热门试卷

(1).  (2)椭圆C上存在四个点，分别由这四个点向圆O所引的两条切线均互相垂直.  

本题主要考查圆与圆锥曲线的综合问题．解决第二问的关键在于根据条件分析出AOBP为正方形，|AO|=|AP|，得到关于点P坐标的等式．

（1）直接根据条件列出 a2=b2+c2，a=3，e=，解方程求出b，c即可得到椭圆C的方程；

（2）先根据条件分析出AOBP为正方形，|AO|=|AP|，得到关于点P坐标的等式；再结合点P在椭圆上即可求出点P的坐标．

解：(1)设椭圆的半焦距为c,依题意, ∴b=2,   ---------2分

∴所求椭圆方程为.      ---------------4分

(2)如图，设P点坐标为(x0,y0),                -------5分

若∠APB=90°,则有|OA|=|AP|.               ---------6分

即|OA|=,

有2=,

两边平方得x02+y02=8                      ①

又因为P(x0,y0)在椭圆上，所以4x02+9y02=36 ②

①,②联立解得            ---------9分

所以满足条件的有以下四组解

     -----------12分

所以，椭圆C上存在四个点，分别由这四个点向圆O所引的两条切线均互相垂直.         --------14分

解：（1）抛物线的焦点为，双曲线的焦点为…2分

∴可设椭圆的标准方程为，由已知有，且，……3分

∴，∴椭圆的标准方程为。……………………………5分

（2）设，线段方程为，即…………7分

点是线段上，∴

∵，∴，………10分

将代入得

………………………12分

∵，∴的最大值为24，的最小值为。

∴的取值范围是。……………………………………………14分

略

证明略

【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系

证明：设知

同理                                                        

①当，

从而有

设线段PQ的中点为，                             

得线段PQ的中垂线方程为                                               

②当

线段PQ的中垂线是x轴，也过点

【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法：

（1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关;

（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）．

（Ⅰ）．  （Ⅱ）.  

本试题主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，以及椭圆方程的求解的综合运用。

（1）因为由题意知，椭圆中参数c和a的值得到椭圆方程的求解。

（2）根据已知条件设出直线方程，对于斜率要分类讨论是否存在，然后结合直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理和中点公式得到中垂线方程求解。

解：（Ⅰ）由题意可设椭圆为，，

，，故椭圆的方程为．    4分

（Ⅱ）①当的斜率不存在时，线段的中垂线为轴，；  8分

②当的斜率存在时，设的方程为，代入得：

，由得， 10分

设，则，，

，

∴线段的中点为，中垂线方程为，

12分

令得. 由，易得.

综上可知，实数m的取值范围是. 14分

（Ⅰ）

（Ⅱ）见解析

（Ⅰ）解： 由已知

∴ 椭圆方程为．——————————5分

（Ⅱ） 设直线方程为y=k(x+1)，

由   得．

设，则．—————7分

设，则由A,P,M共线，得

  同理．

∴．——————9分

∴，即，以线段MN为直径的圆经过点F；

当直线L的斜率不存在时，不妨设M(-4,3)．N(-4,-3),则有,

∴，即，以线段MN为直径的圆经过点F．

综上所述，以线段MN为直径的圆经过定点F．    ———————————12分

解：（Ⅰ）由知

椭圆方程可设为 .

又，直线与椭圆相切，代入后方程

满足 .由此得

故椭圆的方程为    ----------------6分

（Ⅱ）设.当时，有一条切线斜率不存在，此时，刚好，

可见，另一条切线平行于轴，；   ----------------7分

设，则两条切线斜率存在.设直线的斜率为，

则其方程为

即代入并整理得：             ---------------9分

由可得：            ---------------11分

注意到直线的斜率也适合这个关系，所以的斜率就是上述方程的两根，由韦达定理，.                     ---------------13分

由于点在圆：上，，

所以这就证明了.

综上所述，过圆上任意一点作椭圆的两条切线，总有.  ------15分

略

(1)

(2)

解：(I)由已知易知椭圆的一个焦点为，则椭圆的另一个焦点为.

由，得：，所以所求的椭圆方程

是.

(II)能.证明如下：设直线的方程为，代入，

并整理得：.

设，则由得：，

代入得：，所以.

将换成，得从而.

由于，，故当时,四边形为平行四边形.

设直线的方程为，代入并整理得：.

由得，则有,

所以

令，解得,所以得方程为.

(1)

(2)

解：（1）当时， ，则

设椭圆方程为，则又，所以

所以椭圆C2方程为                    …………

（2）因为，，则，，设椭圆方程为

由，得         …………

即，得代入抛物线方程得，即

,，

因为的边长恰好是三个连续的自然数，所以    …………10’

此时抛物线方程为，，直线方程为：.

联立，得，即，

所以，代入抛物线方程得，即

∴       ……………12’

设到直线PQ的距离为 ，

则                

当时，，        ………………14’

即面积的最大值为.     ………………15’