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  • 圆锥曲线与方程
  • 共14739题
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1
题型：简答题
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简答题

第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.

已知点为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程为.

（1）求双曲线的方程；

（2）过圆上任意一点作切线交双曲线于两个不同点，中点为，

求证：；

（3）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别是和，求的值

正确答案

（1）；（2）见解析；（3）

本试题主要考查了双曲线的运用。

解：（1）设的坐标分别为----------------1分

因为点M在双曲线C上，所以，即，所以------2分

在中，，，所以-------3分

由双曲线的定义可知：

故双曲线C的方程为：-------------------4分

（2）①当切线l的斜率存在

设，切线的方程为：

代入双曲线C中，化简得： 

所以-------------------6分

因为直线l与圆O相切，所以，代入上式，得-----------7分

设点M的坐标为，则

所以-------------------8分

即|AB|=2|OM|成立

②当切线l的斜率不存在时，

，

即|AB|=2|OM|成立-------------------10分

（3）由条件可知：两条渐近线分别为

------11分

设双曲线C上的点P(x0,y0)，

则点P到两条渐近线的距离分别为--------------13分

因为P(x0,y0)，在双曲线C：上，所以

故-------------------14分

设 -------------15分

-----16分

1
题型：简答题
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简答题

已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率.

（Ⅰ）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；

（Ⅱ）如题（21）图，已知过点的直线：与过点（其中）的直线：的交点在双曲线上，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，求的值.

正确答案

3

1
题型：简答题
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简答题

．一条斜率为1的直线与离心率为的双曲线交于两点，求直线与双曲线的方程

正确答案

由双曲线方程为

设直线

则

又因为

则有：

     

由（1），（2）得代入（3）得

所以，所求的直线与双曲线方程分别是

同答案

1
题型：填空题
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填空题

双曲线的渐近线方程为                      .

正确答案

试题分析：因为双曲线的方程为，所以，所以该双曲线的渐近线方程为．

1
题型：填空题
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填空题

已知双曲线的焦点为、，点在双曲线上且轴，则到直线的距离为-----------------------

正确答案

略

1
题型：填空题
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填空题

如果方程表示双曲线，那么的取值范围是           。

正确答案

略

1
题型：填空题
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填空题

双曲线的离心率是      。

正确答案

略

1
题型：填空题
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填空题

设抛物线的焦点与双曲线的上焦点重合，则p的值为         

正确答案

8

试题分析：因为抛物线的焦点为，双曲线的焦点为，所以

1
题型：填空题
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填空题

在平面直角坐标系中，已知双曲线：（）的一条渐近线与直线：垂直，则实数     ．

正确答案

2

试题分析：双曲线：的渐近线方程为，因为所以

解此类问题需明晰相关概念.

1
题型：填空题
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填空题

已知是双曲线的两个焦点，点是双曲线上的点，并且，则的面积为＿＿＿＿．

正确答案

由已知条件可得化简可得.则

1
题型：填空题
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填空题

、若点P是以为焦点的双曲线上一点，满足，且，则此双曲线的离心率为           

正确答案

略

1
题型：填空题
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填空题

是双曲线的右支上一动点，是双曲线的右焦点，已知，则的最小值是          。

正确答案

    

略       

1
题型：填空题
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填空题

双曲线的方程为，则其离心＝___________

正确答案

略

1
题型：简答题
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简答题

已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,两准线间的距离为,并且与直线y=(x-4)相交所得线段的中点的横坐标为-,求这个双曲线的方程.

正确答案

双曲线方程为-=1.

设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),直线与双曲线两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2).由题意知=,即=.

由得(9b2-a2)x2+8a2x-16a2-9a2b2=0.

∵9b2-a2≠0,由韦达定理得x1+x2=,即=-.∴7a2=9b2.

解得∴所求双曲线方程为-=1.

1
题型：简答题
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简答题

如图，某农场在P处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路PA或PB送到庄稼地ABCD中去，已知PA="100" m，PB="150" m，∠APB=60°.能否在田地ABCD中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路PA送肥较近；而另一侧的点，沿道路PB送肥较近?如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程.

正确答案

曲线方程为－=1(x≥25,y≥0).

设M是这种界线上的点，

则必有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,

即|MA|－|MB|=|PB|－|PA|=50.

∴这种界线是以A、B为焦点的双曲线靠近B点的一支.建立以AB为x轴，AB中点     O为原点的直角坐标系，则曲线为－=1,

其中a=25,c=|AB|.

∴c=25,b2=c2－a2=3750.

∴所求曲线方程为－=1(x≥25,y≥0).

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