热门试卷

解：设过原点的直线方程为x=ky ，交椭圆于A(x1 ，  y1) ，B(x2 ，y2) ，

把x= ky 代入，

得，

所以

由题图可知

解得k=0，

∴直线的方程为x=0．

解：设通过点M（1，1）的直线方程为y=k（x﹣1）+1，

代入椭圆方程，整理得（9k2+4）x2+18k（1﹣k）x+9（1﹣k）2﹣36=0

设A、B的横坐标分别为x1、x2，则

解之得

故AB方程为4x+9y﹣13=0．

解：（1）依题意，∵

∴2a=4，2c=2，

∴a=2，c=，∴

∴椭圆的方程为；

（2）显然当直线的斜率不存在时，不满足题设条件，

设方程为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）

联立方程组，

消元可得（1+4k2）x2+16kx+12=0

∴x1+x2=，

由△=256k2﹣4（1+4k2）×12＞0，

可得                                    ①

∵∠AOB=90°，∴

∴

∴k2=4                                         ②

①②可得，k=±2

解：（1）e=，∴=，

又b==，∴a=，b=．

（2）由（1）知F1，F2分别为（﹣1，0），（1，0），

由题意可设P（1，t），（t≠0）

那么线段PF1中点为N（0，），

设M（x，y）是所求轨迹上的任意点，

由=（﹣x，﹣y），=（﹣2，﹣t）

则，

消t得y2=﹣4x（x≠0）其轨迹为抛物线除原点的部分．

解：由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），

∵c=5

∴a2﹣b2=50   ①

把直线方程y=3x﹣2代入椭圆方程整理得（a2+9b2）x2﹣12b2x+b2（4﹣a2）=0．

设弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则由根与系数的关系可得，

由中点坐标公式可得，

∴a2=3b2   ②

联立①②可得，a2=75，b2=25

∴椭圆方程为

解：(1)根据抛物线方程y2=4x，可得F(1，0). 

设直线l的方程为x=my+1，将其与C的方程联立，消去x  得y2-4my-4=0，  

设A，B的坐标分别为(x1，y2)，(x2，y2)，则y1y2=-4.

故=x1x2+y1y2=1+(-4)=-3.

(2)∵∴ (1-x1, -y1)=λ(x2-1,y2) ,即

又

由②③④消去y1，y2，得x1=λ2x2，将其代入①，注意到λ>0，解得

从而三角形OAB的面积

恒成立，且，即λ≠1，

∴只要解即可．

所以λ的取值范围为且λ≠1．

解：（1）设椭圆方程为mx2+my2=1（m＞0，n＞0），

将A（﹣2，0）、B（2，0）、代入椭圆E的方程，

得

解得 ．

∴椭圆E的方程

（2）利用椭圆的定义可知，

|F1M|+|F2M|=2a=4，|F1N|+|F2N|=2a=4

∴ △MNF2的周长为|F1M|+|F2M|+F1N|+|F2N|=2a+2a=4+4=8

∴△MNF2的周长是定值为4a=8 ．

（1）由题得，直线AB的方程为bx+ay-ab=0，（a＞b＞0）

由及，得a=2，b=1

所以椭圆的方程为

（2）∵ ∴①

当直线的斜率不存在时，M（0，-1），N（0，1），易知符合条件，

此时直线方程为x=0

当直线的斜率存在时，设直线l的方程为，

代入得

由，解得

设M（x1，y1），N（x2，y2）则   ②

③

由①得x1=4x2 ④

由②③④消去x1x2，得，即9=0，矛盾，

综上，存在符合条件的直线l：x=0

解：（Ⅰ）由题意可得点A，B，C的坐标分别为．设椭圆的标准方程是．则2a=AC+BC，即，

所以a=2．

所以b2=a2﹣c2=4﹣2=2．

所以椭圆的标准方程是．

（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y=kx+2．

由得（1+2k2）x2+8kx+4=0．因为M，N在椭圆上，

所以△=64k2﹣16（1+2k2）＞0．

设M，N两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．

则，

若以MN为直径的圆恰好过原点，则，所以x1x2+y1y2=0，

所以，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，所以，，即，得k2=2，

经验证，此时△=48＞0．

所以直线l的方程为，或．即所求直线存在，其方程为．

解：（1 ）a=2，c=1．∴b= ，

椭圆M的方程为     

（2）设直线l的方程为：，C(x1,y1),D(x2,y2)

联立直线l的方程与椭圆方程得：

（1）代入（2）得：化简得：

当时，即，              

即时，直线与椭圆有两交点， 

由韦达定理得：，        

所以，，

则                        

所以，为定值。                            

以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系

设椭圆方程为：+=1(a＞b＞0)且c=------（3分）

因为焦点A的正西方向椭圆上的点为左顶点，

所以a-c=20------（5分）

又|AB|=2c=40，

则c=20，a=40，

故b=20------（7分）

所以鱼群的运动轨迹方程是+=1------（8分）

由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5：3，

因此设此时距A，B两岛的距离分别为5k，3k-------（10分）

由椭圆的定义可知5k+3k=2×40=80⇒k=10--------（13分）

即鱼群分别距A，B两岛的距离为50海里和30海里．------（14分）

（1）设椭圆方程为+=1

则解得a2=8，b2=2

∴椭圆方程为+1

（2）∵直线l平行与OM，且在一轴上的截距为m，由kOM=

∴l的方程为y=x+m

由直线方程与椭圆方程联立消去y得x2+2mx+2m2-4=0

∵直线l与椭圆交与A，B两个不同点

∴△=（2m）2-4（2m2-4）＞0

解得-2＜m＜2，且m≠0

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）

由x2+2mx+2m2-4=0可得

x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4

则k1=，k2=

而k1+k2=+===0

∴k1+k2=0，

故得证．

解：（1）由题意得，圆F1的半径为，且  

从而  

∴ 点M的轨迹是以为焦点的椭圆,   

其中长轴,得到,焦距2c=2，

则短半轴b=1

椭圆方程为:   

（2）设直线l的方程为y=x+n,

由 可得

则,即     ①   

设,则

由可得,即

整理可得      

化简可得3n2=4,满足①式，

故直线l的方程为：