热门试卷

（1）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），焦距为2c，

∵e==，且根据题意可知：点（c，）在椭圆上，

∴+=1，则+=1，解得b=1，

∵a=c，且a2-c2=b2=1，则c=1，a=，

故椭圆方程为：+y2=1；

（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，点P（x1，y1），Q（x2，y2），

由，消去y得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，

∴x1+x2=-，x1x2=，

于是y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，

因为⊥，所以x1x2+y1y2=+==0，（10分）

即3m2-2k2-2=0，所以m2=，（11分）

设原点O到直线l的距离为d，则d====，（12分）

当直线l的斜率不存在时，因为⊥，根据椭圆的对称性，

不妨设直线OP，OQ的方程分别为y=x，y=-x，

可得P（，），Q（，-）或P（-，-），Q（-，），

此时，原点O到直线l的距离仍为，

综上，点O到直线l的距离为定值．（14分）

（1）椭圆9x2+5y2=45化成标准方程，得+=1，

∴椭圆的焦点在y轴，且c2=9-5=4，得c=2，焦点为（0，±2）．

∵所求椭圆经过点（-，），且与已知椭圆有共同的焦点，

∴设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），

可得，解之得a2=10，b2=6，

∴所求的椭圆方程为+=1；

（2）设椭圆方程为Ax2+By2=1（A＞0，B＞0，A≠B）．

∵点P（3，0）在该椭圆上，∴9A=1，即A=，

又a=3b，∴B=1或，

∴椭圆的方程为+y2=1或+=1．

（1）∵在平面直角坐标系中的一个椭圆，

它的中心在原点，左焦点为F（-，0），且过D（2，0），

∴椭圆的半长轴a=2，半焦距c=，则半短轴b=1．

∵椭圆的焦点在x轴上，

∴椭圆的标准方程为+y2=1．

（2）椭圆+y2=1的参数方程是：，α为参数．

∴P（2cosα，sinα），

设线段PA的中点为M（x，y），

∵A（1，），P（2cosα，sinα），

∴x=，y=，

∴cosα=2x-1，

sinα=2y-，

∴（2x-1）2+（2y-）2=1．

∴线段PA中点M的轨迹方程是（2x-1）2+（2y-）2=1．

（1）设所求的椭圆方程为 +=1（a＞b＞0），

由离心率e==

则 解得a=2，b=1，c=

故所求椭圆的方程为 +y2=1，

（2）由（1）知F1（-，0），设P（x，y），

则 •=（--x，-y）•（ -x，-y）=x2+y2-3=（3x2-8）

∵x∈[-2，2]，∴0≤x2≤4，

故 •∈[-2，1]

故最大值1，最小值-2．

证明：（Ⅰ）将y=x+1代入+=1，消去x，得（a2+b2）y2-2b2y+b2（1-a2）=0①

由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得△=4b4-4b2（a2+b2）（1-a2）=4a2b2（a2+b2-1）＞0

所以a2+b2＞1．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）

由①，得y1+y2=，y1y2=

因为=2，得y1=-2y2

所以，y1+y2==-y2，y1y2==-2

消去y2，得=-2()2

化简，得（a2+b2）（a2-1）=8b2

若F是椭圆的一个焦点，则c=1，b2=a2-1，

代入上式，解得a2=，b2=，

所以，椭圆的方程为：+=1．

（I）∵椭圆的经过焦点且垂直于长轴的弦长为3，离心率为

∴=，=

∴a2=4，b2=3

∴椭圆C的方程为+=1；

（Ⅱ）当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得m=±，

所以|OP|=

当k≠0时，则由，消y化简整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，

△=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）=48（3+4k2-m2）＞0③

设A，B，P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），

则x0=x1+x2=-，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=．

由于点P在椭圆C上，所以+=1．

从而+=1，化简得4m2=3+4k2，经检验满足③式．

又|OP|===

因为0＜|k|≤，得3＜4k2+3≤4，有≤＜1，

故＜|OP|≤．

综上，所求|OP|的取值范围是[，]．

（1）在曲线C上任取一个动点P（x，y），

则点（x，2y）在圆x2+y2=8上．

所以有x2+（2y）2=8．

整理得曲线C的方程为+=1．

（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，

又KOM=，

∴直线l的方程为y=x+m．

由，

得x2+2mx+2m2-4=0

∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

∴△=（2m）2-4（2m2-4）＞0，

解得-2＜m＜2且m≠0．

∴m的取值范围是-2＜m＜0或0＜m＜2．

（1）∵离心率为的椭圆C：+=1过（1，），

∴，解得a2=4，b2=3，c2=1，

∴椭圆C的方程为+=1

（2）假设存在实数m，使得在此椭圆C上存在不同两点关于直线y=4x+m对称．

设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x0，y0），

∵在此椭圆C上存在不同两点关于直线y=4x+m对称，

∴kAB==-，

∵3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，

相减得3(x22-x12)+4(y22-y12)=0，即y1+y2=3（x1+x2），

∴y0=3x0，3x0=4x0+m，x0=-m，y0=-3m

而M（x0，y0）在椭圆内部，则+＜1，即-＜m＜．

故存在实数m∈（-，），使得在此椭圆C上存在不同两点关于直线y=4x+m对称．

（1）∵抛物线y2=8x的焦点坐标为F（2，0）

∴椭圆+=1（m＞0，n＞0）的右焦点为F（2，0），可得m2-n2=4…①

∵椭圆的离心率e==，∴=…②

联解①②，得m2=16，n2=12

∴该椭圆的标准方程为+=1；

（2）∵椭圆+=1经过点A的纵坐标为4

∴设A（t，4），可得+=1，解之得t=±，A（±，4）

∵椭圆+=1的焦点为（0，±3），双曲线与椭圆+=1有相同的焦点，

∴双曲线的焦点为（0，±3），因此设双曲线方程为-=1（0＜k＜9）

将点A（±，4）代入，得-=1，解之得k=4（舍负）

∴双曲线方程为-=1

（1）易知双曲线-y2=1的焦点为（-2，0），（2，0），离心率为，

则在椭圆C中a=2，e=，故在椭圆C中c=，b=1，∴椭圆C的方程为+y2=1．

（2）①设M（x0，y0）（x0≠±2），由题易知A（-2，0），B（2，0），则kMA=，kMB=，

∴kMA•kMB=×=，

∵点M在椭圆C上，∴+=1，即=1-=-(-4)，故kMA•kMB=-，即直线MA，MB的斜率之积为定值．    

②设P（4，y1），Q（4，y2），则kMA=kPA=，kMB=kBQ=，

由①得×=-，即y1y2=-3，当y1＞0，y2＜0时，|PQ|=|y1-y2|≥2=2，当且仅当y1=，y2=-时等号成立．

同理，当y1＜0，y2＞0时，当且仅当y1=-，y2=时，|PQ|有最小值2．

（1）在△PAB中，由余弦定理，有22=a2+b2-2abcosC，|a+b|==2=2＞2，

所以，点P的轨迹C是以A，B为焦点，长轴长2a=2的椭圆．（除去长轴上的顶点）

如图，以A、B所在的直线为x轴，以A、B的中点为坐标原点建立直角坐标系．

则，A（-1，0）和B（1，0）．

椭圆C的标准方程为：+=1（y≠0）．

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），

①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，由题意，有M（1，1），N（1，-1）在椭圆上．

即+=1⇒λ=，由λ＞0，得λ=．

②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x-1）．

由得：[λ+（1+λ）k2]x2-2（1+λ）k2x+（1+λ）（k2-λ）=0，

由题意知：λ+（1+λ）k2＞0，

所以x1+x2=，x1•x2=．

于是：y1•y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=．

因为OM⊥ON，所以•=0，

所以x1•x2+y1•y2==0，

所以，k2=≥0，

由λ＞0得1+λ-λ2＞0，解得0＜λ＜．

综合①②得：0＜λ≤．