圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系中，双曲线C的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线C上的点，若（、），则、满足的一个等式是　　。

正确答案

4ab=1

因为、是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又双曲线方程为，=，

，化简得4ab=1

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题型：简答题

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简答题

设A、B是双曲线x2–=1上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点.

（1）求直线AB的方程；

（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

正确答案

（1）AB∶y=x+1（2）A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆.

(1)设AB∶y=k(x–1)+2代入x2–=1.

整理得（2–k2）x2–2k(2–k)x–(2–k)2–2="0 " ①

设A(x1,y1)、B（x2,y2),x1,x2为方程①的两根

所以2–k2≠0且x1+x2=. 又N为AB中点，

有（x1+x2）=1.∴k(2–k)=2–k2,解得k="1." 故AB∶y=x+1.

(2)解出A（–1，0）、B（3，4）得CD的方程为y=3–x 与双曲线方程联立.消y有x2+6x–11="0 " ②

记C(x3,y3)、D(x4,y4)及CD中点M(x0,y0)由韦达定理可得x0=–3,y0=6.

∵|CD|=

∴|MC|=|MD|=|CD|=2.

又|MA|=|MB|=. 即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆.

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分12分)

设A1、A2是双曲线的实轴两个端点，P1P2是双曲线的垂直于轴的弦，

（Ⅰ）直线A1P1与A2P2交点P的轨迹的方程；

（Ⅱ）过与轴的交点Q作直线与（1）中轨迹交于M、N两点，连接FN、FM，其中F,求证：为定值；

正确答案

（Ⅰ）（；（Ⅱ）见解析。

（Ⅰ）利用交轨法来求直线P1A1和P2A2的交点的轨迹方程，先根据已知条件求出A1、A2点的坐标，设P（x0，y0），则N（x0，-y0），求出直线PA1和NA2的方程，联立方程，方程组的解为直线PA1和NA2交点的坐标，再把P点坐标（x0，y0）用x，y表示，代入双曲线方程，化简即得轨迹C的方程．

（Ⅱ）设的方程为，，直线MN的方程与曲线C的方程联立消y可得关于x的一元二次方程，解出M，N点横坐标之和与之积代入下式即可证明为定值．

（Ⅰ）设,则的方程为 ①

的方程为 ② 将①×②，得

又在双曲线上，，即，

代入上式，得（ ………5分

（Ⅱ）法一：设的方程为，

联立，得消，得

则

..12分

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为；

正确答案

双曲线方程为或

设双曲线方程为，

当时，化为，，

综上，双曲线方程为或

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题型：填空题

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填空题

已知圆C过双曲线－=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.

正确答案

由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为（4，±）.易求它到中心的距离为.

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题型：填空题

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填空题

已知曲线－＝1(a·b≠0，且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且＝0(O为原点)，则－的值为________．

正确答案

2

将y＝1－x代入－＝1，

得(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0．

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝．

∴＝x1x2＋y1y2

＝x1x2＋(1－x1)(1－x2)

＝2x1x2－(x1＋x2)＋1

＝－＋1＝0，

即2a＋2ab－2a＋a－b＝0，

即b－a＝2ab，所以－＝2．

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题型：填空题

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填空题

过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若满足的直线l共有3条，则实数 .

正确答案

4

试题分析：当的倾斜角为时，；当的倾斜角为时，.结合图形可知，当适当倾斜时，还可作出两条长度为4的直线，故.

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的一条渐近线的方程为，则＝_____ __.

正确答案

试题分析：由双曲线方程可知渐近线方程为，所以.

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题型：填空题

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填空题

已知曲线-=1(ab≠0,且a≠b)与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且·=0(O为原点),则-的值为　　　　.

正确答案

2

将y=1-x代入-=1,得

(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.

设P(x1,y1),Q(x2,y2),

则x1+x2=,x1x2=.

·=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1.所以-+1=0,

即2a+2ab-2a+a-b=0,

即b-a=2ab,所以-=2.

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，以双曲线的半焦距c为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为A，与y轴正半轴的交点为B，点A在y轴上的射影为H，且

（I）求双曲线的离心率；

（II）若AF1交双曲线于点M，且的值.

正确答案

（I）双曲线的离心率为

（II）

解：（I）由已知

………… 2分

上， …………3分

即 …………4分

…………6分

（II） …………8分

上，

…………10分

由①得 ③

将③代入②得 …………11分

由（I）得 …………12分

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

已知是双曲线上不同的三点，且连线经过坐标原点，

若直线的斜率乘积，求双曲线的离心率；

正确答案

本试题主要是考查了双曲线的性质的运用。

根据已知条件得到然后表示，进行求解。

解：

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题型：填空题

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填空题

若不论为何值，直线与曲线总有公共点，则的取值范围是_____

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

已知中心在原点，左、右顶点A1、A2在x轴上，离心率为的双曲线C经过点P（6,6），动直线l经过△A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线段MN的中点。

（1）求双曲线C的标准方程

（2）当直线l的斜率为何值时，。

正确答案

（1）

（2）

本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位置关系。

（1）设双曲线C的方程为

又P（6,6）在双曲线C上，由①、②解得

所以双曲线C的方程为。

（2）由双曲线C的方程可得

所以△A1PA2的重点G（2,2）

设直线l的方程为代入C的方程，整理得

整理得

解得由③，可得

解得由④、⑤，得

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题型：填空题

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填空题

在△ABC中，AH为BC边上的高，＝，则过点C，以A，H为焦点的双曲线的离心率为．

正确答案

2

如图所示，由＝，得＝＝．由题可知AH⊥BC，以A，H为焦点的双曲线的离心率e＝．由于△AHC为直角三角形，且＝＝，可设AH＝4a，CH＝3a，则AC＝5a，所以离心率e＝＝＝2．

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分13分）

已知双曲线的两条渐近线分别为.

（1）求双曲线的离心率；

（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.

正确答案

(1) ;(2)存在

试题分析：(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.

(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.

试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.

(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.

当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.

若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.

设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得, 即.

由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.

因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.

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