热门试卷

解：（1）由，

设C的标准方程为带入（1，），

解得C的方程为；

（2）若l斜率存在，设AB坐标，

l的方程为y=kx+b代入椭圆方程整理得：，

则，

由AB=2MP得AP⊥PB，即，

则，

即，

而，

代入化简得，

或，

若，则过定点，不合题意，舍去；

若，则过定点；

若l斜率不存在，同样可以验证通过；

综上所述，l通过定点，此点坐标为。

解：（1）由，

设C的标准方程为带入（1，），

解得C的方程为；

（2）若l斜率存在，设AB坐标，

l的方程为y=kx+b代入椭圆方程整理得：，

则，

由AB=2MP得AP⊥PB，即，

则，

即，

而，

代入化简得，

或，

若，则过定点，不合题意，舍去；

若，则过定点；

若l斜率不存在，同样可以验证通过；

综上所述，l通过定点，此点坐标为。

解：（Ⅰ）由题意：一条切线方程为：x=2 ，

设另一条切线方程为：，

则：，解得：，

此时切线方程为：，

切线方程与圆方程联立得：，

则直线AB的方程为，

令x=0，解得y=1，∴b=1；

令y=0，得x=2，

∴，

故所求椭圆方程为。

（Ⅱ）联立整理得，

令，，

则，，

，即：，

原点到直线l的距离为 ，

，∴

，

当且仅当时取等号，

则面积的最大值为1。  

解：（1）∵A（﹣2，0），∴AC=4，

由题设知四边形ABCD为菱形，且其面积S==4，

∴BD=2，

∴椭圆G是焦点在x轴上的椭圆，且a=2，b=1，

∴椭圆G的方程为．

（2）∵直线l不垂直于y轴，∴设直线l的方程为x=my+1，

由，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，

△=4m2+12（m2+4）＞0，

设E（x1，y1），F（x2，y2），则，，

x1+x2=m（y1+y2）+2=，=，

设△AEF的面积为S，则S=，

故=

=9×=9×，

令，则t，

则，

故S≠，所以不存在直线l，使得△AEF的面积为．

（1）解：因为满足a2=b2+c2，，

根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，

可得．

从而可解得，

所以椭圆方程为

（2）证明：①将y=k（x+1）代入中，

消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0

△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，

因为AB中点的横坐标为，所以，解得

②由①知，

所以 =

= =

==

解：（1）由题意：一条切线方程为：，

设另一条切线方程为：

则：，解得：，

此时切线方程为：

切线方程与圆方程联立得：，

则直线的方程为  

令，解得，

∴；

令，得，

∴

故所求椭圆方程为                                    

（2）设存在直线

满足题意，联立

整理得，，，

则∴，，，

即

由，得：

所以，不满足                 

因此不存在直线满足题意。

解：（1）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，

∴

∴b=

∴椭圆C的方程为；

（2）直线y=k（x-1）与椭圆C联立，

消元可得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-4=0

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则x1+x2=，

∴|MN|==

∵A（2，0）到直线y=k（x-1）的距离为

∴△AMN的面积S=

∴△AMN的面积为，

∴

∴k=±1。

解：（1）由题意知，e=，b=1，a2﹣c2=1，

解得a=2，所以椭圆C的标准方程为．

（2）设直线l1的方程为y=kx+1，

由方程组，得（4k2+1）x2+8kx=0，

解得，x2=0，

所以，yM=，

同理可得，，

==，

==，

M，N，P三点共线，故直线MN恒过定点P（0，﹣）．

解：（1）由椭圆C的离心率e=，

椭圆C的左、右焦点分别为F1（-c，0）、F2（c，0），

又点F2在线段PF1的中垂线上，

∴|F1F2|=|PF2|，

∴（2c）2=（）2+（2-c）2，解得c=1，

∴a2=2，b2=1，

∴椭圆的方程为+y2=1；

2）由题意，直线MN的方程为y=kx+m，

由消去y得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则，

且，，

由已知α+β=π得，

即，

化简，得2kx1x2+（m-k）（x1+x2）-2m=0，

∴2k·，解得m=-2k，

∴直线MN的方程为y=k（x-2），

因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）。

解：（1）依题意可设椭圆方程为，

则右焦点，

由题设，解得，

故所求椭圆的方程为。

（2）设，

P为弦MN的中点，

由得 ，

∵直线与椭圆相交，

∴，① 

 ∴，从而，

∴ ，

又|AM|=|AN|，

∴AP⊥MN，则：，即，   ②

把②代入①得，解得，

由②得，

解得；

综上求得的取值范围是。

解：（Ⅰ）设点M的坐标为，

则，，

由，得 ①

又由点M在椭圆上，得，代入①，

得，即.

∴0≤≤，

∴0≤≤，,.

（Ⅱ）当a取最小值时，椭圆方程为，其右顶点为.

设直线，则点P的坐标为.

联立直线CD和椭圆的方程有：，

由韦达定理有：，

设点Q的坐标为，直线BC的方程为：，A、Q、D三点共线，

则有，

又，故上式为，

将代入得：,

则，

即当a取最小值时，为定值1.

解：（1）椭圆的长轴长为4，离心率为

∵椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率

∴椭圆C2的焦点在y轴上，2b=4，为

∴b=2，a=4

∴椭圆C2的方程为；

（2）设A，B的坐标分别为（xA，yA），（xB，yB），

∵

∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上

∴设AB的方程为y=kx

将y=kx代入，消元可得（1+4k2）x2=4，

∴

将y=kx代入，消元可得（4+k2）x2=16，

∴

∵，

∴=4，

∴，解得k=±1，

∴AB的方程为y=±x。

解．（1）如图建系，设椭圆方程为，则c=1

又∵即（a+c）（a﹣c）=1=a2﹣c2，

∴a2=2

故椭圆方程为

（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，

则设P（x1，y1），Q（x2，y2），

∵M（0，1），F（1，0），

故kPQ=1，

于是设直线l为y=x+m，

由得3x2+4mx+2m2﹣2=0

∵

又yi=xi+m（i=1，2）

得x1（x2﹣1）+（x2+m）（x1+m﹣1）=0

即2x1x2+（x1+x2）（m﹣1）+m2﹣m=0

由韦达定理得

解得或m=1（舍）

经检验符合条件

解：（I）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=，c=ea=，

故b=

所以，椭圆E的方程为，即x2+3y2=5．

（II）假设存在点M符合题意，设AB：y=k（x+1），

代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0；

设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），

则x1+x2=，x1x2=；

=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2=m2+2m﹣，

要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=﹣；

所以，存在点M（﹣，0）满足题意．