热门试卷

动圆圆心的轨迹方程为=1

两定圆的圆心和半径分别为O1（-3，0），r1=1；

O2（3，0），r2=9.设动圆圆心为M（x，y），半径为R，

则由题设条件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R.

∴|MO1|+|MO2|=10.

由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，

且a=5，c=3.

∴b2=a2-c2=25-9=16，

故动圆圆心的轨迹方程为=1.

（Ⅰ）；（Ⅱ）P(，±)，x±y－＝0.

试题分析：(Ⅰ) 先利用点到直线的距离公式求，再利用离心率求，最后利用参数的关系求；(Ⅱ)设点利用方程组消元后得根与系数关系，然后代入题中条件化简可求.

试题解析：(Ⅰ) 设F(c，0)，当l的斜率为1时，其方程为x－y－c＝0，

∴O到l的距离为，

由已知，得＝，∴c＝1．

由e＝＝，得a＝，b＝＝．              4分

（Ⅱ）假设C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(x1＋x2，y1＋y2)．

由（Ⅰ），知C的方程为＋＝1．

由题意知，l的斜率一定不为0，故不妨设l：x＝ty＋1．

由，消去x并化简整理，得(2t2＋3)y2＋4ty－4＝0．

由韦达定理，得y1＋y2＝－，

∴x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝t(y1＋y2)＋2＝－＋2＝，

∴P(，－)．

∵点P在C上，∴＋＝1，

化简整理，得4t4＋4t2－3＝0，即(2t2＋3)(2t2－1)＝0，解得t2＝．

当t＝时，P(，－)，l的方程为x－y－＝0；

当t＝－时，P(，)，l的方程为x＋y－＝0．

故C上存在点P(，±)，使＝＋成立，此时l的方程为x±y－＝0．  13分

（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析。

试题分析：(1)由于先由椭圆C的离心率和椭圆过点M（2，1），列出方程组，再由方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程

（2）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到根与系数的关系，那么再结合斜率公式得到证明。

解：（Ⅰ）设椭圆的方程为:．

由题意得: ∴ 椭圆方程为．

（Ⅱ）由直线,可设，将式子代入椭圆得:

设,则

设直线、的斜率分别为、，则 

下面只需证明：，事实上，

。

点评：解决该试题的关键是能利用椭圆的性质得到a,b,c,的值，进而得到椭圆方程，同时能利用韦达定理得到斜率的关系式。

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

设M（x，y）是曲线C上任一点,根据,用M的坐标表示出P的坐标,然后根据点P在椭圆上,可求出点M的轨迹方程.

(II) 当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件,所以设直线l的方程为y=kx－2,它与椭圆方程联立消y后得到关于x的一元二次方程,然后因为，所以四边形OANB为平行四边形，

假设存在矩形OANB，则,即，

从而根据韦达定理可得到关于k的方程,求出k值,再验证是否满足判别式大于零.

（Ⅰ）设M（x，y）是曲线C上任一点，因为PM⊥x轴，，所以点P的坐标为（x，3y）  点P在椭圆上，所以，

因此曲线C的方程是                               …………5分

（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件

所以设直线l的方程为y=kx－2与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），经N点平行x轴的直线方程为

，

由

，       …………8分

因为，所以四边形OANB为平行四边形，

假设存在矩形OANB，则

即，

所以

，       …………10分

设N（x0，y0），由，得

，即N点在直线，

所以存在四边形OANB为矩形，直线l的方程为       …………12分

(1) ．(2) (i) ，

(ii)=．

(1)易知焦点坐标为(-1,0),(1,0),再根据离心率求出a,进而求出b的值.从而确定椭圆的方程.

(2)设，设,因，

故,再根据M在椭圆上，可得,

然后再利用点A、B在椭圆上这个条件，得到两个方程，以此对上面的方程化简，可求出直线与的斜率的乘积.

(ii) 因为=,然后可以根据（i）的结论，得到,

从而,又因，所以.问题到此得以解决.

(1)依题意得, 于是． 

所以所求椭圆的方程为．

(2) (i)设，则   ①

   ②．

又设,因，

故

因在椭圆上，

故

整理得：

将①②代入上式，并由得

所以

(ii)，

故

又

故

所以，=．

(1) ．(2) (i) ，

(ii)=．

(1)易知焦点坐标为(-1,0),(1,0),再根据离心率求出a,进而求出b的值.从而确定椭圆的方程.

(2)设，设,因，

故,再根据M在椭圆上，可得,

然后再利用点A、B在椭圆上这个条件，得到两个方程，以此对上面的方程化简，可求出直线与的斜率的乘积.

(ii) 因为=,然后可以根据（i）的结论，得到,

从而,又因，所以.问题到此得以解决.

(1)依题意得, 于是． 

所以所求椭圆的方程为．

(2) (i)设，则   ①

   ②．

又设,因，

故

因在椭圆上，

故

整理得：

将①②代入上式，并由得

所以

(ii)，

故

又

故

所以，=．

（1）＝1.（2）见解析

(1)解：由题意知b＝＝.

因为离心率e＝＝，所以＝＝.所以a＝2.

所以椭圆C的方程为＝1.

(2)证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，则直线PM的方程为y＝x＋1，①

直线QN的方程为y＝x＋2.②

(证法1)联立①②解得x＝，y＝，即T.

由＝1可得＝8－4.

因为

＝＝1，所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．

(证法2)设T(x，y)．联立①②解得x0＝，y0＝.

因为＝1，所以＝1.整理得＝(2y－3)2，所以－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＝1.

所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．

（1）＝1（2）(－，0)∪(0，)

(1)设点M(x，y)，P(x0，y0)，则由题意知P0(x0,0)．

由＝(x0－x，－y)，＝(0，－y0)，且＝，得

(x0－x，－y)＝ (0，－y0)．

∴于是 

又＋＝4，∴x2＋y2＝4.∴点M的轨迹C的方程为＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立

得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0.

∴Δ＝(8mk)2－16(3＋4k2)(m2－3)＞0，

即3＋4k2－m2＞0.(*)且

依题意，k2＝，即k2＝.

∴x1x2k2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.

∴km(x1＋x2)＋m2＝0，即km＋m2＝0.

∵m≠0，∴k＋1＝0，解得k2＝.

将k2＝代入(*)，得m2＜6.∴m的取值范围是(－，0)∪(0，)．

解：椭圆方程可化为＋＝1.

因为m－>0，所以m>.

即a2＝m，b2＝，c＝.

由e＝，解得m＝1.

所以a＝1，b＝，椭圆的标准方程为x2＋＝1.

所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1，

四个顶点的坐标分别为

A1(－1,0)，A2(1,0)，B1(0，－)，B2(0，)

略

略

略

略