热门试卷

（1）设P（x，y），

由题可令A(x1，x1)，B(x2，-x2)，

∵=+，

∴即

又∵||=，

∴(x1-x2)2+(x1+x2)2=20，即有y2+x2=20．

∴轨迹C的方程为+=1

（2）设N（s，t），M（x，y），

则由=λ可得，（x，y-16）=λ（s，t-16），故x=λs，y=16+λ（t-16），

∵N、M在曲线C上，

∴

消去s得，+=1．

∵λ≠0且λ≠1，

∴t=

又∵|t|≤4，

∴||≤4，解得≤λ≤（λ≠1）

故实数λ的取值范围为≤λ≤（λ≠1）．

（Ⅰ）设椭圆C的方程为+=1，(a＞b＞0)，由题意可得e==，

又a2=b2+c2，所以b2=a2

因为椭圆C经过（1，），代入椭圆方程有+=1

解得a=2

所以c=1，b2=4-1=3故椭圆C的方程为+=1．

（Ⅱ）当直线l⊥x轴时，计算得到：A(-1，-)，B(-1，)，

S△AOB=•|AB|•|OF1|=×1×3=，不符合题意．

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），k≠0

由，消去y，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0

显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=-，x1•x2=

又|AB|==

=•=•

=

即|AB|=•=

又圆O的半径r==

所以S△AOB=•|AB|•r=••==

化简，得17k4+k2-18=0，即（k2-1）（17k2+18）=0，

解得k12=1，k22=-（舍）

所以，r==，故圆O的方程为：x2+y2=．

（1）证明：设椭圆+=1  (a＞b＞0)的半焦距为c．

因为椭圆的离心率是，所以 ==1-=，即a=2b．      

（2）设点P（x，y）．

则||2=x2+(y-)2=a2(1-)+y2-3y+=4b2-3y2-3y+=-3(y+)2+4b2+3，其中-b≤y≤b．

①若b＜2，则当y=-b3时，||4取得最大值．

由题设，()2=(b+)2，b=-＞，这与b＜矛盾．             

②若b≥，则当y=-时，||取得最大值．

由题设，()2=4b2+3，解得b=1，从而a=2．

故椭圆方程为+y2=1．

（Ⅰ）因为以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，所以b=c，可得a=c，

又因为△PF1F2的周长为4+2，所以a+c=2+，所以c=，

所以a=2，b=，所以所求椭圆C的方程为+=1．   　　　　　   …（5分）

（Ⅱ）证明：直线的l方程为x0x+y0y=，且x02+y02=，记Q（x1，y1），R（x2，y2），

联立方程，消去y得（+2）x2-x0x+-4=0，

∴x1+x2=，x1x2=，…（8分）

∴y1y2=(-x0x1)(-x0x2)=，…（10分）

∴x1x2+y1y2=+=0

∴∠QOR=90°为定值．                                            …（13分）

（1）由2c=2，得c=1，又e==0.5，所以a=2．

则b2=a2-c2=4-1=3．

所以椭圆的方程为+=1；

（2）过A（1，2），倾斜角为450的直线l的斜率为1，方程为y-2=1×（x-1），

即y=x+1．

联立，得7x2+8x-8=0．

设M（x1，x2），N（x2，y2）．

x1+x2=-，x1x2=-，

所以|MN|=|x1-x2|===．

（I）设椭圆的方程为+=1(a＞b＞0)

∵离心率e=，∴a2=3c2，∴b2=2c2

∵直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切

∴b==

∴c2=1

∴a2=3

∴椭圆的方程为+=1；

（Ⅱ）证明：由椭圆方程得A1（-，0），A2（，0），

设M点坐标（x0，y0），则+=1

∴y02=(3-x02)

∴kMA1•kMA2=×===-

∴kMA1•kMA2是定值-是定值．

（I）设M点坐标为（x，y）

∵定点A（-2，0）、B（2，0），直线MA与直线MB的斜率之积为-，

∴×=-

∴+y2=1(x≠±2)

∴曲线C的方程为+y2=1(x≠±2)；

（II ）当动直线l的斜率存在时，设动直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0）

由，可得（1+4k2）x2+8k2x+4k2-4=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴

∵=(x1-s，y1)，=(x2-s，y2)

∴•=

若存在定点S（s，0），使得•为定值，则=4

∴s=-，此时定值为

当动直线l的斜率不存在时，P（-1，），Q（-1，-），可知s=-时，•=

综上知，存在定点S（-，0），使得•为定值．

（1）直线l过点(3，-)且与向量（-2，）平行

则l方程为：=

化简为：y=-（x-1）

（2）设直线y=-（x-1）与椭圆+=1

交于A（x1，y1），B（x2，y2）

由=-2，求得y1=-2y2

将x=-y+1代入b2x2+a2y2=a2b2中

整理得(b2+a2)y2-b2y+b2(1-a2)=0

由韦达定理可知：

由①2/②知32b2=（4b2+5a2）（a2-1）

又a2-b2=1，故可求得，

因此所求椭圆方程为：+=1．

（1）设c=，

依题意得（2分）解得．（3分）∴椭圆的方程为+y2=1．．（4分）

（2）①当AB⊥x轴时，|AB|=．（5分）

②当AB与x轴不垂直时，

设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

由已知=，得m2=(k2+1)，．．（6分）

把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，

∴x1+x2=，x1x2=（7分）

∴|AB|2=（1+k2）（x2-x1）2=(1+k2)[-]===3+=3+(k≠0)≤3+=4．

当且仅当9k2=，即k=±时等号成立，此时|AB|=2．（10分）

③当k=0时，|AB|=（11分）

综上所述：|AB|max=2，

此时△AOB面积取最大值S=|AB|max×=（12分）

（Ⅰ）由已知，e2==，

所以3a2=4b2，①（1分）

又点M(1，)在椭圆C上，

所以+=1，②

由①②解之，得a2=4，b2=3．

故椭圆C的方程为+=1．

（Ⅱ）当直线l有斜率时，设y=kx+m时，

则由

消去y得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，

△=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）=48（3+4k2-m2）＞0，③

设A、B、P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），

则：x0=x1+x2=-，y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=，

由于点P在椭圆C上，所以+=1．

从而+=1，化简得4m2=3+4k2，经检验满足③式．

又点O到直线l的距离为：d===≥=．

当且仅当k=0时等号成立，

当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，

从而P点为（-2，0），（2，0），直线l为x=±1，所以点O到直线l的距离为1，

所以点O到直线l的距离最小值为．

（Ⅰ）依题意得，解得，

所以所求的椭圆方程为+=1；

（Ⅱ）假设存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆后的右焦点F且与直线x-2y-2=0相切，

因为以AM为直径的圆C过点F，所以∠AFM=90°，即AF⊥AM，

又kAF==-1，所以直线MF的方程为y=x-2，

由消去y，得3x2-8x=0，解得x=0或x=，

所以M（0，-2）或M（，），

（1）当M为（0，-2）时，以AM为直径的圆C为：x2+y2=4，

则圆心C到直线x-2y-2=0的距离为d==≠，

所以圆C与直线x-2y-2=0不相切；

（2）当M为（，）时，以AM为直径的圆心C为（，），半径为r=|AM|==，

所以圆心C到直线x-2y-2=0的距离为d===r，

所以圆心C与直线x-2y-2=0相切，此时kAF==-，所以直线l的方程为y=-x+2，即x+2y-4=0，

综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为x+2y-4=0．

由椭圆的焦点在x轴，可设椭圆的方程为+=1(a＞b＞0)

依题意得解得

∴所求椭圆的方程+=1

由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cos∠A（2分）

即49=AB2+9+3AB

得AB=-8（舍去）或AB=5（4分）

以BC为x轴，BC垂直平分线为y轴建立直角坐标系（6分）

由椭圆定义知2a=AB+AC=8，2c=BC=7（8分）

知a2=16，b2=a2-c2=（10分）

故椭圆方程为+=1（12分）

（1）依题意，b=1，因为离心率等于，

所以==1-=，解得a2=4，

所以椭圆方程为：+y2=1；

（2）F1（-，0），直线QF1：y=(x+)，代入+y2=1中，

得xQ=-，yQ=-，又|F1F2|=2，

所以S△QF1F2=|F1F2||yQ|=；

（3）假设这样的三角形存在，设AB的方程为y=kx+1（k＞0），则BC的方程为y=-x+1，

由，得（4k2+1）x2+8kx=0，解得xA=-①，

由，得（k2+4）x2-8kx=0，解得xC=-②，

因为|AB|=|BC|，得：xA2+(yA-1)2=xC2+(yC-1)2，

将yA=kxA+1，yC=-xC+1代入得：

xA2(1+k2)=xC2(1+)，k2xA2=xC2，

将①②代入得：k2（4+k2）2=（4k2+1）2，即[k（4+k2）+1+4k2][k（4+k2）-（1+4k2）]=0，

因为k＞0，k（4+k2）+1+4k2＞0，得（k-1）（k2-3k+1）=0，

解得k=1，k=，k=，

所以存在这样的等腰直角三角形．