热门试卷

（1）由已知得椭圆C的左顶点为A（-4，0），上顶点为D（0，2），

∴a=4，b=2，

故椭圆C的方程为+=1

（2）直线AP的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AP的方程为y=k（x+4），从而M（5，9k），设P（x0，y0），则kAP•kBP=•==-，∴直线BP的方程为：y=-(x-4)，

得N(5，-)

∴|MN|=|9k+|=9k+≥2=3

当且仅当9k=即k=时等号成立

∴k=时，线段MN的长度取最小值3．

（3）由（2）知，当线段MN的长度取最小值时，k=，此时直线BP的方程为3x+2y-12=0，P(，)，|BP|=

设与BP平行的直线l'：3x+2y+t=0

联立得10x2+6tx+t2-16=0

由△=36t2-40（t2-16）=0得t=±4

当t=-4时，BP与l'的距离为，此时S△BPQ=(-3)

当t=4时，BP与l'的距离为，此时S△BPQ=(+3)

∴当0＜s＜(-3)时，这样的Q点有4个

当S=(-3)时，这样的Q点有3个

当(-3)＜s＜(+3)时，这样的Q点有2个

当S=(+3)时，这样的Q点有1个

当S＞(+3)时，这样的Q点不存在．

设椭圆的短轴为2b（b＞0），长轴为a=6b，

所以椭圆的标准方程为 +=1或 +=1

把M（3，0）代入椭圆方程分别得：=1或 =1，解得b=1或b=3

所以椭圆的标准方程为 +y2=1或 +=1．

∵曲线C的离心率e=∈（0，1），

∴曲线C为椭圆，设其方程为：+=1，

∵曲线C经过点M（3，0），

∴a=3，

∴c=2，

∴b=1，

∴曲线C的标准方程为：+y2=1；

当曲线C的离心率e=时，曲线C为双曲线，设其方程为：-=1，

同理可求得a=3，c=3，b=3．

∴曲线C的标准方程为：-=1．

∴曲线C的离心率e分别取、时曲线C的标准方程分别为：+y2=1或-=1．

（1）因为c=，a=，所以b=1

所以椭圆的方程为+y2=1，

准圆的方程为x2+y2=4．

（2）①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，

因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x=或x=-，

当l1方程为x=时，此时l1与准圆交于点(，1)(，-1)，

此时经过点(，1)（或，-1)且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=-1），

即l2为y=1（或y=-1），显然直线l1，l2垂直；

同理可证l1方程为x=-时，直线l1，l2垂直．

②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4，

设经过点P（x0，y0），与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x-x0）+y0，

则，消去y得到x2+3（tx+（y0-tx0））2-3=0，

即（1+3t2）x2+6t（y0-tx0）x+3（y0-tx0）2-3=0，△=[6t（y0-tx0）]2-4•（1+3t2）[3（y0-tx0）2-3]=0，

经过化简得到：（3-x02）t2+2x0y0t+1-y02=0，因为x02+y02=4，所以有（3-x02）t2+2x0y0t+（x02-3）=0，

设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，

所以t1，t2满足上述方程（3-x02）t2+2x0y0t+（x02-3）=0，

所以t1•t2=-1，即l1，l2垂直．

设椭圆焦距为2c，则c==1…（1分）

∴F2（1，0），代入y=x+k  得k=-1

将y=x-1代入椭圆方程整理得：（2a2-1）x2-2a2x+2a2-a4=0…（4分）

∵A、B点在直线l上，设A（x1，x1-1），B（x2，x2-1）

∵AF1⊥BF1  又F1（-1，0）

∴•=-1，即x1x2=-1…（8分）  

由韦达定理，=-1

解得a2=2+或a2=2-(∵a＞1舍)…（10分）

∴a2-1=2+-1=1+

∴+=1为所求方程．…（14分）

（Ⅰ）依题意，c=，a2-b2=2，

∵点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，

∴b=|OM|=1，

∴a=．…（3分）

∴椭圆的方程为+y2=1．…（4分）

（II）①当直线l的斜率不存在时，由解得x=1，y=±．

设A(1，)，B(1，-)，则k1+k2=+=2为定值．…（5分）

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x-1）．

将y=k（x-1）代入+y2=1整理化简，得（3k2+1）x2-6k2x+3k2-3=0．…（6分）

依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=，x1x2=．…（7分）

又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），

所以k1+k2=+=

==

===2．．…．…（13分）

综上得k1+k2为常数2..…．…（14分）

（1）∵双曲线-=1的顶点为（±，0），焦点为（±2，0），

设以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程为+=1，a＞b＞0，

则a2=6+2=8，c2=6，

∴椭圆E的方程为+=1．…（3分）

（2）依题意得D点的坐标为（-2，-1），

且D点在椭圆E上，直线CP和DP的斜率KCP和KDP均存在，设P（x，y），

则kCP=，kDP=，

∴kCP•kDP=•=，…（5分）

∵点Q在椭圆E上，∴x2=8-4y2，kCP•kDP==-．

∴直线CP和DP的斜率之积为定值-．…（7分）

（3）∵直线CD的斜率为，CD平行于直线l，

设直线l的方程为y=x+t，

由，消去y，整理得x2+2tx+2t2-4=0，

△=4t2-4（2t2-4）＞0，解得t2＜4，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则x1+x2=-2tx1•x2=2t2-4．…（10分）

∴|MN|=

=•|x1-x2|

=

=•，-2＜t＜2．…（11分）

点C到直线MN的距离为d==，…（12分）

∴S△CMN=|MN|•d

=•••

=|t|•

=≤==2．

当且仅当t2=4-t2，即t2=2时，取等号．…（13分）

∴△CMN面积的最大值为2，此时直线l的方程为y=x±．…（14分）

（1）由题意得：=（t，0），=（x0，y0），═（x0-t，y0），

则：•=t(x0-t)=1，解得：x0=f(t)=t+

所以f（t）在t∈[3，+∞）上单调递增．

（2）由S=||•|y0|=|y0|•t=t得y0=±，

点G的坐标为（t+，±），|

OG

|2=(t+

1

t

)2+

当t=3时，||取得最小值，此时点F，G的坐标为（3，0）、（，±）

由题意设椭圆的方程为+=1，又点G在椭圆上，

解得b2=9或b2=-（舍）故所求的椭圆方程为+=1

（3）设C，D的坐标分别为（x，y）、（m，n）

则=（x，y-），=（m，n-）由=λ得（x，y-）=λ=（m，n-），

∴x=λm，y=λn-λ+

又点C，D在椭圆上消去m得n=   

|n|≤3，∴||≤3解得≤λ≤5

又∵λ≠1

∴实数λ的范围是[，1）∪（1，5]

（1）双曲线方程化为-y2=1，（1分）

由此得a=，b=1，（3分）

所以渐近线方程为y=±x，即y=±x．（5分）

（2）双曲线中，c===4，焦点为（-4，0），（4，0）．（7分）

椭圆中，2a=+=10，（9分）

则a=5，b2=a2-c2=52-42=9．（11分）

所以，所求椭圆的标准方程为+=1．（13分）

（1）因为2c=2，且=，所以c=1，a=2．

所以b2=3．

所以椭圆C的方程为+=1．

（2）设点M的坐标为（x0，y0），

则+=1．

因为F1（-1，0），=4，

所以直线l的方程为x=4．

由于圆M与l有公共点，

所以M到l的距离4-x0小于或等于圆的半径R．

因为R2=MF12=（x0+1）2+y02，

所以（4-x0）2≤（x0+1）2+y02，

即y02+10x0-15≥0．

又因为=3(1-)，

所以3-+10x0-15≥0．

解得≤x0≤12．又+=1，∴≤x0＜2

当x0=时，|y0|=，

所以(S△MF1F2)max=×2×=．

（1）∵椭圆与双曲线-y2=1有公共焦点，且双曲线的焦点为（±，0），

∴设椭圆的方程为+=1(a＞b＞0)，满足a2-b2=5…①

又∵椭圆离心率为，∴=…②

联解①②，得，故所求椭圆的方程为+=1

（2）∵双曲线的一条渐近线方程为2x+3y=0，

∴设其标准方程为4x2-9y2=λ，

化成标准方程为-=1（λ＞0）或-=1（λ＜0）

∵双曲线焦点到渐近线的距离为2，可得b=2

∴当λ＞0时，=4可得λ=36，双曲线标准方程为-=1；

当λ＜0时，-=4可得λ=-16，双曲线标准方程为-=1

综上所述，双曲线的标准方程为-=1或-=1

（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为+=1，其焦点为（0，±c）（2分）

由已知得 b2=1，=，（6分）

又a2=b2+c2（8分）∴a2=2，c=1

∴椭圆C的标准方程为+x2=1（9分）

（Ⅱ）直线l的方程为 y-1=2（x-0），即y=2x+1

设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），

AB中点坐标为M（x0，y0）

由得6x2+4x-1=0（12分）

∴x1+x2=-=-，x0==-y0==x1+x2+1=

∴AB中点坐标为M(-，)（15分）

（1）抛物线C2：y2=4x的焦点F的坐标为（1，0），准线为x=-1，

设点P的坐标为（x0，y0），依据抛物线的定义，由|PF|=，得1+x0=，解得x0=．

∵点P在抛物线C2上，且在第一象限，∴y02=4x0=4×，解得y0=．

∴点P的坐标为（，）．

∵点P在椭圆C1：+=1(a＞b＞0)上，∴+=1．

又c=1，且a2=b2+c2=b2+1，解得a2=4，b2=3．

∴椭圆C1的方程为+=1．

（2）设点M（x1，y1）、N（x2，y2）、R（x，y），

则=（x1-1，y1），=（x2-1，y2），=（x-1，y）．

∴+=（x1+x2-2，y1+y2）．

∵+=，

∴x1+x2-2=x-1，y1+y2=y．①

∵M、N在椭圆C1上，∴+=1，+=1．

上面两式相减，把①式代入得+=0．

当x1≠x2时，得=-．②

设FR的中点为Q，则Q的坐标为（，）．

∵M、N、Q、A四点共线，∴kMN=kAQ，即=．③

把③式代入②式，得=-，化简得4y2+3（x2+4x+3）=0．

当x1=x2时，可得点R的坐标为（-3，0），

经检验，点R（-3，0）在曲线4y2+3（x2+4x+3）=0上．

∴动点R的轨迹方程为4y2+3（x2+4x+3）=0．

（3）4y2+3（x2+4x+3）=0可化为(x+2)2+=1，中心为（-2，0），焦点在x轴上，左顶点坐标为（-3，0）

∵圆（x-1）2+y2=1的圆心坐标为（1，0），与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0）

∴|RT|的最大值为2-（-3）=5．

依题意，可知椭圆的焦点在x轴上，设其方程为+=1(a＞b＞0)…（2分）

则由焦点为F1（-2，0），且经过点（0，2）可得：…（8分）．

解得…（10分）．

所以所求椭圆的标准方程为+=1…（12分）