热门试卷

（1）∵椭圆焦点为F1（0，-1）、F2（0，1），

∴设椭圆的标准方程为：+=1，

∵椭圆过点M（，1），

∴+=1，

解得a2=4，或a2=，

∴椭圆方程为：+=1．

（2）设圆心坐标为（a，b），由题意知：

，

解得a=4，b=1，

∴圆心为（4，1），

圆半径r==5，

∴圆的方程为（x-4）2+（y-1）2=25．

（3）设与双曲线x2-=1有相同的渐近线的双曲线方程为：

x2-=λ(λ≠0)，

把点（2，2）代入，得λ=4-=2，

∴双曲线方程为-=1．

（1）因为离心率为，又2a=2，∴a=，c=1，故b=1，故椭圆的方程为+y2=1；

（2）设l的方程为y=kx-，

由得（2k2+1）x2-kx-=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1•x2=-，

假设在y轴上存在定点N（0，m）满足题设，则=(x1，y1-m)，=(x2，y2-m)，

•=x1x2+（y1-m）（y2-m）=x1x2+y1y2-m（y1+y2）+m2

=x1x2+（kx1-）（ kx2-）-m（kx1-+kx2-）+m2

=（k2+1）x1x2-k（+m）•（x1+x2）+m2+m+

=--k（+m）•+m2+m+

=，

由假设得对于任意的k∈R，•=0恒成立，即，解得m=1，

因此，在y轴上存在定点N，使得以PQ为直径的圆恒过这个点，点N的坐标为（0，1）．

（Ⅰ）设椭圆方程为+=1，a＞b＞0，

由题意，得c=1，=4，

∴a2=4，b2=4-1=3，

∴所求椭圆方程+=1；　　…（5分）

（Ⅱ）设抛物线C的方程为x2=2py，p＞0．

由=2，得p=4．

∴抛物线C的方程为x2=8y，

设线段MN的中点Q（x，y），直线l的方程为y=kx+1，

由，得x2=8kx+8，

即x2-8kx-8=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），

则有x1+x2=8k，x1x2=-8．

∴x===4k，

代入直线l的方程，得y=k•4k+1=4k2+1，

由，消去k，得y=+1，

即x2=4（y-1），

∴点Q的轨迹方程是x2=4（y-1）．

（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：+=1 (a＞b＞0)

由题意：⇒

所求椭圆方程为：+=1．…（5分）

（Ⅱ）若过点P（0，m）的斜率不存在，则m=±．

若过点P（0，m）的直线斜率为k，

即：m≠±时，

直线AB的方程为y-m=kx

由⇒(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，

△=64m2k2-4（3+4k2）（4m2-12），

因为AB和椭圆C交于不同两点，

所以△＞0，4k2-m2+3＞0，

所以4k2＞m2-3    ①

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由已知=3，

则x1+x2=-，x1x2=    ②

=(-x1，m-y1)，=(x2，y2-m)-x1=3x2 ③

将③代入②得：-3()2=

整理得：16m2k2-12k2+3m2-9=0

所以k2=代入①式，

得4k2=＞m2-3＜0，

解得＜m2＜3．

所以-＜m＜-或＜m＜．

综上可得，实数m的取值范围为：(-，-]∪[，)．…（14分）

（Ⅰ）由题意，设椭圆的方程为+=1(a＞b＞0)

∵椭圆G经过点P(，)，且一个焦点为(-，0)．

∴+=1，a2-b2=3

∴a2=4，b2=1

∴椭圆G的方程为+y2=1；

（Ⅱ）由题意知，|m|≥1

当m=±1时，切线l的方程为x=±1，此时|AB|=；

当|m|＞1时，设l为y=k（x-m），代入椭圆方程可得（1+4k2）x2-8k2mx+4k2m2-4=0

设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=

∵l与圆x2+y2=1相切，∴=1，即m2k2=k2+1

∴|AB|=×==≤2（当且仅当m=±时取等号）

∴|AB|的最大值为2．

（Ⅰ）依题意知F2（1，0），设M（x1，y1）．由抛物线定义得1+x1=，即x1=．

将x1=代入抛物线方程得y1=（2分），进而由+=1及a2-b2=1解得a2=4，b2=3．故C1的方程为+=1（4分）

（Ⅱ）依题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x=sy+4代入+=1，整理得（3s2+4）y2+24sy+36=0（6分）

由△＞0，解得s2＞4．设E（x1，y1），F（x2，y2），则，（1）（8分）

令λ===且0＜λ＜1．将y1=λy2代入（1）得

消去y2得=（10分）即s2=＞4，即3λ2-10λ+3＜0解得＜λ＜3．∵0＜λ＜1故△ODE与△ODF面积之比的取值范围为＜λ＜1（12分）

（Ⅰ）由△MOF是等腰直角三角形，得c2=b2=4，a2=8，

故椭圆方程为：+=1．

（Ⅱ）证明：（1）若直线AB的斜率存在，设AB的方程为：y=kx+m，依题意得m≠±2，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，

则x1+x2=-，x1x2=．

由已知 k1+k2=8，可得 +=8，

所以+=8，即2k+(m-2)=8．     

所以k-=4，整理得 m=k-2．

故直线AB的方程为y=kx+k-2，即y=k（x+）-2．

所以直线AB过定点（- ， -2）．   

（2）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，

设A（x0，y0），B（x0，-y0），

由已知+=8，得x0=-．

此时AB方程为x=-，显然过点（- ， -2）．

综上，直线AB过定点（- ， -2）．

（I）由题意，，∴a=，b=1

∴椭圆的方程为+y2=1；

（II）y=kx+m代入椭圆方程整理可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．

设点M、N的坐标分别为M（x1，y1）、N（x2，y2）、P（x0，y0），则

x1+x2=-，x1x2=

∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=

（1）当m=0时，点M、N关于原点对称，则λ=0．

（2）当m≠0时，点M、N不关于原点对称，则λ≠0，

∵+=λ，∴（x1，y1）+（x2，y2）=λ（x0，y0），

∴x1+x2=λx0，y1+y2=λy0，

∴x0=-，y0=

∵P在椭圆上，

∴[]2+2[]2=2

化简，得4m2（1+2k2）=λ2（1+2k2）2．

∵1+2k2≠0，

∴有4m2=λ2（1+2k2）．…①

又∵△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）=8（1+2k2-m2），

∴由△＞0，得1+2k2＞m2．…②

将①、②两式，∵m≠0，∴λ2＜4，

∴-2＜λ＜2且λ≠0．

综合（1）、（2）两种情况，得实数λ的取值范围是-2＜λ＜2；

（III）由题意，|MN|=|x1-x2|，点O到直线MN的距离d=

∴S△MNO=|MN|d=|m||x1-x2|=

由①得1+2k2=，代入上式并化简可得S△MNO=•

∵≤=2

∴S△MNO≤

当且仅当λ2=4-λ2，即λ=±时，等号成立

∴当λ=±时，△MNO的面积最大，最大值为．

因为椭圆E：+=1（a，b＞0）过M（2，），N（，1）两点，

所以解得所以

椭圆E的方程为+=1．

（1）依题意可设椭圆方程为+y2=1，

则右焦点F（，0）由题设=3

解得a2=3故所求椭圆的方程为+y2=1；

（2）设P为弦MN的中点，由

得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0

由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1①

∴xp==-从而yp=kxp+m=

∴kAp==-又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，

则-=-即2m=3k2+1②

把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得k2=＞0解得m＞．

故所求m的取范围是（，2）．

（I）设G是曲线C上任意一点，依题意，|GE|+|GF|=12．

所以曲线C是以E、F为焦点的椭圆，且椭圆的长半袖a=6，半焦距c=4，

所以短半轴b==，

所以所求的椭圆方程为 +=1；

（II）设点P的坐标为（x，y）

则 =（x+6，y），=（x-4，y），由已知得 

则 2x2+9x-18=0，解之得x=-6或x=

当x=-6时，y=0，与y＞0矛盾，舍去；

当x=时，y2=，取y=（舍负）

∴P(，)．

（1）双曲线方程为x2-=1，

由此得a=1，b=，

所以渐近线方程为y=±x．

（2）双曲线中，c===2，焦点为（-2，0），（2，0）．

椭圆中，2a=+=8，

则a=4，b2=a2-c2=42-22=12．

所以，所求椭圆的标准方程为：+=1．

（1）由椭圆方程得：a=2，e==

∴c=，∴b==1　　

∴椭圆方程为+y2=1；

由题意得：抛物线的焦点应为椭圆的上顶点，即（0，1）点，∴p=2

∴抛物线方程为x2=4y

（2）由题意可得p=1，∴抛物线方程为x2=2y…①

设抛物线上存在一点P（a，b），则抛物线在点P处的切线斜率为k=y′|x=a=a

∴过点P的切线方程为y-b=a（x-a），即y=ax-b

代入椭圆方程，可得（4a2+1）x2-8abx+4b2-4=0…②

设切线与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），故x1+x2=，x1x2=

∴•=x1x2+y1y2═(a2+1)x1x2-ab(x1+x2)+b2=

∵OA⊥OB，∴•=0

∴4a2-5b2+4=0

代入a2=2b可得5b2-8b-4=0

∴b=2或-（舍去）

b=2代入①得a=±2

将a，b代入②检验△=208＞0

∴存在这样的点P（±2，2）满足条件．

（1）∵当x=2时，f(2)=m2-2+-1=，

∴函数f（x）的图象通过定点(2，)．

∴a=2，b=.

所求椭圆的方程为+=1．

（2）∵点T与点S关于直线y=-x+对称，

∴，

解方程组得．

设ϕ(t)==-t3-t+1(t∈[-2，2])，

∵ϕ′（t）=-2t2-1＜0，

∴ϕ（t）在区间[-2，2]上是减函数．

∵ϕ（-2）=11，ϕ（2）=-9，

∴的取值范围是[-9，11]．