热门试卷

（I）设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y1）

∵|DP|=|DM|，∴|y1|=|y|

∵P（x，y1）在圆x2+y2=4上，∴x2+y12=4

∴x2+2y2=4

∴点M的轨迹C的方程为+=1(x≠±2)；

（Ⅱ）假设存在N（n，0）

AB斜率存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程：y=k（x+1），

代入椭圆方程得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2-4=0，∴x1+x2=-，x1x2=

∵=(x1-n，y1)，=(x2-n，y2)，

∴•=（x1-n，y1）•（x2-n，y2）=（1+k2）x1x2+(k2-n)(x1+x2)+k2+n2=(2n2+4n-1)-

∵•是与k无关的常数，

∴2n+=0

∴n=-，即N（-，0），此时•=-

当直线AB与x垂直时，n=-时•=-

综上所述，在x轴上存在定点N（-，0），使•为常数．

（Ⅰ）由题意不妨设B1（0，-b），B2（0，b），则=(-1，-b)，=(-1，b)．

∵•=-a，∴1-b2=-a，又∵a2-b2=1，解得a=2，b=．

∴椭圆C的方程为+=1；

（Ⅱ）由题意得直线l的方程为y=k（x-1）．

联立得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=．

∴弦MN的中点P(，)．

∴|MN|===．

直线PD的方程为y+=-(x-)．

∴|DP|=．

∴===．

又∵k2+1＞1，∴0＜＜1，

∴0＜＜．

∴的取值范围是(0，)．

（Ⅰ）∵椭圆C：+=1(a＞b＞0)过点（0，4），离心率为，

∴，解得a=5，b=4，c=3，

∴椭圆C的方程是+=1．

（Ⅱ）设过点（3，0）的直线交椭圆+=1于A（x1，y1），B（x2，y2），

设AB的中点为M（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，

把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆16x2+25y2=400，

得

①-②，得16（x1+x2）（x1-x2）+25（y1+y2）（y1-y2）=0，

∴32x（x1-x2）+50y（y1-y2）=0，

∴直线AB的斜率k==-，

∵直线AB过点（3，0），M（x，y），

∴直线AB的斜率k=，

∴-=，整理，得16x2+25y2-48x=0．

当k不存在时，16x2+25y2-48x=0也成立．

故过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程是16x2+25y2-48x=0．

（1）设椭圆方程为+=1(a＞b＞0)，则c=，=，（4分）

∴a=2，b=1，所求椭圆方程+y2=1．（5分）

（2）由，消去y，得5x2+8mx+4（m2-1）=0，

则△＞0得m2＜5（*）

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=y1-y2=x1-x2，（8分）

|PQ|==2

解得．m=±，满足（*）

∴m=±．

①若焦点在x轴，设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），

依题意，a=3，b=1，

∴椭圆的方程为+y2=1；

②若焦点在y轴，设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），

依题意，a=9，b=3，

∴椭圆的方程为+=1．

∴椭圆的标准方程为+y2=1或+=1．

∵椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，

∴设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），

设短轴的两个端点分别为A、B，左右焦点分别为F1、F2，连结AF2、BF2．

∵一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，

∴AF2⊥BF2，

根据椭圆的对称性得到△ABF2是等腰直角三角形，可得|OA|=|0F2|．

∴b=c，即=c…①，

又∵焦点和x轴上的较近端点的距离为4（-1），

∴a-c=4（-1）…②，

联解①②可得a=4，c=4，可得a2=32，b2=c2=16

所求椭圆的方程为+=1．

（I）依题意，可设椭圆E的方程为+=1(a＞b＞0)．

由=⇒a=2c，b2=a2-c2=3c2，

∵椭圆经过点(1，)，则+=1，解得c2=1，

∴椭圆的方程为+=1．

（II）联立方程组，消去y整理得（4k2+3）x2-16kx+4=0，

∵直线与椭圆有两个交点，

∴△=（-16k）2-16（4k2+3）＞0，解得k2＞，①

∵原点O在以MN为直径的圆外，

∴∠MON为锐角，即•＞0．

而M、N分别在OA、OB上且异于O点，即•＞0，

设A，B两点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），

则•=(x1，y1)•(x2，y2)=x1x2+y1y2

=（k2+1）x1x2-2k（x1+x2）+4═(k2+1)-2k+4＞0

解得k2＜，②

综合①②可知：k∈(-，-)∪(，)．

（1）由e=，得c=b，直线EF的方程为：x-y=-b，

由题意原点O 到直线EF的距离为，

∴=，

∴b=1，a2=2，

∴椭圆C的方程是：+y2=1．…（4分）

（2）①若直线l∥x轴，则A、B分别是长轴的两个端点，M在原点O处，

∴||=2，||=，

∴=．…（6分）

②若直线l与x轴不平行时，

设直线l的方程为：x=my-2，

并设A（x1，y1）、B（x2，y2）、M（x0，y0），

则，

得：（m2+2）y2-4my+2=0，（*）                          …（8分）

∵△=（-4m）2-8（m2+2）＞0，

∴m2＞2，

由（*）式得y0==，

∴=====，

∵m2＞2，

∴∈(0，1)，

∴∈(，+∞)

综上，∈[，+∞)．…（14分）

解（1）因为B在右准线上，且F恰好为线段AB的中点，所以2c=，…（2分）

即=，所以椭圆的离心率e=…（4分）

（2）由（1）知a=c，b=c，所以直线AB的方程为y=x-c，

设C（x0，x0-c），因为点C在椭圆上，所以+=1，…（6分）

即x02+2（x0-c）2=2c2，

解得x0=0（舍去），x0=c．

所以C为（c，c），…（8分）

因为FC=，由两点距离公式可得（c-c）2+（c）2=，

解得c2=2，所以a=2，b=，

所以此椭圆的方程为+=1．    …（10分）

（1）由题设得，

解得：a=2，b=c=1，

故C的方程为+=1，离心率e=．

（2）直线F1A的方程为y=(x+1)，

设点0关于直线F1A对称的点为M（x0，y0），则⇒，

所以点M的坐标为(-，)，

∵|PO|=|PM|，|PF2|+|PO|=|PF2|+|PM|≥|MF2|，

|PF2|+|PO|的最小值为|MF2|==．

（Ⅰ）由已知抛物线的焦点为（0，-），故设椭圆方程为+=1．

将点A（1，）代入方程得+=1，整理得a4-5a2+4=0，

解得a2=4或a2=1（舍）．

故所求椭圆方程为+=1

（Ⅱ）设直线BC的方程为y=x+m，设B（x1，y1），C（x2，y2）

代入椭圆方程并化简得4x2+2mx+m2-4=0，

由△=8m2-16（m2-4）＞0，可得m2＜8①

由x1+x2=-m，x1x2=，

故|BC|=|x1-x2|=．

又点A到BC的距离为d=，

故S△ABC=|BC|d=≤•=，

当且仅当2m2=16-2m2，即m=±2时取等号（满足①式）

所以△ABC面积的最大值为．

（1）由离心率e==，得==∴a=2b①

∵原点O到直线AB的距离为

∴=②，

将①代入②，得b2=9，∴a2=36

则椭圆C的标准方程为+=1

（2）∵EP⊥EQ∴•=0

∴•=•(-)=

EP

2

设P（x，y），则+=1，即y2=9-

∴•=

EP

2=(x-3)2+y2=x2-6x+9+9-=(x-4)2+6

∵-6≤x≤6，∴6≤(x-4)2+6≤81

则•的取值范围为[6，81]．

（1）由题意可得，点P是以P(-，0)，(，0)为焦点的椭圆，且2a=4

∴a=2，c=，b2=a2-c2=1

曲线C的方程为+y2=1

（2）联立方程可得（1+4k2）x2+16kx+12=0

由△=4k2-3＞0可得k2＞

设A（x1，y1）B（x2，y2） x1+x2=-x1x2=

∵•=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4

=(1+k2)•+2k•+4=

令y=则可得k2=＞

∴-1＜y＜即-1＜•＜