热门试卷

解：（1）设Q（x0，0），由F2（c，0），A（0，b）知

∵

∴

由，得

∴b2=3c2=a2-c2，

故椭圆的离心率。

（2）由（1）知，得

于是

△AQF2的外接圆圆心为

半径

所以由已知，得

解得a=2，

∴c=1，

所求椭圆方程为：。

（3）由（2）知 F2（1，0），l：y=k（x-1）（k≠0）

由得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0

由直线l与椭圆C交于M，N两点，且过椭圆C的右焦点F2，P，M，N不共线知必有Δ>0，故k≠0，且k∈R则，y1+y2=k（x1+x2-2）

（x1-m，y1）+（x2-m，y2）=（x1+x2-2m，y1+y2）

由于菱形对角线垂直，则

即k（y1+y2）+x1+x2-2m=0，

则k2（x1+x2-2）+x1+x2-2m=0，

∴

∴

故存在满足题意的点P，且m的取值范围是。

解：（1）直线l的方程为

由

消去y得（b2+3a2）x2+6a2cx+3a2c2-a2b2=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴。

（2）由（1）知，b=c，

∴

∴

b=7，

故椭圆的标准方程为。

解：（1）易知，，

∴，

设

则，

又，

联立，解得，

∴。

（2）显然不满足题设条件，可设l的方程为，设，

联立

∴，

由，，

得①

又为锐角，

∴

又

∴

∴②

综①②可知，

∴k的取值范围是。

解：（Ⅰ）椭圆的半焦距，

由AC⊥BD知点P在以线段为直径的圆上，故，

所以，；

（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），

代入椭圆方程，并化简得，

设，

则，

；

因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为，

所以，，

四边形ABCD的面积

，

当时，上式取等号；

（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4；

综上，四边形ABCD的面积的最小值为．

解：（1）双曲线的离心率为

则椭圆的离心率为

圆x2+y2=4的直径为4，则2a=4

得

所求椭圆M的方程为。

（2）直线AB的直线方程

由得

由

得

∵

∴

又P到AB的距离为

则

当且仅当时取等号

∴。

解：（Ⅰ）由题意知，解得，从而b=1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（1，0），显然直线不垂直于x轴，可设直线AB：y=k(x-1) ，

A（），B（），则，

消去y，得，

则=，

于是，

依题意：，故或k=0（舍），

又，

故，

所以与的夹角为90°。

解：(Ⅰ)依题意知a=2，c=1，得b2=3，

∴椭圆C的方程是：；

(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

知椭圆C的右顶点为M（2，0），

由，

且，

而，

∴，

∴，

整理得，

当m=-2k时，l：y=k（x-2）过定点(2，0)为右顶点，与已知矛盾；

当时，l：过定点，此时；

综上知，直线l过定点。

解：（Ⅰ）设，

由，

又由，

即为点P的轨迹方程。

（Ⅱ）当l的斜率不存在时，直线l与曲线C相切，不合题意；

当l斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-2）+1，即y=kx+1-2k，

联立方程，

设，

则，

则MR的方程为，

与曲线C的方程联列得，

则，

所以，

直线NR的方程为，

令，

，

，

∴，

从而，

即直线NR与直线OQ交于定点。

解：∵，即MN⊥PQ，

当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴，

不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴，

∵F(0，1)，

∴MN的方程为：y=1，PQ的方程为：x=0，

分别代入椭圆中得：|MN|=，|PQ|=2，

S四边形PMQN=，

当MN，PQ都不与坐标轴垂直时，设MN的方程为y=kx+1 (k≠0)，

代入椭圆中得：(k2+2)x2+2kx-1=0，

∴x1+x2=，x1·x2=，

∴，

同理可得：，

S四边形PMQN=|MN|·|PQ|=，

(当且仅当即k=±1时，取等号)，

又S四边形PMQN=，

∴此时S四边形PMQN＜2；

综上可知：(S四边形PMQN)max=2，(S四边形PMQN)min=。