热门试卷

解：（1）因为AB∥l且AB通过原点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x

得A、B两点坐标分别是A（1，1），B（-1，-1）。

 ∴|AB|= 

∵AB边上的高h等于原点到直线的距离。

∴h=,S△ABC=      

（2）设AB所在直线的方程为y=x+m

得4x2+6mx+3m2-4=0，

B两点在椭圆上，所以 即，

B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

则

且y1=x1+m，y2=x2+m

∴|AB|=

∵BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，

∴|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=11-（m+1）2∴当m=-1时，AC边最长。（显然）        ，

AB所在直线的方程为y=x-1

解：设P，

∵G为的重心，

∴G点坐标为 G，

∵，

∴，      

∴的纵坐标为，

在焦点中，

∴

又∵为的内心，

∴的纵坐标即为内切圆半径，

内心把分为三个底分别为的三边，高为内切圆半径的小三角形

∴

∴2c=a，        

∴椭圆C的离心率e=

（2）设过椭圆焦点的直线的方程为

∴

 ，

得

设点M，N坐标为，

m2+1≥1

。

解：

∴，

直线PQ：

当且仅当时，。

解：设，AB的中点，

，

而，

即，

∴，

而在椭圆内部，

则。

解：⑴设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），

由题意，得

解得a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为

⑵因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，

故可设直线l的方程为y=k(x-2)+1.

由，得（3+4k2）x2-8k(2k-1)x+16k2-16ｋ-8=0.①

因为直线l与椭圆相切，所以Δ=［-8k(2k-1)］2-4(3+4k2)（16k2-16k-8）=0.

整理，得32(6k+3)=0，解得k=-.

所以直线l方程为y=-(x-2)+1=-x+2.

将k=-代入①式，可以解得M点的横坐标为1，

故切点M的坐标为(1，).

⑶若存在直线l1满足条件，

设其方程为y=k1(x-2)+1，代入椭圆C的方程，得(3+4k21)x2-8k1(2k1-1)x+16k21-16k1-8=0.

因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，

设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B(x2，y2)，

所以Δ=［-8k1（2k1-1）］2-4（3+4k21）(16k21-16k1-8)=32(6k1+3)＞0.

所以k1＞-.x1+x2=，x1x2=.

因为·=即（x1-2）（x2-2）+（y1-1）（y2-1）=，

所以（x1-2）（x2-2）（1+k21）=｜PM｜2=.

即［x1x2-2（x1+x2）+4］（1+k21）=.

所以［-2·+4］（1+k21）=，解得k1=±.    

因为k1＞-所以k1=.

于是存在直线l1满足条件，

其方程为y=x

（1）由题意得：

c=，a=2，

∴b=1．

∴椭圆方程为+y2=1

（2）由，

消去y解得(+k2)x2+2kx+1=0

设A（x1，y1），B（x2，y2）

则•=x1x2+y1y2

=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+2=＞1，

∴k∈(，-)∪(，)．