热门试卷

解：（1）∵F1、F2分别是椭圆的左右焦点，P是该椭圆上的一个动点，

且|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2，

∴，即a=2，c=，

∴，

∴椭圆方程为．

（2）当l的斜率不存在时，即x=0不满足题设条件

设l为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），

则，∴，

∴，

∵∠AOB=90°，

∴，

∴k2=4，k=±2．

解：（Ⅰ）设F1的坐标为（m，n），则且．

解得，因此，点F1'的坐标为（﹣）．

（Ⅱ）∵|PF1'|=|PF1|，根据椭圆定义，

得2a=|PF1'|+|PF2|=|F1F2|=，

∴．

∴所求椭圆方程为．

（Ⅲ）∵，∴椭圆的准线方程为x=±2．

设点Q的坐标为（t，2t+3）（﹣2＜t＜2），d1表示点Q到F2的距离，d2表示点Q到椭圆的右准线的距离．

则，

d2=|t﹣2|．=，

令，则

=，

∵当，，t=﹣，f'（t）＞0．

∴f（t）在t=﹣时取得最小值．

因此，最小值=，此时点Q的坐标为（﹣）

解：（Ⅰ）由知   

           a2+b2=7，                                      ①

由 S=2S知

            a=2c，                                          ②

又      b2=a2﹣c2                                        ③

由 ①②③解得a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为．

（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）

若l垂直于x轴时，p点即是右焦点（1，0），此时不满足，直线l的方程不存在．

若l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且

得，即m2=k2+1                       ④

∵，，得知

OA⊥OB

所以x1x2+y1y2=0，

由得

（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，

，，

又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，

代入x1x2+y1y2=0中得

7m2﹣12k2﹣12=0．                      ⑤

由④⑤可知无解．所以此时l不存在．成立．

解：（1）设A（a，0），B（0，b），P（x，y），

则=（x-a，y），=(-x，b-y)，

∴

又|AB|==8．

∴

∴曲线C的方程为

（2）由（1）可知，M（4，0）为椭圆的右焦点，

设直线PM的方程为x= my +4，

由消去x得（9m2+25）y2+72my-81=0

∴

∴

当

即时，△OPQ的面积取得最大值为，

此时直线方程为。

解：（1）∵点M到，的距离之和是4，

∴M的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，

其方程为，

（2）将y=kx+b，代入曲线C的方程，整理得，

因为直线l与曲线C交于不同的两点P和Q，

所以，  ①

设，

则，  ②

且，  ③

显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A（-2，0），

所以，

由，得，

将②、③代入上式，整理得，

所以，即b=2k或，

经检验，都符合条件①

当b=2k时，直线l的方程为y=kx+2k，

显然，此时直线l经过定点（-2，0）点，即直线l经过点A，与题意不符；

当时，直线l的方程为，

显然，此时直线l经过定点点，且不过点A；

综上，k与b的关系是：，且直线l经过定点点．

解：（1）由题意，得椭圆方程为。

（2）设直线AS的方程为，

从而可知M点的坐标为，

由，得，

所以可得BS的方程为，

从而可知N点的坐标为，

∴，当且仅当时，等号成立，

故当时，线段MN的长度取最小值。

（3）由（2）知，当|MN|取最小值时，，

此时直线BS的方程为，，

∴|BS|=，

要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只需T到直线BS的距离等于，

所以点T在平行于直线BS且与直线BS的距离等于的直线上。

则直线：或，

联立，，△<0，无解；

，△=44>0，有两个解；

所以T有两个。

解：（I）设椭圆的方程为，则 ，a，

∴，

∵椭圆过点，

∴，解得 a2=25，b2=9，

故椭圆C的方程为

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）分别为直线l与椭圆和圆的切点，

直线AB的方程为y=kx+m，

因为A既在椭圆上，又在直线AB上，从而有，

消去y得：（25k2+9）x2+50kmx+25（m2﹣9）=0，

由于直线与椭圆相切，

故△=（50kmx）2﹣4（25k2+9）x25（m2﹣9）=0，

从而可得：m2=9+25k2，①，x1=，②

由．消去y得：（k2+1）x2+2kmx+m2﹣R2=0，

由于直线与圆相切，得m2=R2（1+k2），③，x2=，④

由②④得：x2﹣x1=，

由①③得：k2=，

∴|AB|2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2=（1+k2）（x2﹣x1）2=

=

即|AB|≤2，当且仅当R=时取等号，所以|AB|的最大值为2

解：（1）因为2c=2，且，

所以c=1，a=2．

所以b2=3．

所以椭圆C的方程为．

（2）设点M的坐标为（x0，y0），则

．

因为F1（﹣1，0），，

所以直线l的方程为x=4．

由于圆M与l有公共点，所以M到l的距离4﹣x0小于或等于圆的半径R．

因为R2=MF12=（x0+1）2+y02，

所以（4﹣x0）2≤（x0+1）2+y02，

即y02+10x0﹣15≥0．

又因为，

所以．

解得．

又，

∴

当时，，

所以．

（1）解：因为，，

所以且，

所以a=2，c=1

所以，

所以椭圆方程为：

（2）证明：设直线l：y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2）

则由，消去y

得（3+4k2）x﹣8k2x+4k2﹣12=0，

所以

由于P（8﹣x1，y1），，

因为（4﹣x1）y2﹣（x2﹣4）y1=4（y1+y2）﹣x1y2﹣y1x2=4k（x1+x2﹣2）﹣2kx1x2+k（x1+x2）

=

当l⊥x轴时，也满足故共线，所以N、B、P三点共线

（3）解：记d为B到l的距离，则，

，

所以=

当l⊥x轴时，，

所以△BMN的面积的最大值为

解（1）∵e=．又2c=2，解得a=，

则b=

∴

（2）由

消去y得（a2+b2）·x2﹣2a2·x+a2·（1﹣b2）=0，

由△=（﹣2a2）2﹣4a2（a2+b2）（1﹣b2）＞0，

整理得a2+b2＞1．

设A（x1，y1，），B（x2，y2），

则x1+x2=．

∴y1y2=（﹣x1+1）（﹣x2+1）=x1x2﹣（x1+x2）+1．

∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），

∴x1x2+y1y2=0，即2x1x2﹣（x1+x2）+1=0．

∴+1=0．

整理得a2+b2﹣2a2b2=0．

∵b2=a2﹣c2=a2﹣a2e2，代入上式得

2a2=1+，

∴a2=．

∵e∈∴，

∴，

∴≤2，∴≤3，

∴，适合条件a2+b2＞1，

由此得．

∴，

故长轴长的最大值为

解：（I）由题意可得 c=，tan30°==，∴b=1，∴a=2，

故椭圆的方程为．

（Ⅱ） 设直线l的方程为 y﹣0=k（x﹣1），即 y=kx﹣k．

代入椭圆的方程化简可得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，

∴x1+x2=，x1x2=．

∴=（m﹣x1，﹣y1 ）（m﹣x2，﹣y2）

=（m﹣x1）（m﹣x2）+y1y2=（m2+k2）+（1+k2）x1x2﹣（m+k2）（x1+x2）

=（m2+k2）+（1+k2）﹣（m+k2）

=  恒为定值，

∴，

∴m=．

解：（1）直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1

记、

由题设可得点A、B的坐标、是方程组

的解

将①代入②并化简得

所以

于是

设点P的坐标为，

则消去参数k得 ③

当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，

所以点P的轨迹方程为。

（2）由点P的轨迹方程知，即

所以

故当，取得最小值，最小值为

当时，取得最大值。

解：抛物线的焦点为

∵椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合

∴椭圆的一个顶点为，

即

∵，

∴a=2，

∴椭圆的标准方程为；

（2）解：由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交

①当直线斜率不存在时，M（1，），N（1，-），

∴，不合题意；

②设存在直线l为y=k（x-1）（k≠0），且M（x1，y1），N（x2，y2）

由得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，

，，

=

所以，

故直线l的方程为或；

（3）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4）

由（2）可得：|MN|=

=

由消去y，

并整理得：，

|AB|=，

∴为定值 。

解：（1）设点M的坐标为（x0，y0），由题意可知

∵

∴

∴点M的坐标为。

（2）由得

∴CD中点坐标为

∵

∴

由得l1与l2的交点E的坐标为

∴l1与l2的交点E为CD的中点。

（3）设OF的斜率为k1，过F作斜率为的直线交椭圆于P1，P2两点

由（2）可知，F是P1P2的中点，四边形PP1QP2是平行四边形，

所以，直线P1P2即为所求，

由a=10，b=5及点P（-8，-1），得PQ的中点为，OS的斜率

过点S且斜率的直线l的方程是

记l与Γ的交点为P1，P2，则

由解得P1（8，3），P2（-6，-4）。