圆锥曲线与方程_章节学习

1

题型：填空题

|

填空题

已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．

正确答案

(1，]

根据双曲线定义，设，

则|，故3r＝2a，即，即．

根据双曲线的几何性质，，即，

即，即e≤ ．又e＞1，

故双曲线的离心率e的取值范围是(1，] ．

故填(1，]

1

题型：简答题

|

简答题

双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为 .

（1）求双曲线的方程；

（2）设直线：与双曲线交于、两点，问：当为何值时，以为直径的圆过原点；

正确答案

（1）；（2）

试题分析：（1）根据双曲线的几何性质可得：c=，，解方程组即可；（2）可以联立直线方程与双曲线方程，消去y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理，结合以为直径的圆过原点时，建立方程，即可解除k.

试题解析：（1）易知双曲线的方程是.

（2）① 由得，

由，得且 .

设、，因为以为直径的圆过原点，所以，

所以 .又，，

所以，

所以，解得.

1

题型：简答题

|

简答题

设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切.

（1）求C的圆心轨迹L的方程；

（2）设直线l是圆O:在P（x0，y0）(x0y0 ≠ 0)处的切线，且P在圆上，l与轨迹L相交不同的A,B两点，证明：.

正确答案

（1）.（2）利用数量积的坐标运算即可证明垂直关系

试题分析：（1）设两圆的圆心分别为F1、F2，圆C的半径为r

即得 1分

或，即得 2分

L是以F1、F2为焦点，实轴长为2的双曲线 3分

轨迹L的方程为. 5分

（2）由题可得直线l的方程为 7分

9分

13分

点评：此类轨迹方程的求法利用了定义法，所谓定义法就是立足题中所给的条件，结合题意导出相应的关系式，之后再根据特殊曲线的定义得出曲线的方程

1

题型：填空题

|

填空题

．在△ABC中，AH为BC边上的高，＝，则过点C，以A，H为焦点的双曲线的离心率为．

正确答案

2

略

1

题型：填空题

|

填空题

已知P是双曲线上的一点,F1，F2是双曲线的两个焦点，且∠F1PF2=60°,则·=" " ，S△F1PF2=" " 。

正确答案

略

1

题型：简答题

|

简答题

已知双曲线的离心率e＝2，且、分别是双曲线虚轴的上、下端点

（Ⅰ）若双曲线过点（，），求双曲线的方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若、是双曲线上不同的两点，且，求直线的方程

正确答案

（Ⅰ）双曲线方程为

（Ⅱ）直线的方程为

（Ⅰ）∵双曲线方程为

∴，

∴双曲线方程为，又曲线C过点Q（2，），

∴

∴双曲线方程为 ………………5分

（Ⅱ）∵，∴M、B2、N三点共线

∵, ∴

（1）当直线垂直x轴时，不合题意

（2）当直线不垂直x轴时，由B1（0，3），B2（0，－3），

可设直线的方程为，①

∴直线的方程为 ②

由①，②知代入双曲线方程得

，得，

解得, ∴，

故直线的方程为

1

题型：填空题

|

填空题

若圆过双曲线的右焦点，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为、，当四边形为菱形时，双曲线的离心率为 .

正确答案

2

试题分析：由圆过双曲线的右焦点，可得：，又由四边形为菱形，且，则可得：，又双曲线的渐近线方程为：，则有，即，故．

1

题型：简答题

|

简答题

（本题满分12分）

已知椭圆G的中心在坐标原点,与双曲线有相同的焦点，且过点.

(Ⅰ) 求椭圆G的方程；

(Ⅱ) 设、是椭圆G的左焦点和右焦点，过的直线与椭圆G相交于A、B两点，请问的内切圆M的面积是否存在最大值？若存在,求出这个最大值及直线的方程，若不存在,请说明理由.

正确答案

解：(Ⅰ)双曲线的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标为

设椭圆的长轴长为，则，即，又，所以

∴椭圆G的方程

(Ⅱ)如图,设内切圆M的半径为,与直线的切点为C，

则三角形的面积等于的面积+的面积+的面积.

即.

当最大时,也最大,内切圆的面积也最大,

设、(),则,

由,得,

解得,,

∴,令,则,且,

有,令,则,

当时,,在上单调递增,有,,

即当,时,有最大值,得,这时所求内切圆的面积为,

∴存在直线,的内切圆M的面积最大值为.

略

1

题型：填空题

|

填空题

已知双曲线中心在原点,以坐标轴为对称轴且与圆相交于A(4, -1),若此圆在点A的切线与双曲线的一条渐进线平行,则双曲线的方程为——————

正确答案

设双曲线方程为: ,再用待定系数法.

1

题型：简答题

|

简答题

已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点．求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程．

正确答案

＋y2＝1，x≠0

由题设知|x1|>，A1(－，0)，A2(，0)，则有直线A1P的方程为y＝ (x＋)　①，

直线A2Q的方程为y＝ (x－)　②．

联立①②，解得交点坐标为，即　③，则x≠0，|x|<．

而点P(x1，y1)在双曲线－y2＝1上，所以－＝1．

将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为＋y2＝1，x≠0．

1

题型：填空题

|

填空题

已知双曲线＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为________．

正确答案

5x2－y2＝1.

由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，即c＝1，又e＝＝，可得a＝，结合条件有a2＋b2＝c2＝1，可得b2＝，又焦点在x轴上，则所求的双曲线的方程为5x2－y2＝1.

1

题型：填空题

|

填空题

已知点、分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若为锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是____________.

正确答案

试题分析：根据题意，作图像如下：

由已知得，将它代入双曲线方程可得，，所以，因为是锐角三角形，所以，则，在中，，所以，即，由化简得，，不等式两边都除以得，，又，解得.

1

题型：填空题

|

填空题

设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则_______.

正确答案

试题分析：由题意得：,①+②+③得：，由此可得：，

.，.

因为，所以,

即.

1

题型：填空题

|

填空题

抛物线y=x2的焦点与双曲线-=1的上焦点重合,则m=　　　　.

正确答案

13

因为抛物线y=x2的标准方程为x2=16y,焦点坐标为(0,4),又因为双曲线-=1的上焦点坐标为(0,),依题意有4=,解得m=13.

【误区警示】本题易出现y=x2的焦点为(0,)的错误,原因是对抛物线的标准方程记忆不准确.

1

题型：填空题

|

填空题

已知双曲线的渐近线方程是，那么此双曲线的离心率为 .

正确答案

试题分析：由题知，，所以.

热门试卷

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案