圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

有下列五个命题：

①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②在平面内，F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|-|MF2|=4|，则点M的轨迹是双曲线．

③“在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件．

④“若-3＜m＜5则方程+=1是椭圆”．

⑤已知向量，，是空间的一个基底，则向量+，-，也是空间的一个基底．

其中真命题的序号是______．

正确答案

①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是”若x，y互为相反数，则x+y=0“为真命题．①正确

②在平面内，F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|-|MF2|=4|，则点M的轨迹是双曲线的一支，并非整个双曲线，②错误

③若∠B=60°，则“∠A+∠C=120°=2∠B，“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列．

反之“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，则，“∠A+∠B+∠C=3∠B=180°，∠B=60° ③正确

④若+=1表示椭圆，则5-m＞0，且m+3＞0，5-m≠m+3，即-3＜m＜5，且m≠1，④不正确

⑤向量，，是空间的一个基底，即向量，，不共面，则+，-，也不共面，+，-，也是空间的一个基底．⑤正确

故答案为：①③⑤

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题型：简答题

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简答题

设p：实数m满足m2-4am+3a2＜0（其中a＜0）；q：实数m满足方程（m+4）x2-（m+2）y2=（m+4）（m+2）为双曲线．若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

正确答案

设A={m|m2-4am+3a2＜0，a＜0}={m|3a＜m＜a，a＜0}，

因为方程（m+4）x2-（m+2）y2=（m+4）（m+2）为双曲线，

即 -=1为双曲线，

所以（m+4）（m+2）＜0，…（4分）

设B={m|（m+4）（m+2）＞0}={m|m＜-4，或m＞-2}

因为¬p是¬q的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件．…（6分）

所以{m|3a＜m＜a，a＜0}⊄{m|m＜-4，或m＞-2}…（8分）

则或，…（10分）

解得：-≤a＜0或a≤-4

故实数的取值范围为{a|-≤a＜0或a≤-4}…（12分）

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题型：填空题

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填空题

若k∈R，则k＞3是方程-=1表示双曲线的______条件．

正确答案

k＞3时，方程-=1表示焦点在x轴上的双曲线，故充分性成立．

而当方程表示双曲线时，应有（k-3）•（k+3）＞0，∴k＞3或k＜-3，

∴由方程表示双曲线，不能推出：k＞3，∴必要性不成立．

故k＞3是方程-=1表示双曲线的充分不必要条件．

故答案为：充分不必要条件．

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题型：简答题

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简答题

已知命题P：方程-=1表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y-1）2=8的内部．若pΛq为假命题，¬q也为假命题，求实数a的取值范围．

正确答案

∵方程-=1表示双曲线，

∴（3+a）（a-1）＞0，解得：a＞1或a＜-3，

即命题P：a＞1或a＜-3；

∵点（2，a）在圆x2+（y-1）2=8的内部，

∴4+（a-1）2＜8的内部，

解得：-1＜a＜3，

即命题q：-1＜a＜3，

由pΛq为假命题，¬q也为假命题，

∴实数a的取值范围是-1＜a≤1．

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题型：填空题

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填空题

在直角坐标系xOy中，设P为两动圆（x+2）2+y2=（r+2）2，（x-2）2+y2=r2（r＞1）的一个交点，记动点P的轨迹为C．给出下列三个结论：

①曲线C过坐标原点；

②曲线C关于x轴对称；

③设点P（x，y），则有|y|＜|2x|．

其中，所有正确的结论序号是______．

正确答案

设A（-2，0），B（2，0），动点P（x，y），

根据题意：|PA|-|PB|=2

∴根据双曲线的定义判定，P点的轨迹是双曲线的右支，

方程式：-=1，（x＞0）

∵（0，0）不是方程的解，∴①不正确；

设点M（x，y）曲线上的任一点，M关于x轴的对称点为N（x，-y），

∵N的坐标也满足方程，∴N在曲线上，∴曲线C关于x轴对称，②正确；

∵4x2=4（1+）=4+2y2＞y2，∴|y|＜|2x|．故③正确．

答案是②③

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题型：填空题

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填空题

①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是“若x，y互为相反数，则x+y=0”．

②在平面内，F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足||MF1|-|MF2||=4，则点M的轨迹是双曲线．

③“在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件．

④“若-3＜m＜5则方程+=1是椭圆”．

⑤在四面体OABC中，=，=，=，D为BC的中点，E为AD的中点，则=++

⑥椭圆+=1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为5．

其中真命题的序号是：______．

正确答案

对于①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是“若x，y互为相反数，则x+y=0”，正确；

对于②，动点M满足||MF1|-|MF2||=4＜6=|F1F2|，符合双曲线的定义，故②正确；

对于③，在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件，正确；

对于④，“若-3＜m＜5则方程+=1是椭圆”错误，当m=1时，是圆；

对于⑤，由于D为BC的中点，=（+）=（+），E为AD的中点，=（+）=（+（+））=++，故⑤正确；

对于⑥，由椭圆的方程与定义可知，2a=10，P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为2a-5=10-5=5，正确．

故真命题的序号是①②③⑤⑥．

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题型：简答题

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简答题

如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的像就是n，记作f（m）=n．则在下列说法中正确命题的个数为（　　）

①f（）=1；②f（x）为奇函数；③f（x）在其定义域内单调递增；④f（x）的图象关于点（，0）对称．

正确答案

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题型：填空题

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填空题

已知B（-5，0），C（5，0）是△ABC的两个顶点，且sinB-sinC=sinA，则顶点A的轨迹方程是______．

正确答案

∵sinB-sinC=sinA，

∴b-c=a

∵B（-5，0），C（5，0）

∴AC-AB=6＜BC

∴顶点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的左支，方程为-=1(x＜-3)

故答案为：-=1(x＜-3)

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题型：填空题

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填空题

给出以下命题：

（1）α，β表示平面，a，b，c表示直线，点M；若a⊂α，b⊂β，α∩β=c，a∩b=M，则M∈c；

（2）平面内有两个定点F1（0，3），F2（0-3）和一动点M，若||MF1|-|MF2||=2a（a＞0）是定值，则点M的轨迹是双曲线；

（3）在复数范围内分解因式：x2-3x+5=(x-)(x-)；

（4）抛物线y2=12x上有一点P到其焦点的距离为6，则其坐标为P（3，±6）．

以上命题中所有正确的命题序号为______．

正确答案

对于（1）根据平面的基本性质可知其正确；

（2）先根据||MF1|-|MF2||=2a（a＞0）是定值，只有当2a＜F1F2可得到动点M的轨迹即是双曲线，否则点M的轨迹不是双曲线，故错；

对于（3）在复数范围内分解因式：x2-3x+5=(x-)(x-)是正确的；

对于（4）根据抛物线y2=12x可知p=6，准线方程为x=-6，根据抛物线的定义可知点P到其焦点的距离等于点P到其准线x=-6的距离，得xp=3，把x代入抛物线方程解得y=±6，故（4）正确．

故答案为：（1）（3）（4）．

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题型：简答题

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简答题

动圆P与定圆O1：x2+y2+4x-5=0和O2：x2+y2-4x+3=0均外切，设P点的轨迹为C．

（1）求C的方程；

（2）过点A（3，0）作直线l交曲线C于P、Q两点，交y轴于M点，若=λ1=λ2当λ1+λ2=m时，求m的取值范围．

正确答案

（1）Q1：（x+2）2+y2=9，Q2：（x-2）2+y2=1，

动圆的半径为r，则|PQ1|=r+3，

|PQ2|=r+1，|PQ1|-|PQ2|=2，…（3分）

点P的轨迹是以O1、O2为焦点的双曲线右支，

a=1，c=2，

方程为x2-=1，(x＞0)…（6分）

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），

当k不存在时，不合题意．

直线PQ的方程为y=k（x-3），

则M(0，-3k)，=(3，3k)，=(x1，y1+3k)，

=(x2，y2+3k)，由=λ1=λ2得…（8分）

由得(3-k2)x2+6k2x-3-9k2=0∵x1、x2是此方程的两正根，x1+x2=＞0，x1x2=＞0，

∴k2＞3…（10分）

m=λ1+λ2=+===2-∈(，2)…（14分）

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题型：简答题

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简答题

学习了圆锥曲线及其方程后，对于一个一般的二元二次方程：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0（A，C，D，E，F为常数），请你写出一个它分别表示

①直线； ②圆； ③椭圆； ④双曲线； ⑤抛物线的必要条件．

正确答案

①方程表示直线，其二次项系数必为0或可分解成两个一次因式的积的形式，故其必要条件：A=C=0，D，E不全为零；或A•C＜0，D，E，F全为零；

②方程表示圆，其二次项系数必须相等且不为0，故其必要条件：A=C，D2+E2-4AF＞0；

③方程表示椭圆其二次项系数必须同号，故必要条件：A•C＞0， A≠C， +-F＞0；

④方程表示双曲线其二次项系数必须异号，故必要条件：A•C＜0，+-F≠0；

⑤方程表示抛物线其二次项系数必须有一个为0，另一个不为0，故必要条件：A=0且CD≠0；或C=0且AE≠0．

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题型：填空题

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填空题

以下四个关于圆锥曲线的命题中：

①设A、B为两个定点，k为非零常数，||-||=k，则动点P的轨迹为双曲线；

②以定点A为焦点，定直线l为准线的椭圆（A不在l上）有无数多个；

③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④过原点O任做一直线，若与抛物线y2=3x，y2=7x分别交于A、B两点，则为定值．

其中真命题的序号为 ______（写出所有真命题的序号）

正确答案

①由双曲线的定义可得，||-||=k，动点P的轨迹为双曲线的一支．②不对．

②以定点A为焦点，定直线l为准线的椭圆（A不在l上），离心率的值有无数个，故椭圆有无数多个；②对．

③方程2x2-5x+2=0的两根为：2，，故可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③对

④设过原点O的直线方程为y=kx k≠0，A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）联立，消去x，可得y1=，x1=，同理可得y2=，x2=

∴==为定值．④对．

故答案为：②③④

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题型：简答题

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简答题

(2014·武汉模拟)已知点P是圆M：x2+(y+m)2=8(m>0,m≠)上一动点,点N(0,m)是圆M所在平面内一定点,线段NP的垂直平分线l与直线MP相交于点Q.

(1)当P在圆M上运动时,记动点Q的轨迹为曲线Г,判断曲线Г为何种曲线,并求出它的标准方程.

(2)过原点斜率为k的直线交曲线Г于A,B两点,其中A在第一象限,且它在x轴上的射影为点C,直线BC交曲线Г于另一点D,记直线AD的斜率为k′,是否存在m,使得对任意的k>0,都有|k·k′|=1?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.

正确答案

（1）双曲线 -=1

（2）存在，m=

(1)因为|QN|=|QP|,

所以||QM|-|QN||=|PM|=2.

①当2<2m时,动点Q的轨迹曲线Г为以点M,N为焦点,2a=2为实轴的双曲线,其标准方程为-=1.

②当2>2m时,动点Q无轨迹.

(2)如图所示,

设A(x1,y1),D(x0,y0),则B(-x1,-y1),C(x1,0).

则y1=kx1.

直线BC的方程为y=(x-x1),即y=(x-x1).

联立化为(m2k2-2k2-8)x2-2k2(m2-2)x1x+(m2-2)(k2-8)=0.

所以-x1+x0=,

所以k′==

=-.

若存在m,使得对任意的k>0,都有|k·k′|=1,

则=1,

整理得m2=6,解得m=±(负值舍去).

因此存在m,且当m=时,满足题意.

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题型：简答题

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简答题

已知曲线-=1．

（1）当曲线是椭圆时，求m的取值范围，并写出焦点坐标；

（2）当曲线是双曲线时，求m的取值范围，并写出焦点坐标．

正确答案

（1）曲线为椭圆⇔⇔⇔m＜0．即m的取值范围是（-∞，0）．

此时，椭圆的焦点在x轴上，坐标为（±4，0）．

（2）曲线为双曲线⇔（16-m）m＞0⇔0＜m＜16．即m的取值范围是（0，16）．

此时，双曲线的焦点在x轴上，坐标为（±4，0）．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为F(－2，0)．

(1)求双曲线方程；

(2)设Q是双曲线上一点，且过点F，Q的直线l与y轴交于点M，若= 2，求直线l的方程．

正确答案

(1)

(2)y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)

(1)由题意可设所求的双曲线方程为，

则有e＝＝2，c＝2，所以a＝1，则b＝，

所以所求的双曲线方程为．

(2)因为直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2，0)，

所以l的斜率一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)，

令x＝0，得M(0，2k)，

因为= 2|M，Q，F共线于l，

所以= 2或= －2

当=2时，，，

所以Q的坐标(－，)

因为Q在双曲线上，

所以，所以k＝±，

所以直线l的方程为y＝±(x＋2)．

当= －2时，

同理求得Q(－4，－2k)，代入双曲线方程得，

16－＝1，所以k＝±，

所以直线l的方程为y＝±(x＋2)．

综上，所求的直线l的方程为y＝± (x＋2)或y＝±(x＋2)．

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