热门试卷

把9x2+4y2=36转化为标准方程，

得+=1，

∵c==，

∴其焦点坐标为F1(0，-)，F2(0，)，

∵所求椭圆的焦点坐标为F1(0，-)，F2(0，)，

∴设所求椭圆方程为+=1，

把（2，-3）代入，得+=1，

解得a2=15，或a2=3（舍）

∴所求的椭圆方程为+=1．

（1）因为椭圆过点（-，），所以+=1，…（1分）

又离心率e==，…（3分）

解得a=2，b=1，所以椭圆方程：+y2=1…（4分）

（2）由题义得OE⊥OF，…（5分）

L：y=k（x-1），

代入+y2=1得：（1+4k2）x2-8k2x+4（k2-1）=0 　①…（6分）

设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1x2+y1y2=0，

即x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]=0 　　②

由①得x1x2=，x1+x2=，

代入②得：=0，即k2-4=0，解得k=±2，所以l：y=2x-2或y=-2x+2…（8分）

（3）设BC的中点D（x0，y0），B（xB，yB）、C（xC，yC ），

则xB+xC=2x0=2，所以  x0=1，yB+yC=2y0…（9分）

又+=1，+=1，

两式相减得+-=0，即kBC=-…（10分）

即kl=-=4y0，l：y=4y0+m

当x=1时，y0=4y0+m，即 y0=-，

D（1，-）在椭圆内+(-

m

3

)2＜1   …（12分）

得-＜m＜…（14分）

（Ⅰ）设C1：+=1（a＞b＞0），其半焦距为c（c＞0）．则C2：y2=4cx．

由条件知(2b)2=2a(-c)，得a=2c．C1的右准线方程为x=，即x=4c．C2的准线方程为x=-c．

由条件知5c=15，所以c=3，故a=6，b=3．

从而C1：+=1，C2：y2=12x．

（Ⅱ）由题设知l：y=x-c，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4）．

由（Ⅰ）知C1：+=1，即3x2+4y2=12c2．

由，知x3，x4满足7x2-8cx-8c2=0，

从而|PQ|==|x3-x4|=c．

由条件|PQ|=，得c=，故C2：y2=6x．

由得x2-9x+=0，所以x1+x2=9．

于是|MN|=|MF|+|FN|=x1+x2+2c=12．

（1）由题意可设椭圆的标准方程为+=1（a＞b＞0）．

∵两个顶点在直线x+2y-4=0上，∴分别令x=0，可得b=y=2；令y=0，可得a=x=4．

∴椭圆的标准方程为+=1；

（2）由（1）可得：c==2．

∴F1(-2，0)．

设线段PF1的中点M（x，y），则P（2x+2，2y）．

∵点P是椭圆上的一个动点，∴+=1．

化为+y2=1．

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，消去y得到5x2-8mx+4m2-16=0．

∵直线l：y=x+m与椭圆交于点A，B两点，∴△＞0，即m2＜20．（*）

∴x1+x2=，x1x2=．

∴|AB|===．

又点O到直线l的距离d=．

∴S△OAB=d•|AB|=，

∴=≤()2=80，当且仅当m2=10时取等号，满足（*）．

∴S△OAB≤4．

∴△ABO面积S的最大值为4．

此时直线l的方程为y=x±．

（I）由已知得：，解得，

故椭圆方程为：+y2=1；

（Ⅱ）由（I）知M（0，1），设MA：y=k1x+1，

由得：(1+2k12)x2+4k1x=0，

则xA=xA+0=-，所以yA=k1xA+1=，

所以A（-，），同理可得B（-，），

所以=(-，1+)=（，），=(，)，

所以•-•===0，

故∥，所以A、B、N三点共线，即直线AB过定点N（-，-1）．

（1）由e=，b2=2，解得c=b=，a=2，故椭圆的标准方程为+=1．

（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），则由=+2，得（x0，y0）=（x1，y1）+2（x2，y2），

即x0=x1+2x2，y0=y1+2y2，

∵点M，N在椭圆+=1上，

∴x12+2y12=4，x22+2y22=4

设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，kOM•kON==-，

∴x1x2+2y1y2=0，

故x02+2=(x12+4x22+4x1x2)+2(y12+4y22+4y1y2)

=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4(x1x2+2y1y2)=20，

即x02+2=20（定值）　　　　　　　　　　　

（3）证明：由（2）知点P是椭圆+=1上的点，

∵c==，

∴该椭圆的左右焦点A(-，0)、B(，0)满足|PA|+|PB|=4为定值，

因此存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值．

设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）．

∴（a+b）x2-2bx+b-1=0．

由x+y=1，ax2+by2=1，

∴=，=1-=．

∴M（，）．

∵kOM=，∴b=a．①

∵OA⊥OB，∴•=-1．

∴x1x2+y1y2=0．

∵x1x2=，y1y2=（1-x1）（1-x2），

∴y1y2=1-（x1+x2）+x1x2

=1-+=．

∴+=0．

∴a+b=2．②

由①②得a=2（-1），b=2（-1）．

∴所求方程为2（-1）x2+2（-1）y2=1．

解（I）由题得，

解得：a=2，b=，

∴所求椭圆方程为+=1．

（II）由方程+=1知-2≤x≤2，y2=2-．

而|AP|=，

∴|AP|2=(x-m)2+2-=(x-2m)2-m2+2．

令f(x)=(x-2m)2-m2+2，-2≤x≤2由题意得：f(x)min=1，又m＞0，

则①当0＜2m≤2，即0＜m≤1时，f(x)min=f(2m)=2-m2=1，解得m=1（m=-1舍去）；

②当2m＞2，即m＞1时，f(x)min=f(2)=(2-m)2=1，解得m=3（m=1舍去）；

综上，m=1或m=3．

（Ⅰ）设C1：+=1（a＞b＞0），其半焦距为c（c＞0）．则C2：y2=4cx．

由条件知(2b)2=2a(-c)，得a=2c．C1的右准线方程为x=，即x=4c．C2的准线方程为x=-c．

由条件知5c=15，所以c=3，故a=6，b=3．

从而C1：+=1，C2：y2=12x．

（Ⅱ）由题设知l：y=x-c，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4）．

由（Ⅰ）知C1：+=1，即3x2+4y2=12c2．

由，知x3，x4满足7x2-8cx-8c2=0，

从而|PQ|==|x3-x4|=c．

由条件|PQ|=，得c=，故C2：y2=6x．

由得x2-9x+=0，所以x1+x2=9．

于是|MN|=|MF|+|FN|=x1+x2+2c=12．

（Ⅰ）设椭圆方程+=1∴c=1∴a2=b2+1∵点(，)在椭圆上，

∴+=1…3分∴4b4-5b2-6=0∴b2=2，a2=3∴+=1…6分

（Ⅱ）当k不存在时，MN的垂直平分线为x轴，不过点(0，)，不合题意．…（7分）

设直线y=k(x-1)∴∴（2+3k2）x2-6k2x+3k2-6=0…（8分）∴x1+x2=，y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=-∴MN的中点为(，-)…10分∴=-∴3k2-5k+2=0∴k=或k=1∴y=(x-1)或y=x-1…13分

设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0）．

∵c=1，

∴a2-b2=1①，

∵点（1，）在椭圆E上，

∴+=1②，

由①、②得：a2=4，b2=3，

∴椭圆E的方程为：+=1．

（I）由右焦点到直线+=1的距离d=，可得=，化为3（a2+b2）=7（bc-ab）2，又e==，联立得，解得，

∴椭圆C的方程为+=1．

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），

（1）直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，联立

消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，

∴x1+x2=-，x1x2=．

∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，

∴-+m2=0，整理得7m2=12（k2+1），并且满足△＞0．

所以O到直线AB的距离d===为定值．

（2）直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为：+=1，化为x-2y-2=0，点O到直线AB的距离为=为定值．

综上（1）（2）可知：点O到直线AB的距离为定值．

（1）∵焦距为4，∴c=2…（1分）

又∵x2+=1的离心率为…（2分）

∴e===，∴a=2，b=2…（4分）

∴标准方程为+=1…（6分）

（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由得（1+2k2）x2+4kx-6=0…（7分）

∴x1+x2=，x1x2=

由（1）知右焦点F坐标为（2，0），∵右焦点F在圆内部，∴•＜0…（8分）

∴（x1-2）（x2-2）+y1y2＜0即x1x2-2（x1+x2）+4+k2 x1x2+k（x1+x2）+1＜0…（9分）

∴(1+k2)•+(k-2)•+5=＜0…（11分）

∴k＜…（12分）

经检验得k＜时，直线l与椭圆相交，∴直线l的斜率k的范围为（-∞，）…（13分）

（I）设椭圆方程为：+=1(a＞b＞0)．

由2b=2得b=1．

又 =，∴解得 a=，c=1．

∴椭圆方程为：+y2=1．

离心率 e==．

（II）∵点F（1，0），E（2，0），∴EF中点N的坐标为 (，0)．

①当AB⊥x轴时，A（1，y1），B（1，-y1），C（2，-y1），

那么此时AC的中点为 (，0)，即AC经过线段EF的中点N．

2当AB不垂直x轴时，则直线AB斜率存在，

设直线AB的方程为y=k（x-1），

由（*）式得 x1+x2=，x1x2=．

又∵x12=2-2y12＜2，得 x1-≠0，

故直线AN，CN的斜率分别为 k1==，k2==2k(x2-1)，

∴k1-k2=2k•．

又∵（x1-1）-（x2-1）（2x1-3）=3（x1+x2）-2x1x2-4，

=[12k2-4(k2-1)-4(1+2k2)]=0．

∴k1-k2=0，即k1=k2．

且AN，CN有公共点N，∴A，C，N三点共线．

∴直线AC经过线段EF的中点N．

综上所述，直线AC经过线段EF的中点．