热门试卷

解：（1）a=2，c=1，

∴，

椭圆M的方程为；

（2）设直线l的方程为：，

联立直线l的方程与椭圆方程得：，

①代入②得：，

化简得：，……③

当△＞0时，即，

即|b|＜2时，直线l与椭圆有两交点，

由韦达定理得：，

所以，

则

，

所以，为定值。

解：（Ⅰ），

所求椭圆M的方程为；

（Ⅱ）当θ≠，设直线AB的斜率为k=tanθ，焦点F(3，0)，

则直线AB的方程为y=k(x-3) ，

有(1+2k2)x2-12k2x+18(k2-1)=0，

设点A(x1，y1)，B(x2，y2) ，

有x1+x2=，x1x2=，

|AB|=，**

又因为k=tanθ=代入**式得

|AB|=；

当θ=时，直线AB的方程为x=3，此时|AB|=；

而当θ=时，|AB|==；

综上所述，所以|AB|=。

解：（1）设椭圆方程为，

则，，

∴，

∴所求椭圆方程为。

（2）由，消去y，得，

则，得，（*）

设，则，，，

，

解得，满足（*），

∴。

解：（1）因为，所以，

∴b=1，

∴椭圆的方程为。

（2）由（1）得F（1，0），所以0

假设存在满足题意的直线，设的方程为，

代入，得

，

设，

则，                        ①

∴，                        ②

设AB的中点为M，则，

∵|AC|=|BC|，

∴，

即，

∴，

∴当时，，即存在这样的直线；

当时，k不存在，即不存在这样的直线。

解：（1）设，

则，

化简，得，，

∴。

（2）存在满足条件的D，设D(0，m)，

设直线的方程为，

代入椭圆，得，

设，

则，，

∵以DA，DB为邻边的四边形为菱形，

∴，

，

又的方向向量为（1，k），

∴，

即，

，

∴，

所以存在满足条件的D。

（1）设椭圆E的标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n）．

因为A(1，)，B(-2，)在椭圆E上，所以

解得m=，n=1，满足条件

所以所求椭圆E的标准方程为+y2=1.

（2）由（1）知椭圆的短半轴长为1，所以圆心坐标为（2，0），半径r=1，

故圆C的方程为（x-2）2+y2=1．

设P（x，y），则=(x-2，y)，=(x，y)，

所以•=x(x-2)+y2=x2+y2-2x=2x-3.

因为（x-2）2+y2=1，所以（x-2）2≤1，即-1≤x-2≤1，得1≤x≤3．

所以-1≤2x-3≤3，即•的取值范围为[-1，3]．

解：（I）由题意可得 c=，tan30°==，

∴b=1，∴a=2，

故椭圆的方程为．

（Ⅱ） 设直线l的方程为 y﹣0=k（x﹣1），即 y=kx﹣k．

代入椭圆的方程化简可得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，

∴x1+x2=，x1?x2=．

∵=（m﹣x1，﹣y1 ）（m﹣x2，﹣y2）=（m﹣x1）（m﹣x2）+y1y2=（m2+k2）+（1+k2）x1x2﹣（m+k2）（x1+x2）

=（m2+k2）+（1+k2）﹣（m+k2））

=  恒为定值，

∴，

∴m=．

解：（1）由题得，直线AB的方程为

由及，得

所以椭圆的方程为

（2） ①

当直线的斜率不存在时，，易知符合条件，此时直线方程为

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入

得

由，解得

设，

则   ②

          ③

由①得            ④

由②③④消去，得      ，即，矛盾，

综上，存在符合条件的直线

解：（1）；

（2），

，

所以，

令，

令，

当时，三角形面积最大为3，

此时直线l方程为x=1。

解：（1）设

则由得

由得

即

所以c=1

又因为

所以

因此所求椭圆的方程为：。

（2）动直线l的方程为：

由得

设

则

假设在y上存在定点M（0，m），满足题设，则

由假设得对于任意的恒成立

即解得m=1

因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）。

解：（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3，

在Rt△PF1F2中，|F1F2|=，

故椭圆的半焦距，

从而

所以椭圆C的方程为。

（Ⅱ）设A，B的坐标分别为（），，

已知圆的方程为，所以圆心M的坐标为（-2，1），

从而可设直线l的方程为，

代入椭圆C的方程得

因为A，B关于点M对称，

所以，

解得，

所以直线l的方程为即（经检验，所求直线方程符合题意）。

解：（1）由于

∴

解得

∴椭圆的方程是。

（2）∵

∴A，B，N三点共线，而N（-2，0），

设直线AB的方程为y=k（x+2）（k>0），

由

消去x得：

由

解得

设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得

又由得

∴

将②式代入①式得：

消去y2得

解得

故直线AB的斜率为。

解：（1）由得3a2=4c2再由c2=a2-b2，得a=2b

由题意可知

即ab=2

解方程组

得a=2，b=1

所以椭圆的方程为；

（2）由（1）可知A（-2，0），设B点的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（c+2）

于是A、B两点的坐标满足方程组

由方程组消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0

由得

从而

设线段AB的中点为M，则M的坐标为

以下分两种情况：

①当k=0时，点B的坐标为（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是

由得y0=

②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为

令x=0，解得

由

·整理得7k2=2，故

所以

综上或。

解：(Ⅰ)设椭圆E的方程为，

由，即，a=2c，得b2=a2-c2=3c2，

∴椭圆方程具有形式，

将A(2，3)代入上式，得解得c=2，

∴椭圆E的方程为。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知F1(-2，0)，F2(2，0)，

所以直线AF1的方程为，即3x-4y+6=0，

直线AF2的方程为x=2，

由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数，

设P(x，y)为l上任一点，则，

若3x-4y+6=5x-10，得x+2y-8=0(因其斜率为负，舍去)，

于是，由3x-4y+6=-5x+10得2x-y-1=0，

所以直线l的方程为2x-y-1=0．

(Ⅲ)假设存在这样的两个不同的点B(x1，y1)和C(x2，y2)，

，

∴，

设BC的中点为M(x0，y0)，则，

由于M在l上，故2x0-y0-1=0， ①

又B，C在椭圆上，所以有与，

两式相减，得，

即，

将该式写为，

并将直线BC的斜率kBC和线段BC的中点表示代入该表达式中，

得，即3x0-2y0=0， ②

①×2-②得x0=2，y0=3，

即BC的中点为点A，而这是不可能的，

∴不存在满足题设条件的点B和C。