热门试卷

解：（Ⅰ）由已知抛物线的焦点为，

故设椭圆方程为，

将点代入方程得，

整理得， 解得：或(舍)，

故所求椭圆方程为。

（Ⅱ）设直线BC的方程为，

设

代入椭圆方程并化简得，

由，可得，    ①

由，

故，

又点A到BC的距离为，

故，

当且仅当，即m=±2时取等号(满足①式)，

所以△ABC面积的最大值为。

解：（Ⅰ）设为椭圆上的任意一点，AB为椭圆的任意一条过中心的弦，且，则，

则：，，

两式作差得：；

，，

则，

则椭圆上的任意一点与任意过椭圆中心的弦的端点连线的斜率之积为定值。

（Ⅱ）椭圆的任意一条弦的中点与椭圆中心的连线的斜率（若斜率存在）与该弦的（若斜率存在）之积为定值。

证明：设AB为椭圆的任意一条不平行与坐标轴的弦，，AB中点，椭圆中心O，AB的方程为，

联立

并整理得：，

由韦达定理：，

则：，

，

。

解：（1）∵焦距为4，

∴ c=2，       

又∵的离心率为，    

∴，

∴a=，b=2，      

∴标准方程为。    

（2）设直线l方程：y=kx+1，

A（x1，y1），B（x2，y2），

由得，      

∴x1+x2=，x1x2=，

由（1）知右焦点F坐标为（2，0），

∵右焦点F在圆内部，

∴＜0，   

∴（x1-2）（x2-2）+y1y2＜0，

即x1x2-2（x1+x2）+4+k2x1x2+k（x1+x2）+1＜0，                 ∴，  

∴k＜，

经检验得k＜时，直线l与椭圆相交，

∴直线l的斜率k的范围为（-∞，）。  

（Ⅰ）由题意得，

又，

所以，

所以椭圆的方程为；

（Ⅱ）设，

联立消去y得，……（*）

解得，

所以，

因为直线OP的斜率为-1，所以，

解得（满足（*）式判别式大于零），

O到直线的距离为，

，

所以△OAB的面积为。

解：（1）由椭圆方程，a= ，b=1，c=1，则点F为（﹣1，0）．

直线AB方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0．①

设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），

则 x0= =﹣ ，y0=k（x0+1）= ，

由点M在直线x+2y=0上，知﹣2k2+2k=0，

∵k≠0， ∴k=1．

（2）将k=1代入①式，得3x2+4x=0，不妨设x1＞x2，则x1=0，x2=﹣ ，

记α=∠ACF，β=∠BCF，则 tanα= = = ，tanβ=﹣ =﹣ = ，

∴α=β， ∴tan∠ACB=tan2α= = ．

解：由题意得

将①代人②得

整理得5x2+8mx+4m2-4=0．③

Δ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2).

当时，Δ>0，方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆有两个公共点．

当或时，Δ=0，方程③有两个相等的实数根，代人①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆有一个公共点．

当或时，Δ<0，方程③没有实数根，直线与椭圆没有公共点．

解：(1)设P(x，y)，M(x1，mx1)，N(x2，-mx2)，

依题意得，

消去x1，x2，整理得，

当m>1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；

当0＜m＜1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；

当m=1时，方程表示圆．

(2)当m=时，方程为，

设直线l的方程为y=k(x+)，

，消y得，

根据已知可得Δ=0，

故有，

∴直线l的斜率为k=±。

（1）解：设椭圆C的方程为mx2+ny2=1（m＞0．n＞0）

由椭圆C过点过（0，1），（1，）

得：，解得

∴椭圆C的方程为

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），

由消去y整理得27x2﹣12x﹣16=0，

由韦达定理得

由两边平方整理可得，

故只需证明=x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）=x1x2+y1y2+（y1+y2）+1

而

∴=

故恒成立

解：（Ⅰ）由已知得，解得

所以椭圆方程为

椭圆的右焦点为，此时直线的方程为代入椭圆方程得

解得，代入直线l的方程得

所以

故；

（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时与题意不符

设直线l的方程为，代入椭圆方程得

解得，代入直线l的方程得

所以D点的坐标为

又直线AC的方程为，又直线BD的方程为，联立得

因此，又

所以

故为定值。

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意

∴b=1，

∴所求椭圆方程为．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

（1）当AB⊥x轴时，．

（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．

把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，

∴，．

∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2==

===．

当且仅当，即时等号成立．

当k=0时，，|AB|max=2．

∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．

解：（I）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=，c=ea=×=，

故b===，

所以，椭圆E的方程为+=1，即x2+3y2=5．

（II）假设存在点M符合题意，设AB：y=k（x+1），

代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0；

设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），则

x1+x2=﹣，x1x2=；

∴=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2=m2+2m﹣﹣，

要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=﹣；

所以，存在点M（﹣，0）满足题意．

解：（1）由已知条件，直线l的方程为，

代入椭圆方程得．

整理得①

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于，

解得或．

即k的取值范围为．

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则，

由方程①，． ②

又． ③

而．

所以与共线等价于，

将②③代入上式，解得．

由（1）知或，

故没有符合题意的常数k．

解：（Ⅰ）∵

∴

又∵

∴

∴方程为，代点得a2=4

∴b2=1

所以椭圆的标准方程为

（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）

（1）当AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x1=x2，y1=-y2∵以AB为直径的圆经过原点，∴即∴代入椭圆标准方程中得此时0到AB的距离为（2）当AB的斜率为零时，则由椭圆的对称性知同理可求得，综上所述，圆D的半径为定值。

（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4

又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得|AB|=

（2）L的方程式为y=x+c，其中c=

设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组．，

化简得（1+b2）x2+2cx+1-2b2=0．

则x1+x2=，x1x2=．

因为直线AB的斜率为1，所以|AB|=|x2-x1|

即=|x2-x1|．

则=(x1+x2)2-4x1x2=-=．

解得b=．