热门试卷

（1）解：由C1：y2=2px（p＞0）焦点F（，0）在圆O：x2+y2=1上得：，

∴p=2

∴抛物线C1：y2=4x

同理由椭圆C2：的上、下焦点（0，c），（0，﹣c）及左、右顶点（﹣b，0），（b，0）均在圆O：x2+y2=1上可解得：b=c=1，a=

∴椭圆C2：

（2）证明：设直线AB的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），则N（0，﹣k）直线与抛物线联立，消元可得

k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0

∴x1+x2=，x1x2=1

∵

∴λ1（1﹣x1）=x1，λ2（1﹣x2）=x2∴，

∴λ1+λ2=为定值；

（3）证明：设P（x3，y3），Q（x4，y4），则P'（x3，0），Q'（x4，0），

∵，

∴S（x3+x4，y3+y4）

∵

∴2x3x4+y3y4=﹣1①

∵P，Q在椭圆上，

∴②，

③

由①+②+③得（x3+x4）2+=1

∴点S在椭圆C2上

解：（Ⅰ）由，得，  

由直线l：x-y+2=0与圆相切得，

所以，

所以椭圆的方程是。   

（Ⅱ）由条件，知|MF2|=|MP|，

即动点M到定点F2的距离等于它到直线l1：x=-1的距离，

由抛物线的定义得点M的轨迹C2的方程是。   

（Ⅲ）由（Ⅰ），得圆O的方程是，

直线m的方程是，

设，

由得，    

则，  

由得，     ①

因为△ORS是钝角三角形，

所以，

即

，

所以，                 ②

由A、R、S三点不共线，知k≠0，                 ③

由①、②、③，得直线m的斜率k的取值范围是。

解：（1）由题意知：半长轴为2，则有              

（2）①由题意知，直线的斜率存在，

设为，则直线的方程为.

由得，                          

设，则是上述方程的两个实根，

于是。                                                          

又点的坐标为，所以                                                             故，即，

故                  

②设直线的斜率为，则直线的方程为，

由解得或，

则点的坐标为              

又直线的斜率为 ，同理可得点B的坐标为.

于是

由得，

解得或，

则点的坐标为；    

又直线的斜率为，

同理可得点的坐标

于是

因此，                                                                   

又由点的坐标可知，，

平方后代入上式，

所以

故的取值范围为                          

解：（1）设椭圆方程为

则，解得

∴椭圆方程

（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m又

∴l的方程为：

由，

∴x2+2mx+2m2﹣4=0

∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

∴△=（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，

∴m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}

（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0

即可设

由x2+2mx+2m2﹣4=0可得x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4

而k1+k2==

=

=

=

=

∴k1+k2=0

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

解：(I)设F(c，0)，当l的斜率为1时，其方程为x-y-c=0，

O到l的距离为，故，

由，得。

(Ⅱ)C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立，

由(I)知C的方程为2x2+3y2=6，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

(i)当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k(x-1)，

C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为(x1+x2，y1+y2)，

且2(x1+x2)2+3(y1+y2)2=6，

整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6，

又A、B在C上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6，

故2x1x2+3y1y2+3=0， ①

将y=k(x-1)代入2x2+3y2=6，

并化简得(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0，

于是，，

代入①解得，k2=2，此时，

于是，即，

因此，当时，，l的方程为；

当时，，l的方程为。

(ⅱ)当l垂直于x轴时，由知，C上不存在点P使成立；

综上，C上存在点使成立，

此时l的方程为。

解：（1）由已知：，，

联立方程组求得：a=3，b=1，

所求方程为：

（2）依题意设CE所在的直线方程为y=kx+1（k＜0），

代入椭圆方程并整理得：（1+9k2）x2+18kx=0，则，

同理

由|CE|=|CD|得k3+9k2+9k+1=0，即（k+1）（k2+8k+1）=0

（3）由题意得：T（0，﹣b），又知，

设P（x1，y1），Q（x2，y2）

x1x2=﹣（y1﹣b）（y2﹣b）

又由得，

同理，

所以．

从而得

所以

而（为定值）．

对比上式可知：选取T（0，﹣b），则得直线TP的斜率与TQ的斜率之积为

解：（1）设椭圆方程为则

直线AB的方程为y=x﹣c，

代入，

化简得（a2+b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0．

令A（x1，y1），B（x2，y2），则

．

∵与共线，

∴3（y1+y2）+（x1+x2）=0，

又y1=x1﹣c，y2=x2﹣c，

∴3（x1+x2﹣2c）+（x1+x2）=0，

∴．

即，所以a2=3b2．

∴，

故离心率．

（2）证明：由（1）知a2=3b2，

所以椭圆可化为x2+3y2=3b2．

设M（x，y），由已知得（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），

∴

∵M（x，y）在椭圆上，

∴（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2．

即λ2（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2．①

由（1）知．

∴，

∴x1x2+3y1y2=x1x2+3（x1﹣c）（x2﹣c）=4x1x2﹣3（x1+x2）c+3c2==0．

又x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2，

代入①得λ2+μ2=1．

故λ2+μ2为定值，定值为1．

解：(Ⅰ)由知，①

由知a=2c，②

又b2=a2-c2，

由①，②，③解得a2=4，b2=3，

故椭圆C的方程为。

(Ⅱ)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

假设使成立的直线l存在，

(ⅰ)当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，

由l与n垂直相交于P点且，得，

即，

由得，

将y=kx+m代入椭圆方程，得(3+4k2)x2+8kmx+(4m2-12)=0，

由求根公式可得，，

0=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=x1x2+k2x1x2+km（x1+x2）+m2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2，

将④，⑤代入上式并化简得(1+k2)(4m2-12)-8k2m2+m2(3+4k2)=0，

将m2=1+k2代入⑥并化简得-5(k2+1)=0，矛盾，即此时直线l不存在；

(ⅱ)当l垂直于x轴时，满足的直线l的方程为x=1或x=-1，

则A，B两点的坐标为或，，

当x=1时，；

当x=-1时，，

∴此时直线l也不存在；

综上可知，使成立的直线l不存在。

解：（Ⅰ）连接（O为坐标原点，为右焦点），

由题意知：椭圆的右焦点为，

因为FO是的中位线，且，

所以，

所以，

故，

在中，，

即，

又，

解得，

所求椭圆的方程为。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆G：，

设直线l的方程为y=k（x+2）并代入，

整理得：，

由得：，

设，

则由中点坐标公式得：，

①当k=0时，有N（0，0），直线MN显然过椭圆的两个顶点；

②当时，则，直线的方程为，

此时直线显然不能过椭圆的两个顶点；

若直线过椭圆的顶点，

则，即，

所以，解得：（舍去）；

若直线过椭圆的顶点，

则，即，

所以，解得：（舍去）；

综上，当或或时， 直线过椭圆的顶点。

（Ⅲ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为，

根据题意可设，则，

则直线的方程为，…①

过点P且与AP垂直的直线方程为，…②

①×②并整理得：，

又P在椭圆W上，

所以，所以，

即①、②两直线的交点B在椭圆W上，

所以PA⊥PB。

解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为上顶点为

∴

故椭圆C的方程为。

（2）直线AS的斜率k显然存在，且，故可设直线AS的方程为，

从而

由得0

设则（-2）×得，

从而

即

又

由得

∴

故

又

∴

当且仅当，即时等号成立

∴时，线段MN的长度取最小值。

（3）由（2）可知，当MN取最小值时，

此时的方程为，S

∴

要使椭圆C上存在点T，使得的面积等于，只须T到直线BS的距离等于，

所以T在平行于且与距离等于的直线l′上。

设直线l′：

则由解得或

当由得

由于

故直线与椭圆C有两个不同的交点

当由得

由于，故直线l′与椭圆C没有交点

综上所述，当线段MN的长度最小时，椭圆上仅存在两个不同的点T，使得的面积等于。

解：（1）由已知得F（0，1），设椭圆方程为（a＞b＞0），则b=1

∵椭圆的离心率为，

∴，

∵a2=b2+c2，

∴a2=2，c=1

∴椭圆方程为+y2=1；

（2）由题意知l的斜率存在且不为零，

设l方程为y=mx﹣2（m≠0）①，

代入+y2=1，

整理得（2m2+1）x2﹣8mx+6=0，

由△＞0得m2＞．

设E（x1，y1），F（x2，y2），则

x1+x2=，x1x2= ②

∵△OBE与△OBF面积之比为λ

∴，

∴

∴x2=λx1．

代入②得，消去x1得，

∵m2＞．

∴

∴

∴且λ≠1

解：（1）由题意可知：a+c=+1，×2c×b=1，

∵a2=b2+c2∴a2=2，b2=1，c2=1

∴所求椭圆的方程为：

（2）设直线l的方程为：y=k（x﹣1）

A（x1，y1），B（x2，y2），M（，0）

联立直线与椭圆方程，消去y可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0

则

∴对于任意的=为定值．

解：（Ⅰ）由题意，，解得．

即椭圆方程为

（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意，故舍掉；

当直线AB与x轴不垂直时，

设直线 AB的方程为：y=k（x+1），

代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

所以 ．

原点到直线的AB距离，

所以三角形的面积．

由可得k2=2，∴，

所以直线或．

解：（Ⅰ）设C方程为，则．

由，得a=4

∴椭圆C的方程为．

（Ⅱ）（i）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

直线AB的方程为，

代入，得x2+tx+t2﹣12=0

由△＞0，解得﹣4＜t＜4

由韦达定理得x1+x2=﹣t，x1x2=t2﹣12．

四边形APBQ的面积

∴当t=0，．

（ii）解：当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，

设直线PA的斜率为k则PB的斜率为﹣k，

PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2）

由

（1）代入（2）整理得

（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0

同理PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），

可得

∴

所以AB的斜率为定值．