热门试卷

解：（1）∵，2c=2，

∴a=，b=，

∴椭圆的方程为．

联立，消去y得：5x2﹣6x﹣3=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，，

∴|AB|==

=．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵，∴，即x1x2+y1y2=0，

由，消去y得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0，

由△=（﹣2a2）2﹣4a2（a2+b2）（1﹣b2）＞0，整理得a2+b2＞1

∵，，

∴y1y2=（﹣x1+1）（﹣x2+1）=x1x2﹣（x1+x2）+1，

∴x1x2+y1y2=0，得：2x1x2﹣（x1+x2）+1=0，

∴，

整理得：a2+b2﹣2a2b2=0．

∴b2=a2﹣c2=a2﹣a2e2，代入上式得

2a2=1+，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴适合条件a2+b2＞1．

由此得，

∴，

故长轴长的最大值为．

解：（1）椭圆方程为

焦点坐标为，

离心率。

（2）证明：将直线CD的方程代入椭圆方程，得

整理得

根据韦达定理，得

，，

所以 ①

将直线GH的方程代入椭圆方程，同理可得

②

由 ①、②得=

所以结论成立。

（3）设点P，点Q

由C、P、H共线，得

解得

由D、Q、G共线，同理可得，

由=变形得

=

所以

即。

解：（1）设椭圆的方程为

由条件知c=2，且

所以，

故椭圆的方程是。

（2）依题意，直线l的斜率存在且不为0，记为k，则直线l的方程是y=k（x-1）

设点F（2，0）关于直线l的对称点为

则，解得

因为点在椭圆上

所以

即

设

则

因为

所以

于是，当且仅当 （*）

上述方程存在实根，即直线l存在

解（*）得

所以。

解：（1）切线，即，

代入，

化简并整理得，（*），

由，

得m=0或。

若m=0，代入（*）式得，与已知矛盾；

若，代入（*）式得，满足条件，

且；

综上，，点N的坐标为。

（2）因为，，，

若∠MAB=∠NAB，则，即t=2，此时m=9，

故当实数m=9时，∠MAB=∠NAB，

此时，，∠MAB=∠NAB=45°，

易得M（2，3），，

所以，此时MN所在直线的方程为y=4x-5。

解：（Ⅰ）由题意知，所以，，即，

又因为，所以，，

故椭圆C的方程为。

（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x-4），

由得， ①

设点，则，

直线AE的方程为，

令y=0，得，

将代入整理，得，②

由①得，

代入②整理，得x=1，

所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）。

解:(I）设，直线，

由坐标原点到的距离为 则，

解得 .

又.

（II）由(I）知椭圆的方程为.

设、由题意知的斜率为一定不为0，

故不妨设 代入椭圆的方程中

整理得，

显然。

由韦达定理有：

①.假设存在点P，使成立，

则其充要条件为：点，点P在椭圆上，

即。

整理得。          

又在椭圆上，即.

故

②将及①代入②

解得

,=,

即.

当;

当.

解：（Ⅰ）由题意可知B（0，﹣1），则A（0，﹣2），故b=2．

令y=0得x2﹣1=0即x=±1，

则F1（﹣1，0），F2（1，0），故c=1．

所以a2=b2+c2=5．

于是椭圆C1的方程为：．

（Ⅱ）设N（t，t2﹣1），

由于y'=2x知直线PQ的方程为：y﹣（t2﹣1）=2t（x﹣t）．

即y=2tx﹣t2﹣1．

代入椭圆方程整理得：4（1+5t2）x2﹣20t（t2+1）x+5（t2+1）2﹣20=0，

△=400t2（t2+1）2﹣80（1+5t2）[（t2+1）2﹣4]=80（﹣t4+18t2+3），，，

故=．

设点M到直线PQ的距离为d，则．

所以，△MPQ的面积S==

==

当t=±3时取到“=”，经检验此时△＞0，满足题意．

综上可知，△MPQ的面积的最大值为．

解：（1）以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，

则A（﹣2，0），B（2，0），C（2，），D（﹣2，3）．

依题意，曲线段DE是以A、B为焦点的椭圆的一部分．

∵a==12，

∴所求方程为．

（2）设这样的弦存在，其方程y﹣=k（x﹣2），即y=k（x﹣2）+，

将其代入=1得

k﹣36=0

设弦的端点为M（x1，y1），N（x2，y2），

则由=2，知x1+x2=4，

∴﹣=4，解得k=﹣．

∴弦MN所在直线方程为y=﹣，

验证得知，这时适合条件．

故这样的直线存在，其方程为y=﹣．

解：（1）由题意可知：a+c=+1 ，×2c×b=1，

有∵a2=b2+c2，

∴a2=2，b2=1，c2=1，

∴所求椭圆的方程为：；

（2）设直线l的方程为：y=k（x-1），

A（x1，y1） ，B（x2，y2），M（，0）

联立消去y得：

则

∵，

∴

∴对任意x∈R，有为定值。

解：（Ⅰ）设点M（x，y），点P的坐标为（x0，y0），由，

可得：x=x0，y=y0，

P（x0，y0）在圆x2+y2=25上，

所以x02+y02=25，

将x0=x，y0=y，代入方程①，得，

故点M的轨迹C的方程为。

（Ⅱ）设A(x1，y1)， B (x2，y2)，

由已知，得直线方程：y=x-3，

 ，

将（2）代入（1）整理，得41x2-150x-175=0，

由韦达定理，得，

所以，

故弦AB的长度为。

解：（Ⅰ）由题意可知B（0，﹣1），则A（0，﹣2），故b=2．

令y=0得x2﹣1=0即x=±1，

则F1（﹣1，0），F2（1，0），故c=1．

所以a2=b2+c2=5．

于是椭圆C1的方程为：．

（Ⅱ）设N（t，t2﹣1），

由于y'=2x知直线PQ的方程为：y﹣（t2﹣1）=2t（x﹣t）．

即y=2tx﹣t2﹣1．

代入椭圆方程整理得：4（1+5t2）x2﹣20t（t2+1）x+5（t2+1）2﹣20=0，

△=400t2（t2+1）2﹣80（1+5t2）[（t2+1）2﹣4]=80（﹣t4+18t2+3），，，

故=．

设点M到直线PQ的距离为d，则．

所以，△MPQ的面积S==

==

当t=±3时取到“=”，经检验此时△＞0，满足题意．

综上可知，△MPQ的面积的最大值为．

解：（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，

 ，

故轨迹C的方程为：；

（2）设，

，

由，可得：，

，

即，

，

。

解：（1）点A（﹣1，0）关于直线l：2x﹣y+3=0的对称点为，

∴，c=1，

∴b2=1，

所以所求椭圆方程为：．

（2）设直线l：x=my+1，（m∈R），P（x1，y1），Q（x2，y2）

联立方程组，

消去x得：（my+1）2+2y2=2，即（m2+2）y2+2my﹣1=0，

∴

∵

∴令，则，

∴．

解：（Ⅰ）由题设知：2a=4，即a=2

将点代入椭圆方程得 ，

解得b2=3∴c2=a2﹣b2=4﹣3=1，

故椭圆方程为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

∴，

∴PQ所在直线方程为

由得

设P （x1，y1），Q （x2，y2），

则

∴

∴．