圆锥曲线为双曲线-=1（p＞0，q＞0）

则⇒

双曲线方程为：x2-=1

（Ⅰ）∵椭圆E的长轴长为4，∴a=2，离心率为．

∴=，c=，∴b=1

∵椭圆E的焦点在x轴上，

∴椭圆E的标准方程为+y2=1；

（Ⅱ）由条件可得直线AB的方程为y=-x+1．于是，有⇒5x2-8x=0⇒xB=，yB=-xB+1=-．

设弦AB的中点为M，则由中点坐标公式得xM=，yM=，由此及点M在直线l得=+m⇒m=-．

（I）由题设知F1(-，0)，F2(，0)

由于•=0，则有⊥，

所以点A的坐标为(，±)，

故AF1所在直线方程为y=±(+)，…（3分）

所以坐标原点O到直线AF1的距离为(a＞)，

又|OF1|=，所以=，

解得a=2(a＞)，

所求椭圆的方程为+=1．…（5分）

（II）由题意知直线l的斜率存在，

设直线l的方程为y=k（x+1），则有M（0，k），

设Q（x1，y1），由于=2，

∴（x1，y1-k）=2（-1-x1，-y1），

解得x1=-，y1=…（8分）

又Q在椭圆C上，得+=1，

解得k=±4，…（10分）

故直线l的方程为y=4（x+1）或y=-4（x+1），

即4x-y+4=0或4x+y+4=0．  …（12分）

（Ⅰ）∵e=，

∴e2===，

∴2a2=3b2∵直线l：x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切，

∴=b，b=，b2=2，

∴a2=3．

∴椭圆C1的方程是+=1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1（-1，0），F2（1，0），所以l1：x=-1，设M（x，y），

∵|MP|=|MF2|，

∴|x-(-1)|=化简得：y2=4x，

∴点M的轨迹C2的方程为y2=4x．

（Ⅲ）∵直线l的方程为x-2y-1=0，代入y2=4x，得y2-8y-4=0．

由韦达定理得y1+y2=8，y1y2=-4，设A(，y1)，B(，y2)，

设直线l1：x=-1上存在点M（-1，m），使得AM⊥BM，则•=0，

∴(-1-，m-y1)•(-1-，m-y2)=0，

∴16m2-16m（y1+y2）+4（y12+y22）+y12y22+16y1y2+16=0，

∴m2-8m+16=0，解得m=4，

∴准线上存在点M（-1，4），使AM⊥BM．

（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），则a2=b2+c2

∵c=1，=

∴a=，b=1

∴椭圆的方程为+y2=1；

（2）由题意，PQ与MN垂直于F，设PQ的方程为y=k（x+1），与椭圆方程联立，可得

（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0

设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=

∴|PQ|=|x1-x2|=

同理，|MN|=

∴SPMQN=|PQ||MN|=2-=2-≥

当且仅当k=±1时，取等号

∴四边形PMQN的面积的最小值为．