热门试卷

解：（1）因为2＞，所以椭圆的焦点在y轴上

所以椭圆C1的标准方程为

（2）命题“若椭圆C2：x2+y2=1（在椭圆C1内）任意一条切线都与椭圆C1交于两点，

且这两点总与坐标原点构成直角三角形，则满足条件的椭圆C1恒过定点”的真命题．

设椭圆C1：mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），设P（s，t）为圆C2上任意一点，

则过点P的圆C2的切线方程为sx+ty=1

因为椭圆C2：x2+y2=1（在椭圆C1内）任意一条切线都与椭圆C1交于两点A、B，不妨设t≠0

由得（mt2+ns2）x2﹣2nsx+n﹣t2=0

∵OA⊥OB，根据根与系数的关系建立等式，

∴m+n﹣1=0

所以满足椭圆的方程mx2+（1﹣m）y2=1（0＜m＜1且m≠）

即m（x2﹣y2）+y2﹣1=0对任意0＜m＜1且m≠均成立

所以即x2=y2=1

所以，满足条件的椭圆C1恒过定点（1，1），（﹣1，1），（1，﹣1），（﹣1，﹣1）

解：（1）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=-1，

∴，①

又椭圆截抛物线的准线x=-1所得弦长为，

∴得上交点为，

∴，②

由①代入②得（舍去），

从而，

∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为；

（2）∵倾斜角为45°的直线l过点F，

∴直线l的方程为，

由（1）知椭圆的另一个焦点为，

设与F1关于直线l对称，

则得，

又M（1，-2）满足y2=4x，

故点M在抛物线上。

所以抛物线y2=4x上存在一点M（1，-2），使得M与F1关于直线l对称。

解：（1）解得，

椭圆方程为。

（2）设，AB的中点为

联立得

∵

∴

当时，有

∴

当时，经检验不成立

∴直线l的方程为：y=±x-2。

解：（1）设椭圆方程为，

由题意得，

∴，∴，

所以所求椭圆的标准方程为。

（2）将直线L：y=x+b代入椭圆中有，

由得，

由韦达定理得，

∴，

又点O到直线L的距离，

∴，

∴当（满足）时，有最大值，此时，

∴所求的直线方程为。

解：（1）由题意，

椭圆方程为；

（2），

，

，

，

得满足△＞0，

点O到l的距离为。

解：（1）设椭圆的方程为，

∵椭圆的离心率为，

∴a2=4b2，

又∵M（4，1），

∴，

解得b2=5，a2=20，

故椭圆方程为

（2）将y=x+m代入

并整理得5x2+8mx+4m2﹣20=0，

∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B

∴△=（8m）2﹣20（4m2﹣20）＞0，

解得﹣5＜m＜5

（3）设直线MA，MB的斜率分别为k1和k2，只要证明k1+k2=0．

设A（，），B（x2，y2），

根据（2）中的方程，利用根与系数的关系得：．

上式的分子=（+m﹣1）（x2﹣4）+（x2+m﹣1）（﹣4）

=2x2+（m﹣5）（+x2）﹣8（m﹣1）

=

所以k1+k2=0，得直线MA，MB的倾斜角互补

∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形

解：（1）抛物线的焦点为（0，），且为椭圆C的上顶点

∴，∴b2=3，

又F（1，0），∴c=1，a2=b2+c2=4．

∴椭圆C的方程为．

（2）l与y轴交于，

设A（，），B（，），

则由可得：（3m2+4）+6my﹣9=0，

故△=144（m2+1）＞0．

∴，∴．

又由，得．

∴．

同理．

∴．

解：(Ⅰ)依题意，可设椭圆C的方程为(a＞b＞0），

且可知左焦点为F′(-2，0)，从而有，

解得，

又a2=b2+c2，所以b2=12，

故椭圆C的方程为。

(Ⅱ)假设存在符合题意的直线l，其方程为，

由得3x2+3tx+t2-12=0，

因为直线l与椭圆C有公共点，所以△=(3t)2-4×3(t2-12)≥0，

解得。

另一方面，由直线OA与l的距离d=4可得，

从而，

由于，

所以符合题意的直线l不存在。

解：（1）因为，且，所以，

所以椭圆C的方程为；

（2）由题意知，

由得，

所以圆P的半径为，

解得，

所以点P的坐标是（0，）。

解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（xp，yp），由已知，

∵P在圆上，

∴，即C的方程为。

（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，

设直线与C的交点为，

将直线方程代入C的方程，得，

即，

∴，

∴线段AB的长度为。

解：⑴设，则，，

因为，所以，

化简整理得点P的轨迹C的方程为；

⑵设，，由C的对称性，得，

因为MNPQ是菱形，所以，，即

由得

，

检验知，此时

所以。

解：（1）由，长轴长为6

得：，所以b=1

∴椭圆方程为

（2）设，

由（1）可知椭圆方程为  ①，

∵直线AB的方程为y=x+2   ②

把②代入①得化简并整理得10x2+36x+27=0

∴

又

解：(1)由题意知，，其中，

由于，则有,所以点的坐标为，  

故1所在的直线方程为，

所以坐标原点到直线1的距离为  

又，所以，解得.

故所求椭圆的方程为    

(2) 由题意知直线的斜率存在.设直线的斜率为 , 直线的方程为，  

则有（0,），设，由于，，三点共线，且，

根据题意，得，解得  

又点在椭圆上，

所以      

解得.综上，直线的斜率为.  

解：（Ⅰ），

∴|PF1|=2|PF2|，

又|PF1|+|PF2|=2a，

∴，

，

∴，

∴；

（Ⅱ），

，

∴，

∴，

∴，

取λ=1时，|PF2|=，

∴P（0，b）（或P（0，-b）由对称性仅研究其一即可），，

∴，

∴，，

∴c=1，

∴。