热门试卷

（1）直线AB的方程为y=x+1（2）A、B、C、D四点共圆

（1）由题意知直线AB的斜率存在.

设直线AB：y=k（x-1）+2，代入x2-=1

得(2-k2)x2-2k(2-k)x-(2-k)2-2="0.                                   " (*)

令A（x1,y1）,B(x2,y2),则x1、x2是方程（*）的两根，

∴2-k2≠0且x1+x2=.

∵=（+），∴N是AB的中点，∴=1,

∴k（2-k）=-k2+2,k=1,

∴直线AB的方程为y=x+1.

（2）将k=1代入方程（*）得x2-2x-3=0,

解得x=-1或x=3,

∴不妨设A（-1，0），B（3，4）.

∵·=0，∴CD垂直平分AB，

∴CD所在直线方程为y=-(x-1)+2,

即y=3-x,代入双曲线方程整理得x2+6x-11=0,

令C（x3,y3）,D(x4,y4)及CD中点M（x0,y0）

则x3+x4=-6,x3·x4=-11,

∴x0==-3，y0=6，即M(-3,6).

|CD|=|x3-x4|==4；

|MC|=|MD|=|CD|=2，

|MA|=|MB|=2，

即A、B、C、D到M距离相等，∴A、B、C、D四点共圆.

x2－＝1.或＝1

若双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，由已知可得＝2，即c＝2a.又M(－2，3)在双曲线上，∴＝1,∴4b2－9a2＝a2b2①.∵c＝2a，∴b2＝3a2，代入①得a2＝1，b2＝3.

∴双曲线方程为x2－＝1.同理，若双曲线方程为＝1，则双曲线方程为＝1.

当k＝±或k＝或k不存在时，l与C只有一个交点．

本试题主要是考查了直线与双曲线的位置关系的综合运用。根据已知中的曲线方程和点P的坐标，设出直线方程，然后联立方程组，进而结合方程有一个解，得到参数k的范围和参数k的值。

解：设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，

代入双曲线C的方程，整理得

(2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－6＝0(*)

当2－k2＝0，即k＝±时，直线与双曲线的渐近线平行，此时只有一个交点．

②当2－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝.此时只有一个公共点．

又点(1,2)与双曲线的右顶点(1,0)在直线x＝1上，而x＝1为双曲线的一条切线．

∴当k不存在时，直线与双曲线只有一个公共点．

综上所述，当k＝±或k＝或k不存在时，l与C只有一个交点．

（1）P点在双曲线上，其方程为

（2）满足题意的k值存在，且k值为

（1）设P的坐标为，由得

（2分）∴（（4分）

化简得  ∴P点在双曲线上，其方程为（6分）

（2）设A、B点的坐标分别为、，

由 得（7分）

，（8分）

∵AB与双曲线交于两点，∴△>0，即

解得（9分）

∵若以AB为直径的圆过D（0，－2），则AD⊥BD，∴，

即，（10分）

∴

∴

解得，故满足题意的k值存在，且k值为.

M的轨迹方程是=1（x≥）

设动圆M的半径为r，

则由已知|MC1|=r+，

|MC2|=r-，

∴|MC1|-|MC2|=2.

又C1（-4，0），C2（4，0），

∴|C1C2|=8，∴2＜|C1C2|.

根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1（-4，0）、C2（4，0）为焦点的双曲线的右支.

∵a=，c=4，

∴b2=c2-a2=14，

∴点M的轨迹方程是=1（x≥）.

（Ⅰ）；（Ⅱ）

解：（Ⅰ）设，，

由勾股定理可得：]

得：，，

由倍角公式，解得,则离心率．

（Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立

将，代入，化简有

将数值代入，有,解得

故所求的双曲线方程为．

(1) x2－y2=2， (2) B(2,)

(1)设双曲线的渐近线为y=kx,由d==1,解得k=±1.

即渐近线为y=±x,又点A关于y=x对称点的坐标为(0，).

∴a==b,所求双曲线C的方程为x2－y2=2.

(2)设直线l: y=k(x－)(0＜k＜1,

依题意B点在平行的直线l′上，且l与l′间的距离为.

设直线l′:y=kx+m,应有,

化简得m2+2km=2                          ②

把l′代入双曲线方程得(k2－1)x2+2mkx+m2－2=0,

由Δ=4m2k2－4(k2－1)(m2－2)=0 

可得m2+2k2="2                                 " ③

②、③两式相减得k=m,代入③得m2=,解得m=,k=,

此时x=,y= 故B(2,).