热门试卷

解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为，

由题意，

于是b=1，

所以椭圆C的方程为，

由，得，

由于该二次方程的△＞0，所以点A、B不同，

设，

则，

故线段AB的中点坐标为。

（Ⅱ）设点O到直线y=x+2的距离为d，

则，

又，

所以，

所以。

解：（Ⅰ）由已知抛物线的焦点为，故设椭圆方程为，

将点代入方程得，

整理得， 解得：或（舍），

故所求椭圆方程为。

（Ⅱ）设直线BC的方程为，

设

代入椭圆方程并化简得，

由，可得， ①

由，

故，

又点A到BC的距离为，

故，

当且仅当，即m=±2时取等号（满足①式），

所以△ABC面积的最大值为。

解：（1）设椭圆C的方程为 ，

则由题意知b=1．

∴ ．

∴a2=5

∴椭圆C的方程为  ．

（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0）．

又易知F点的坐标为（2，0）．

显然直线l存在的斜率，

设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2）．

将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得

（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0．

∴ ．

又∵ ．∴ ．

解：（Ⅰ）设椭圆方程为=1，

由已知，c=2，由e=，解得a=3，

∴b=1，

∴+x2=1为所求椭圆方程；

（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k≠0）

解方程组

将①代入②并化简，得（k2+9）x2+2kbx+b2-9=0，

∴，

由于k≠0 则化简后，得

将④代入③化简后，得k4+6k2-27>0，

解得k2>3，

∴k<-或k>

由已知，倾斜角不等于，

∴l倾斜角的取值范围是（）∪（）。

解：（1）由消去y，整理得：，

∵直线l与椭圆有公共点，

∴△≥0，解得，

故所求实数m的取值范围为；

（2）设直线l与椭圆的交点为，

由①得：，

故

当m=0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为。

解：（Ⅰ）由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2

令y=0得即x=±1，则F1(-1，0)，F2（1，0），故c=1

所以。于是椭圆C1的放成为：

（Ⅱ）设N（t，t2-1），由于知直线PQ的方程为：，即

代入椭圆方程整理得：

=

，

故

=

设点M到直线PQ的距离为d，则d=

所以，△MPQ的面积S==

=

当t=±3时取到“=”，经检验此时△>0，满足题意

综上可知，△MPQ的面积的最大值为

解：（I）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a= ，c=e·a= × = ，

故b= = = ，

所以，椭圆E的方程为 + =1，即x2+3y2=5．

（II）假设存在点M符合题意，设AB：y=k（x+1），

代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0；

设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），

则 x1+x2=﹣ ，x1x2= ；

∴ · =（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2=m2+2m﹣ ﹣ ，

要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=﹣ ；

所以，存在点M（﹣ ，0）满足题意．

解：（1 ）设圆心坐标为(m,n), 则m<0,n>0,

所以圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.

因为圆与椭圆的交点在椭圆上，则2a=10,a=5.=1.

(2)由椭圆=1,所以F（4，0），

若存在，则F在OQ的中垂线上，

又O、Q在圆C上，

所以O、Q关于直线CF对称.直线CF的方程为y-2=- (x+2),

即x+3y-4=0,

所以存在，Q的坐标为   .

解：（Ⅰ）设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离

故c=2

所以椭圆C的焦距为4；

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）

由题意知y1<0，y2>0，直线l的方程为

联立

得

解得

因为

所以

即

得a=3

而

所以

故椭圆C的方程为。

解：（Ⅰ）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4

又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得

（Ⅱ）L的方程式为y=x+c，其中

设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组

，

化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．

则．

因为直线AB的斜率为1，所以即．

则．

解得．

解：（Ⅰ）由已知e==，即c2=a2，b2=a2﹣c2=a2，

∴

∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点A（1，），

∴

∴a2=2，

∴b2=1，

∴椭圆C的方程为+y2=1．

（Ⅱ）因为直线l经过椭圆内的点B（﹣1，0），所以直线l与椭圆恒有两个不同的交点M，N．当直线l的斜率不存在时，其方程是：x=﹣1，代入+y2=1得y=±，可知M（﹣1，），N（﹣1，）

∴以MN为直径的圆不经过坐标原点O当直线l的斜率存在时，

设方程是y=k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2）

由，可得（1+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4=0

∴x1+x2=，x1x2=，

因为以MN为直径的圆经过坐标原点O，所以=0．

可得x1x2+y1y2=x1x2+k（x1+1）k（x2+1）=（1+k2）x1x2+k2（x1+x2）+k2=0．

∴（1+k2）×+k2×+k2=0．

∴k=±2

综上所述，过点B（﹣1，0）能作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，方程为y=2x+2或y=﹣2x﹣2．

解：由题意知，直线l 的斜率存在，

设直线l 的方程y-2=k（x-4 ），而椭圆的方程可以转化为x2+4y2-36=0 ．    

将直线方程代人椭圆的方程整理得(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0,

∴

∴

∴直线l的方程为

即x+2y-8=0.

（1）由已知，+=4，

所以动点P的轨迹M是以点E（-1，0），F（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆．

因为c=1，a=2，则b2=a2-c2=3．

故动点P的轨迹M方程是+=1

（2）设直线BC的方程x=my+1与（1）中的椭圆方程+=1联立消去x

可得（3m2+4）y2+6my-9=0，

设点B（x1，y1），C（x2，y2）

则y1+y2=-，y1y2=，

所以|BC|==

点A到直线BC的距离d=

S△ABC=|BC|d=

令=t，t≥1，

∴S△ABC=|BC|d==≤

故三角形的面积最大值为

解：（1）由题意可得e==即c2=a2∵以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为与直线x﹣y+=0相切．

∴圆心到直线x﹣y+=0的距离d==1=b

∵a2=b2+c2=1+

∴a=2，b=1

∴椭圆C的方程为

（2）由题意可得，所求的直线的斜率k一定存在，故可设直线方程为y=k（x﹣4）

联立方程

可得（1+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0

∴△=322k4﹣4（1+4k2）（64k2﹣4）≥0

∴