热门试卷

（Ⅰ）直线x-y+b=0与抛物线y2=4x联立，消去y得：x2+（2b-4）x+b2=0

∵直线x-y+b=0与抛物线y2=4x相切，

∴△=（2b-4）2-4b2=0，∴b=1，

∵椭圆+=1 (a＞b＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，

∴a=b=

∴所求椭圆方程为+y2=1；

（Ⅱ）将直线l：y=x-与椭圆方程联立，消去y可得3x2-2x-=0

设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=-

∴|AB|=•|x1-x2|=•=

（1）由椭圆的定义可知，点E的轨迹是以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点，以2为长轴的椭圆

∵c=1，a=

∴b=1

∴C的方程为+y2=1

（2）由题意可得，直线MN的方程为y=k（x-1）

联立方程可得，（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0

设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点E（x0，y0）

则x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2-2）=

且△=16k4-8（1+2k2）（k2-1）＞0

即1+k2＞0

∵PM=PN且P在y轴上，设p （0，b）

∴x12+(y1-b)2=x22+(y2-b)2

整理可得，（x1-x2）（x1+x2）=（y2-y1）（y2+y1-2b）

∴x1+x2=k（y1+y2-2b）

代人可得，=k(-2b)

∴b=-

∴2bk2+3k+b=0

∴△=9-8b2＞0

∴-＜b＜且b≠0

（1）∵圆x2+y2+x-3y-6=0与x轴交点坐标为A(-2，0)，F2(，0)，

∴a=2，c=，∴b=3，

∴椭圆方程是：+=1．…（4分）

（2）证明：设点P（x，y），因为F1（-，0），F2（，0），

所以kPF1=tanβ=，kPF2=tanα=，

因为β-α=，所以tan（β-α）=-．

因为tan（β-α）==，所以=-，

化简得x2+y2-2y=3，所以点P在定圆x2+y2-2y=3上．…（10分）

（3）证明：设B（m，n），Q（x′，y′），则C（-m，-n）

∴kQB•kQC=•=

∵+=1，+=1

∴两式相减可得+=0

∴=-

∴kQB•kQC=-…（12分）

（1）设曲线上任一点M（x，y），则由题意得：=

化简得：曲线方程为+=1…（6分）

（2）当直线l与x轴垂直时，此时A(2，)，B(2，-)，|F′A|•|F′B|=•=…．（10分）

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-2）

点A，B的坐标是方程组的解，从而有：（3k2+1）x2-12k2x+12k2-6=0

由韦达定理：x1+x2=，x1x2=，

又椭圆的离心率e=，由椭圆的左焦半径公式得|F′A|•|F′B|=(+x1)(+x2)=x1x2+2(x1+x2)+6=×+2×+6=-＜，综上，|F'A|•|F'B|的最大值是．…（16分）

（1）根据椭圆定义，

2a=+=4，

所以a=2

又c=1所以b2=a2-c2=3因为焦点在x轴上，

所以椭圆方程为：+=1

（2）由已知得直线l的方程为：y=x+1，

因为M、N是直线与椭圆的交点，

故设M（x1，y1），N（x2，y2），

由，

得7x2+8x-8=0，

所以x1+x2=-，x1x2=-

所以|x1-x2|===，

所以|MN|=|x1-x2|=．

（1）∵离心率为，椭圆上任意一点到右焦点f的距离的最大值为+1．

∴e==且a+c=1+，解之得a=，c=1，从而得到b==1

∴椭圆方程为：+y2=1                 …（4分）

（II）由（I）得F（1，0），所以0＜m＜1，

假设存在满足题意的直线l，设其方程为y=k（x-1），与椭圆方程消去y，

得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，

代入直线方程可得y1+y2=     …（8分）

设AB的中点为M，则M坐标为（，），

∵|AC|=|BC|，∴CM⊥AB可得kCM•kAB=-1

∴-2m+•k=0，整理得k2（1-2m）=m

当0＜m＜时，k=±，即存在满足条件的直线l；

当≤m＜1时，k不存在，即不存在满足条件的直线l              …（12分）

（1）设椭圆C的方程为+=1(a＞b＞0)，由已知a=2，=

所以，a=2，c=，b=1，椭圆C的方程为+y2=1

（2）设P（x1，y1），由已知PF1⊥PF2，所以•=0，

即(--x1，-y1)•(-x1，-y1)=0，x12+y12=3，

又因为 +=1

解得y1=±，所以，△PF1F2的面积S=×2c•|y1|=1．

（Ⅰ）由题设可知，圆O的方程为x2+y2=b2，

因为直线l：x-y+2=0与圆O相切，故有=b，

所以b=，已知e==，

所以有a2=3c2=3（a2-b2），

解得a2=3，

所以椭圆C的方程为+=1．

（Ⅱ）设点A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则y0=kx0，

设AB交x轴于点D，由对称性知：

S△OAB=2S△OAD=2×x0y0=kx02，

由，解得x02=，

所以S△OAB=k•=≤=，

当且仅当=3k，即k=时取等号，

所以△OAB面积的最大值为．

（1）设P（x，y），则=(x+c，y)，=(x-c，y)，

∴•=x2+y2-c2=x2+1-c2，x∈[-a，a]，

由题意得，1-c2=0⇒c=1⇒a2=2，

∴椭圆C的方程为+y2=1．                                 

（2）由（1）得F（1，0），设l的方程为y=k（x-1），

代入+y2=1，得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∴y1+y2=k(x1+x2-2)=，

设AB的中点为M，则M(，-)，

∵|AD|=|BD|，∴DM⊥AB，即kDM•kAB=-1，∴-2m+k=0⇔(1-2m)k2=m

∵直线l与坐标轴不垂直，∴k2=．

∴＞0⇔0＜m＜．

解（1）∵c1：y2=4mx的右焦点F2（m，0）∴椭圆的半焦距c=m，

又e=，∴椭圆的长半轴的长a=2m，短半轴的长b=m．

椭圆方程为+=1当m=1时，故椭圆方程为+=1，右准线方程为：x=4

（2）由，解得：P(m，m)

（3）假设存在满足条件的实数m，由（Ⅱ）知P(m，m)

∴|PF2|=m+m=m，|PF1|=4m-|PF2|=m，又|F1F2|=2m=m．

即△PF1F2的边长分别是m、m、m．

∵-=-=1∴m=3，

故存在实数m使△PF1F2的边长是连续的自然数．

（I）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），

根据题意b=4，=，∵a2=b2+c2

∴a=5，c=3

∴椭圆的方程是+=1

（II）|OP|=2，直线OP的方程是y=x，

设与直线OP平行的直线方程为y=x+m，

∵S△OPQ=4，∴d==2⇒m=±4

∴Q点在直线 y=x±4上，

当m=4时，⇒41x2+200x＜0⇒-＜x＜0，

∵x∈Z，∴x=-4，-3，-2，-1分别对应有四个整数点；

当m=-4时，由对称性，同理满足条件的点Q也有四个，

综上，存在满足条件的整数点有8个．

（1）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），则

∵椭圆离心率为，左焦点是F1（-2，0）．

∴，∴a=4，∴b==2

∴椭圆的方程为+=1；

（2）当PF2⊥x轴时，P的横坐标为2，其纵坐标为±3，∴=；

当PF1⊥PF2 时，设PF2=m，则PF1=2a-m=8-m，4＞m＞0，由勾股定理可得4c2=m2+（8-m）2，即m2-8m+24=0，方程无解

综上，=．

（1）因为抛物线的焦点为（2，0），所以c=2，

又椭圆的左端点为（-，0），所以a=，

则b2=a2-c2=()2-22=2，

故所求椭圆方程为：+=1；

（2）因为椭圆的右焦点F（2，0），所以l2的方程为：y=（x-2），

代入椭圆C的方程+=1，化简得，5x2-18x+15=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由韦达定理知，x1+x2=，x1x2=3，

从而|x1-x2|===，

由弦长公式，得|AB|=|x1-x2|=×=，

弦AB的长度为．

（I）①∵c1：y2=4mx的右焦点F2（m，0）∴椭圆的半焦距c=m，

又e=，∴椭圆的长半轴的长a=2m，短半轴的长b=m．

椭圆方程为+=1，

∴当m=1时，故椭圆方程为+=1．

②由题意得，若x=3，则y=±2，线段AB不可能被点P（3，2）平分，

∴直线l的斜率k一定存在，不妨设直线l的方程为：y-2=k（x-3），A（x1，y1），B（x2，y2）

由得ky2-4y-12k+8=0，

∴y1+y2==4，∴k=1，

∴直线l的方程为：y-2=x-3，即y=x-1．

（II）假设存在满足条件的实数m，

由，解得：Q(m，m)，

∴|QF2|=m+m=m，|QF1|=4m-|QF2|=m，又|F1F2|=2m=m．

即△QF1F2的边长分别是m、m、m．

∵-=-=1∴m=3，

故存在实数m使△PF1F2的边长是连续的自然数．